1、凉山州2021届高中毕业班第一次诊断性检测数学(理科)满分150分，考试时间120分钟.一选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. 已知结合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出集合，再求即可.【详解】解：，所以，故选：B2. 复数的实部和虚部分别为，则（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】利用两个复数代数形式的除法运算性质，把复数化为最简形式，得到其实部和虚部的值，进而求得结果.【详解】，所以，所以，故选：A.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关复数的问题，解题思路如下：（1）利
2、用复数除法运算法则先化简复数；（2）确定出复数的实部和虚部各是多事；（3）进而求得的值.3. 方程的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先化简原方程，再根据指数函数的单调性将问题转化为对数方程，由此求解出方程的解集.【详解】因为，所以且在上单调递增，所以，所以，所以，故选：A.4. 中，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据，利用诱导公式得到，且A为锐角，在利用半角公式求解.【详解】因为在中，所以，且A为锐角，所以，故选：C5. 为正项等差数列的前项和，则（ ）A. 3B. C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】根据数列为正项等差数列，且，利
3、用等差数列的性质求解.【详解】因为数列为正项等差数列，且，所以，解得，故选：B6. 电路制造在半导体芯片表面上的集成电路称为薄膜(thin-film)集成电路，集成电路对于离散晶体管有成本和性能两个主要优势.从存放有编号分别为1，2，3，8的芯片的盒子中，有放回地取1000次，每次取一张芯片并记下编号.统计结果如下：芯片编号12345678取到的次数127141110118150123109则取到号码为奇数的频率为（ ）A. 0.5B. 0.49C. 0.51D. 0.48【答案】B【解析】【分析】计算出编号为奇数对应的次数的总和，再用除以即可求解出对应的频率，从而结果可求.【详解】设编号为奇
4、数对应的次数的总和为，所以，所以取到号码为奇数的频率为：，故选：B.7. 直线和双曲线的渐近线相交于，两点，则线段的长度为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先根据题中所给的双曲线方程求得其渐近线方程，分别与直线方程联立，求得交点坐标，之后利用两点间距离公式求得结果.【详解】双曲线的渐近线为，设与相交于A点，与相较于B点，由解得，由解得，所以，故选：A.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关两点间距离问题，解题方法如下：（1）先根据双曲线的渐近线方程求得的渐近线；（2）联立方程组，分别求得对应的交点坐标；（3）利用两点间距离公式求得结果.8. 抛物线：在点处的切线方程为，则的
5、焦点坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出抛物线在处的导数，根据在处的导数等于该点切线斜率求出，再确定的焦点坐标即可.【详解】解：，所以在点处的切线斜率为，切线的斜率为，所以，抛物线方程为，的焦点坐标为，故选：B【点睛】关键点点睛：利用曲线在某点的导数等于该点切线斜率求出参数是解决本题的关键.9. 已知为等边三角形，设点，满足，与交于点，则（ ）A. B. C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】先根据已知条件确定出点位置，然后用表示出，最后根据向量的数量积运算求解出的结果.【详解】因，所以，所以，所以为的一个靠近的三等分点，又因为，所以为的中点，过作交于点，如
6、下图所示：因为且，所以，所以，所以，所以，故选：D.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是确定点的位置，通过将待求的向量都转化为，即可直接根据数量积的计算公式完成求解.10. 日常生活中，有各式各样精美的糖果包装礼盒某个铁皮包装礼盒的平面展开图是由两个全等的矩形，两个全等的三角形和一个正方形所拼成的多边形(如图)，矩形的长为，矩形的宽和正方形的边长均为.若该包装盒内有一颗球形硬糖的体积为，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据已知条件先作出礼盒的直观图，再通过分析直观图中等腰三角形的内切圆的半径以及半径与正方形边长的关系，确定出球形硬糖的最大半径，从而体积的最大
7、值可求.【详解】根据题意作出礼盒的直观图如下图所示：由图可知该几何体为直三棱柱，设等腰三角形的内切圆半径为，又因为等腰三角形的高为，所以根据等面积法可知：，所以，又因为正方形的边长为，所以，所以球形硬糖的半径最大值为，所以体积的最大值为，故选：A.【点睛】关键点点睛：解答本题关键是通过分析等腰三角形的内切圆的半径以及半径与正方形边长的大小关系，确定出球形的最大半径，由此完成求解.11. 设椭圆：()的左右焦点分别为，直线：交椭圆于点，若的周长的最大值为12，则的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先利用椭圆的定义求出的周长的最大值可得的值，根据椭圆方程即可求得值，进
