1、2021届西南名师联盟高三高考实用性联考数学（文）卷（二）一、单选题1设集合，则（ ）ABCD【答案】A【解析】根据集合交集的定义，结合题中所给的集合中的元素，求得结果.【详解】，则，故选：A【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有集合的运算，属于基础题目.2设复数，在复平面内的对应点关于实轴对称，则（ ）AB5CD13【答案】D【解析】由题意求出，结合复数的乘法运算即可求出.【详解】由题意，得，则，故选:D【点睛】本题考查了复数的计算，属于基础题.本题的关键是求出.3设向量，满足，则（ ）A14BC12D【答案】B【解析】利用配方法转化为，代入已知可解得结果.【详解】因为，所以，
2、故选：B【点睛】本题平面向量数量积的运算律，考查了求向量的模长，属于基础题.4化简的值为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据两角和余弦公式化简求值即可.【详解】，故选C【点睛】本题考查了三角恒等变换，逆用两角和余弦公式化简求值，属于简单题.5袋中共有完全相同的4只小球、编号为1，2，3，4，现从中任取2只小球，则取出的2只球编号之和是奇数的概率为（ ）ABCD【答案】D【解析】先列举出任取2只小球的事件，共6种取法，再列举出2只球编号之和是奇数的事件，共4种取法，最后求取出的2只球编号之和是奇数的概率即可.【详解】解：在编号为1，2，3，4的小球中任取2只小球，则有，共6种取法，则取出的2只球
3、编号之和是奇数的有，共4种取法，所以取出的2只球编号之和是奇数的概率为，故选：D【点睛】本题考查利用列举法求古典概型的概率，是基础题6对任意非零实数，定义的算法原理如图程序框图所示设，则计算机执行该运算后输出的结果是（ ）ABC3D2【答案】D【解析】根据题中所给的程序框图，结合条件，读出结果.【详解】，且，故选：D【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有程序框图输出结果的计算，属于基础题目.7若变量，满足约束条件则目标函数的最小值为（ ）A1BCD【答案】C【解析】画出可行域，结合图形分析最优解，从而求出最小值.【详解】画出可行域，向上平移基准直线,可得最优解为，由此求得目标
4、函数的最小值为， 故选:C【点睛】本题考查了线性规划求最值，属于基础题.8已知函数，则函数的图象在点处的切线斜率为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据得到它的导函数，求即可.【详解】依据，有，因此，函数的图象在点处的切线斜率为，故选C【点睛】本题考查了根据导数的几何意义求函数在某点处的切线斜率，属于简单题.9某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）ABCD【答案】A【解析】由三视图可知几何体：圆台，进而依据圆台的体积公式求体积即可.【详解】该几何体为上、下底面直径分别为2、4，高为4的圆台，体积为，故选A【点睛】本题考查了根据三视图求几何体的体积，圆台的体积公式应用，属于简单题.10
5、已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为（ ）AB3CD【答案】A【解析】根据题意，由双曲线的几何性质可得焦点坐标以及渐近线的方程，进而由点到直线的距离公式计算可得答案【详解】双曲线：的方程化为：.所以双曲线的焦点在轴上，且.渐近线方程为：，取的坐标为，取一条渐近线.则点到的一条渐近线的距离，故选：A【点睛】本题考查双曲线的几何性质，关键是利用双曲线的标准方程，计算出焦点坐标以及渐近线的方程属于基础题.11在正方体中，点为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A0BCD【答案】C【解析】连接，找出异面直线所成的角，结合余弦定理即可求出所成角的余弦值.【详解】连接，则，则为所
