1、2020-2021学年高三下学期数学开学摸底考试（新课标全国卷理科）【满分：150分】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则( )A.B.C.D.2.已知复数z满足，则( )A.2B.C.1D.3.已知为双曲线的左、右焦点,点在上,则等于( )A.B.C.D.4.设双曲线的两条渐近线与圆相交于四点，若四边形的面积为12，则双曲线的离心率是( )A.B.C.或D5.根据下表中的数据可以得到线性回归直线方程,则实数应满足( )3562.534A.B.C.D.6.函数的图像在点处的切线方程为( )A.B.C.D.7.展开
2、式中的系数为()A.15B.20C.30D.358.若且，则( )A.B.C.D.9.已知函数在区间上是增函数，则的最大值是( )A.B.C.D.10.在三棱锥中,若三棱锥的顶点均在球的表面上，则球的半径为( )A.B.C.D.11.已知椭圆，直线与椭圆交于两点，若，则椭圆的离心率为( )A.B.C.D.12.设函数的定义域为R,满足,且当时,.若对任意,都有，则m的取值范围是( )ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若满足约束条件，则的取值范围是 .14.已知向量,且,则向量和的夹角是_,_.15.的内角的对边分别为。若,则的面积为_。16.设抛物线的焦点为F，准线
3、为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为_.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. （12分）设是公比不为1的等比数列,为的等差中项.(1)求的公比；(2)若,求数列的前项和.18. （12分）如图，三棱柱中，平面平面和都是正三角形，D是的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.19. （12分）某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出若干根对其直径(单位:)进行测量，得出这批钢管的直径X服从正态分布.(1)当质检员随机抽检时，测得一根钢管的
4、直径为，他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据；(2)如果钢管的直径X满足之间为合格品(合格品的概率精确到0.01)，现要从60根该种钢管中任意挑选3根，求次品数Y的分布列和数学期望.(参考数据：若，则；)20. （12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线上，且.证明：过点P且垂直于的直线l过C的左焦点F.21. （12分）已知函数.(1)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)求函数的单调区间.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多
5、做，则按所做的第一题计分.22. 选修44：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系中,圆的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系.(1)求圆的极坐标方程.(2)直线的极坐标方程是,曲线的极坐标方程为,其中满足,曲线与圆的交点为,与直线的交点为,求线段的长.23. 选修45：不等式选讲（10分）已知函数.(1)求不等式的解集.(2)若关于的不等式恒成立,求实数的取值范围.答案以及解析1.答案：A解析：或，.故选A.2.答案：A解析：由题意得，所以，故选A.3.答案：C解析：将双曲线C化为标准方程，则，.由双曲线定义，知 .又，.故选C.4.答案：A解析：本题考查
6、双曲线的几何性质.由对称性可知四边形是矩形，设点A在第一象限，由，得，则，即，则或3.又因为，所以，则该双曲线的离心率，故选A.5.答案：A解析：依题意，故，解得.6.答案：B解析：.又,则函数的图像在处的切线方程为,即,故选B.7.答案：C解析：对于，若要得到含的项，可以在中选取1，此时中要选取含的项，则系数为；当在中选取时，中要选取含的项，则系数为，所以展开式中的系数为，故选C.8.答案：B解析：由已知，得，故选B.9.答案：B解析：令，则，解得.故选B10.答案：B解析：如图,取的中点,连接,由,可得,且,又,所以是正三角形,易知平面平面,所以点在平面内,过点作于点,于点,则点分别是外接
7、圆的圆心,且,连接,在中,所以,连接,在中,因此球的半径.11.答案：C解析：设，由得，所以因为，所以，得，所以椭圆的离心率.12.答案：B解析：时，即右移1个单位，图像变为原来的2倍如图所示：当时，令，整理得：，（舍），时，成立，即，故选B13.答案：解析：画出不等式组，所表示的平面区域，如图中阴影部分.由，得.由，得.由，得.将化成.设点，过点D作于点E，则当以点为圆心的圆经过点A时，z取得最大值，经过点时，z取得最小值，.所以z的取值范围为 14.答案：;6解析：设向量的夹角为,因为,且,所以,解得.又,所以,所以.15.答案：解析：因为,所以由余弦定理,得,解得,所以。所以的面积。16
8、.答案：解析：因为抛物线的方程为，所以焦点F为，准线l的方程为，点F到直线l的距离为2.即圆的半径为2，圆心为，故所求圆的方程为.17.答案：(1)设的公比为,由题设得,即.所以,解得(舍去),.故的公比为.(2)记为的前项和.由(1)及题设可得,.所以,.可得.所以.18.答案：（1）如图，连接，交于点E，连接，由于四边形是平行四边形，所以E是的中点.因为D是的中点，所以.因为平面平面，所以平面.（2）如图，取的中点O，连接，根据和都是正三角形，得.又平面平面，平面平面，所以平面，于是.以O为坐标原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系.设，则.所以.设平面的法向量为
9、，则，即，令，则，所以.设平面的法向量为，则，即，令，则，所以.设二面角的大小为，由图易知为锐角，则，因此二面角的余弦值为.19.答案：(1)，而，.此事件为小概率事件，所以该质检员的决定有道理.(2)因为，由题意可知钢管直径满足为合格品，所以该批钢管为合格品的概率约为0.95.所以在60根钢管中，合格品约57根，次品约3根，任意挑选3根，则次品数Y的可能取值为0，1，2，3.则次品数Y的分布列为Y0123P所以.20.答案：(1)设，则.由得.因为在C上，所以.因此点P的轨迹方程为.(2)由题意知.设，则.由得，又由(1)知，故.所以，即.又过点P存在唯一直线垂直于，所以过点P且垂直于的直线
10、l过C的左焦点F.21.答案：(1)当时,则.,所以曲线在点处的切线方程为,即.(2)由函数,得.当时,所以的单调递减区间为,无单调递增区间.当时,令,即,解得.当时,所以的变化情况如下表:0+极小值所以的单调递减区间为,单调递增区间为.当时,所以的变化情况如下表:+0极大值所以的单调递增区间为,单调递减区间为.22.答案：(1)圆的普通方程为,可化为.令,所以圆的极坐标方程为.(2)设为点的极坐标,则解得.设为点的极坐标,则解得.因为,所以,所以线段的长为.23.答案：(1)原不等式等价于或或解得或或.不等式的解集为.(2)不等式恒成立等价于,即.,当且仅当,即时,等号成立.,则,解得,实数的取值范围是.