8、而可求离心率.【详解】的周长等于 ，因为当且仅当三点共线时等号成立，所以，即的周长的最大为，所以，解得：，由椭圆的方程可得：，所以，所以的离心率为，故选：B【点睛】方法点睛：求椭圆离心率的方法：（1）直接利用公式；（2）利用变形公式；（3）根据条件列出关于 的齐次式，两边同时除以，化为关于离心率的方程即可求解.12. 克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为(，).若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意当，时成立，得出，用作差法比较得出，即可得出答案.【详解】解：因为，所以
9、，根据题意当，时成立，又，所以，即：，又所以，所以，故选：B.【点睛】对数运算的一般思路：（1）拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并；（2）合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.二填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13. 的展开式中的常数项是_.(用数字作答)【答案】【解析】【分析】先写出展开式的通项公式，然后令的指数为求解出的值，再将的值代入展开式的通项公式中即可求出常数项的值.【详解】展开式的通项公式为：，令，所以，所以展开式中常数项为：，故答案为
10、：.14. 定义在上的函数满足.当时，则不等式的解集用区间表示为_.【答案】【解析】【分析】先根据条件判断出的奇偶性，然后求解出在时的解析式，然后分段求解出不等式的解集再取并集即可得到结果.【详解】因为且定义域为关于原点对称，所以为奇函数，当时，所以，所以，当时，解得，当时，解得，所以不等式的解集为：，故答案为：.【点睛】方法点睛：利用函数奇偶性求解函数解析式的方法（已知奇偶性以及的解析式）：（1）先设，则，根据的解析式求解出；（2）根据函数的奇偶性，得到与的关系，由此求解出时的解析式；（3）结合（1）（2）可求解出的解析式.15. 设为数列的前项和，且，则_.【答案】【解析】【分析】根据题意
11、可得，所以数列中：奇数项放在一起成等比数列，偶数项放在一起成等比数列，然后用分组求和、等比数列求和公式计算即可.【详解】解：因为即所以数列中：奇数项放在一起成等比数列，偶数项放在一起成等比数列，所以成等比数列，成等比数列，又，所以.故答案为：.【点睛】方法点睛：根据递推关系求通项公式的三个常见方法：（1）对于递推关系式可转化为的数列，通常采用累加法(逐差相加法)求其通项公式；（2）对于递推关系式可转化为数列，并且容易求数列前项的积时，采用累乘法求数列的通项公式（3）对于递推关系式形如的数列，采用构造法求数列的通项16. 在空间中，过点作平面的垂线，垂足为，记作：.关于两个不同的平面，有如下四个
12、命题：若，则存在点满足.若，则存在点满足.若，则不存在点满足.若对空间任意一点，恒有，则.其中所有真命题的序号是_.【答案】 【解析】【分析】根据，判断；由判断；根据，判断；设，根据，则重合与一点Q判断.【详解】设，因为，所以，则，故错误；设，若，当点时，满足，故正确；设，则，. 因为，所以，则，故正确；设，则，因为恒有，则重合与一点Q，则为矩形，所以，故正确；故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键是对垂足新定义的理解，将问题转化为线面垂直判断.三解答题(解答过程应写出必要的文字说明，解答步骤共70分)17. 2020年1月24日，中国疾控中心成功分离中国首株新型冠状病毒毒种.6月19日，中
13、国首个新冠mRNA疫苗获批启动临床试验，截至2020年10月20日，中国共计接种了约6万名受试者，为了研究年龄与疫苗的不良反应的统计关系，现从受试者中采取分层抽样抽取100名，其中大龄受试者有30人，舒张压偏高或偏低的有10人，年轻受试者有70人，舒张压正常的有60人.（1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否能够以99%的把握认为受试者的年龄与舒张压偏高或偏低有关？大龄受试者年轻受试者合计舒张压偏高或偏低舒张压正常合计（2）在上述100人中，从舒张压偏高或偏低的所有受试者中采用分层抽样抽取6人，从抽出的6人中任取3人，设取出的大龄受试者人数为，求的分布列和数学期望.运算公式：，对照
14、表：()0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】（1）没有的把握认为受试者的年龄与舒张压偏高或偏低有关；（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）根据题意列出列联表，再计算，故没有的把握认为受试者的年龄与舒张压偏高或偏低有关；（2）由分层抽样得抽得样本的大龄受试者有人，年轻受试者有人，的可能取值为，再结合超几何分布求概率和期望即可.【详解】解：列联表如下：大龄受试者年轻受试者合计舒张压偏高或偏低舒张压正常合计所以，没有的把握认为受试者的年龄与舒张压偏高或偏低有关（2）由题意得，采用分层抽样抽取的人中，大龄受试者有人，年轻受试者有人， 所以大龄受
15、试者人数为的可能取值为，所以，所以的分布列为：所以.【点睛】本题第二问解题的关键在于根据题意得抽取的人中，大龄受试者有人，年轻受试者有人，进而根据超几何分布求概率分布列与数学期望，考查运算求解能力，是中档题.18. 已知函数(，)的部分图象如图所示，为图象与轴的交点，分别为图象的最高点和最低点，中，角，所对的边分别为，的面积.（1）求的角的大小；（2）若，点的坐标为，求的最小正周期及的值.【答案】（1）；（2）最小正周期为，.【解析】【分析】（1）根据，利用余弦定理和三角形面积公式，易得，即求解.由，利用余弦定理可得，进而得到函数的最小正周期为，然后由在函数的图象上，求得即可.【详解】（1），