6、求，设正方体棱长为2，在中，所以，故选:C【点睛】本题考查了异面直线所成角的求解，考查了余弦定理，属于基础题.本题的关键是找出异面直线所成的角.12设函数，函数，若对于，使成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】由题意只需，对函数求导，判断单调性求出最小值，对函数讨论对称轴和区间的关系，得到函数最小值，利用即可得到实数的取值范围.【详解】若对于，使成立，只需，因为，所以，当时，所以在上是减函数，所以函数取得最小值因为，当时，在上单调递增，函数取得最小值，需，不成立；当时，在上单调递减，函数取得最小值，需，解得，此时；当时，在上单调递减，在上单调递增，函数取得最小值，需，解得或，
7、此时无解；综上，实数的取值范围是，故选:A【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，考查二次函数在区间的最值的求法，考查分类讨论思想和转化思想，属于中档题.二、填空题13已知函数则的值为_【答案】【解析】根据题中所给的函数解析式，将自变量代入求得结果.【详解】因为，所以故答案为：.【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有已知自变量求函数值，属于基础题目.14函数的最大值为_.【答案】7【解析】由题得，再利用二次函数的图象和性质求最值.【详解】由题得当时，取得最大值7.故答案为：7【点睛】本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，考查二次型复合函数的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌
8、握水平.15已知偶函数在上单调递减若则的取值范围是_【答案】【解析】根据奇偶性和单调性可得，从而得，即可得解.【详解】因为是偶函数，所以不等式，又因为在上单调递减，所以，解得故答案为：.【点睛】本题主要考查了奇偶性和单调性的应用，属于基础题.16在中，则中线的取值范围是_【答案】【解析】由正弦定理可得，从而可求出的轨迹方程，结合椭圆的性质即可求出中线的取值范围.【详解】由正弦定理得，则点是以，为焦点的椭圆上的一点，不妨以，所在直线为轴，点为原点建立平面直角坐标系，则椭圆方程为，由椭圆的性质可知，椭圆上点到原点距离最大为长轴的一半，最小为短轴的一半，则可知中线长的取值范围为故答案为: .【点睛】
9、本题考查了正弦定理，考查了椭圆的性质，属于中档题.本题的难点是将中线转化为椭圆问题.三、解答题17已知数列为等差数列，（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先建立方程组求得，再求数列的通项公式；（2）先化简为，再利用“裂项相消法”求数列的前项和即可【详解】解：（1）因为，所以，因为数列为等差数列，所以，解得，所以（2）因为，所以，所以【点睛】本题考查等差数列的基本量法、求等差数列的通项公式、“裂项相消法”求数列的前项和，是基础题.18已知四边形是梯形（如图甲），为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置（如图乙），且甲 乙（1）求证：平面平面；（
10、2）求点到平面的距离【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）连接，取的中点，连接， 可得，进而可得平面，又平面，可得平面平面；（2）设点到平面的距离为，利用等体积法进行转化计算即可得解.【详解】（1）连接，因为，为的中点，所以四边形是边长为2的正方形，且，取的中点，分别连接， 因为，所以，且，又，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）由（1）知，平面，为正三角形且边长为2，设点到平面的距离为，则，所以，即，解得，故点到平面的距离为【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查点面间的距离求法，考查逻辑思维能力和计算能力，考查空间想象能力，属于常考题.19某校从参加市联考的甲、乙两
11、班数学成绩110分以上的同学中各随机抽取8人，将这16人的数学成绩编成如下茎叶图.（）茎叶图中有一个数据污损不清（用表示），若甲班抽出来的同学平均成绩为122分，试推算这个污损的数据是多少？（）现要从成绩在130分以上的5位同学中选2位作数学学习方法介绍，请将所有可能的结果列举出来，并求选出的两位同学不在同一个班的概率.【答案】（1）这个污损的数据是；（2）所求概率为.【解析】试题分析：（1）根据平均数概念，求出污损不清的数字；（2）先选出甲乙两班分数在130分以上的学生共有5人，甲班2人，乙班3人，从5人中抽取2人共有10种取法，不在同一个班的学生的取法有6种，则最后的概率为.试题解析：（1