16、由余弦定理得，又，即，由题意得，由余弦定理，得，即，设边与轴的交点为则为正三角形，且，函数的最小正周期为，又点在函数的图象上，即，即，即又，.【点睛】方法点睛：（1）求f(x)Asin(x)(0)的对称轴，只需令xk(kZ)，求x；求f(x)的对称中心的横坐标，只需令xk(kZ)即可（3）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为yAsin(x)或yAcos( x)的形式，则最小正周期为T；（3）奇偶性的判断关键是解析式是否为yAsin x或yAcos xb的形式19. 如图，四棱锥中，底面，且，分别为，的中点.（1）若，求证：平面；（2）若四棱锥的体积为2，求二面角的余弦值.【答案】（1）详见解
17、析；（2）.【解析】【分析】（1）依据线面垂直的判定定理，可证明和；（2）首先求的长度，再建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，再求二面角的余弦值【详解】（1）当时，点是的中点，又平面，且，平面，平面，又，平面；（2），解得：，如图，以为原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系，设平面的法向量，则，即，令，则，显然平面，设平面的法向量，二面角是锐二面角，二面角的余弦值是.20. 椭圆：()的左焦点为，且椭圆经过点，直线()与交于，两点（异于点）.（1）求椭圆的方程；（2）证明：直线与直线的斜率之和为定值，并求出这个定值.【答案】（1）；（2）证明见解析，定值为1.【解析】【分析】（1）根据椭
18、圆左焦点为，且椭圆经过点，从而得到，进而求得的值，得到椭圆方程；（2）先联立直线方程与椭圆方程，消元，设，韦达定理得到，利用两点斜率坐标公式，结合韦达定理证得结果.【详解】（1）由题意得：则椭圆方程为；（2）解法一（常规方法)：设，联立化简可得：，直线与椭圆交于两点即解得：由韦达定理直线得斜率和为定值解法二（构造齐次式)：由题直线恒过定点当直线不过原点时，设直线为则即有由有则整理成关于的齐次式： ，进而两边同时除以，则令则当直线过原点时，设直线的方程为综合直线与直线的斜率之和为定值【点睛】方法点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的问题，解题方法如下：（1）根据题中所给的条件，确定出的值，进而求得的
19、值，得到椭圆方程；（2）将直线方程与椭圆方程联立，韦达定理求得两根和与两根积，利用斜率公式证得结果.21. 设函数().（1）若，求的极值；（2）讨论函数的单调性；（3）若，证明：.【答案】（1）0，无极大值；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）由得到，然后分别令，再根据极值的定义求解. （2）由，分，由，求解.（3）根据（1）知在上为减函数，得到，即，然后令，得到，再利用不等式的性质求解.【详解】（1）的定义域为，当时，若，则，若，则,在上单调递减，在上单调递增，没有极大值（2），当时，若，则，若，则，在上单调递减，在上单调递增，当，即时，若，则或，若，则在上单调递减，在，
20、上单调递增当，即时，恒成立，在上单调递增当，即时，若，则或;若，则，在上单调递减，在上单调递增综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增;当时，在上单调递增;当时，在上单调递减，在上单调递增当时，在上单调递减，在上单调递增;（3）由（1）知在上为减函数，时，令，得，即，, ，将以上各式左右两边相加得：，.【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是联系到在上为减函数，再从不等式的结构和对数的运算，想到构造求解.22. 已知直线的参数方程为(为参数)，若以直角坐标系的点为极点，方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的倾斜角和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于
21、，两点，设点，求.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）将直线的参数方程化为直角坐标方程，根据斜率求解出倾斜角，将曲线的极坐标方程左右同乘，再根据求解出的直角坐标方程；（2）先将直线的参数方程化为标准形式，再将直线的参数方程代入的直角坐标方程，根据参数的几何意义求解出的值.【详解】将直线为参数)化为直角坐标系方程为：直线的斜率为，即直线的倾斜角为由曲线的极坐标方程：变形得，所以曲线的直角坐标系方程为将直线化为标准参数方程为：(为参数)代入中，整理得：，设所对应的参数分别是，.【点睛】结论点睛：直线参数方程的三个应用：已知直线经过点，倾斜角为，点为上任意一点，则直线的参数方程为（为参数
22、）.（1）若是直线上的两个点，对应的参数分别为，则，；（2）若线段的中点为，点对应的参数为，则；（3）若直线上的线段的中点为，则.23. 已知，恒成立.（1）若，求的最小值；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据将原式变形为，利用基本不等式求解出最小值即可；（2）将问题转化为“恒成立”，采用分类讨论的方法分段求解出的取值范围，最后取并集可得结果.【详解】（1）因为，取等号时，即，所以的最小值为；（2）因为，恒成立，所以恒成立，即，当时，此时无解；当时，解得；当时，解得，综上可知：的取值范围为.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