12、）设污损不清的数字为，由平均数的概念得，解得.（2）依据题意，甲班分以上的有人，编号为，乙班分以上的有人，编号为、，从位同学中任选人，所有的情况列举如下：,共10种结果 其中两位同学不在同一班的有,共6种所以所求概率为. 【考点】对茎叶图的理解，平均数，古典概型的求解.20已知抛物线：的焦点为，为坐标原点过点的直线与抛物线交于，两点（1）若直线与圆：相切，求直线的方程；（2）若直线与轴的交点为且，试探究：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由【答案】（1）；（2），理由见解析；【解析】（1）由直线过焦点，且与半径为，圆心的圆相切知圆心到直线的距离即可求直线斜率，进而得到直线方
13、程；（2）由直线与抛物线、轴的交点情况知斜率存在且，令，联立方程得，又，应用向量共线的坐标表示有即可确定是否为定值.【详解】（1）由题意知：且圆的半径为，圆心，即有在圆外，设直线为，则圆心到直线的距离，解之得：，即直线的方程为.（2）由过的直线与抛物线交于，两点，与轴的交点为，即斜率存在且，设直线为，有，联立直线方程与椭圆方程，有，可得，设，即有， 由，可得，即可得为定值【点睛】本题考查了抛物线，由直线与抛物线的交点情况，结合它与圆的位置关系求直线方程，根据直线与y轴、抛物线的交点，结合向量共线情况说明参数之和是否为定值.21已知函数f（x）=exax1（1）求f（x）的单调增区间；（2）是否
14、存在a，使f（x）在（2，3）上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由【答案】（1）f（x）的递增区间是lna，+）（2）存在实数ae3，使f（x）在（2，3）上单调递减【解析】试题分析：（1）先求出函数的导数，再讨论若a0，若a0的情况，从而求出单调区间；（2）由f（x）=exa0在（2，3）上恒成立从而aex在x（2，3）上恒成立，从而f（x）在（2，3）上为减函数，得ae3故存在实数ae3，使f（x）在（2，3）上单调递减解 f（x）=exa，（1）若a0，则f（x）=exa0，即f（x）在R上递增，若a0，exa0，exa，xln a因此f（x）的递增区间是lna，+）
15、（2）由f（x）=exa0在（2，3）上恒成立aex在x（2，3）上恒成立又2x3，e2exe3，只需ae3当a=e3时f（x）=exe3在x（2，3）上，f（x）0，即f（x）在（2，3）上为减函数，ae3故存在实数ae3，使f（x）在（2，3）上单调递减【考点】利用导数研究函数的单调性22在平面直角坐标系中，已知曲线：（为参数）曲线：（为参数），且点为曲线与的公共点（1）求动点的轨迹方程；（2）在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为，求动点到直线距离的最大值【答案】（1）；（2）【解析】（1）设点，点P同时满足曲线与的方程，消参得，由，即可求得点的轨迹方程；（2
16、）由，将极坐标方程转化为直角坐标方程，动点为圆心在原点，半径为3的圆，先求出圆心到直线的距离，即可求出动点到直线距离的最大值.【详解】（1）设点P的坐标为.因为点P为曲线与的公共点，所以点P同时满足曲线与的方程.曲线消去参数可得，曲线消去参数可得. 由，所以，所以点的轨迹方程为（2）因为直线的极坐标方程为，根据，可化直线的直角坐标方程为，因为动点的轨迹为圆（去掉两点），圆心到直线的距离为，所以动点到直线的距离的最大值为【点睛】本题主要考查动点的轨迹方程的求法、极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线与圆的位置关系，考查学生转化和计算能力，属于基础题.23已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围【答案】（1）；（2）或【解析】（1）由题意，令即有求解集即可；（2）由绝对值的几何含义知，则等价于，即可求的取值范围.【详解】（1）当时，令，即求的解集，解之得：（2）因为，由，即等价于，解得或【点睛】本题考查了解绝对值不等式，应用等价转化、绝对值的几何含义求解集、参数范围.
