1、2021届湖南省百校联考高三上学期9月月考数学试题一、单选题1若，则（ ）ABCaD【答案】A【解析】由，利用诱导公式，即可求值.【详解】因为，所以.故选：A【点睛】本题考查三角函数的诱导公式，考查运算求解能力.2设集合，则=（ ）A（0，1）BC（3，1）D【答案】B【解析】化简集合A，B，根据交集运算即可求值.【详解】因为，所以.故选：B【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，集合的运算，属于中档题.3下列四个数中，最大的是（ ）ABCD【答案】B【解析】根据对数的性质，判断各选项对数值所在的区间即可知它们的大小关系.【详解】因为，所以最大的是.故选：B【点睛】本题考查对数大小的比较，
2、考查逻辑推理的核心素养.4若，则“”是“”的（ ）A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据充分条件、必要条件的概念即可求解.【详解】因为，所以，即，故可推出，而推不出，（例如）故“”是“”的必要不充分条件.故选：A【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件，不等式的性质，属于中档题.5函数在上的图象大致为（ ）ABCD【答案】D【解析】先判断函数的奇偶性，排除AC，再由特殊值验证，排除B，即可得出结果.【详解】因为，所以为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A与C.又因为，所以排除B.故选：D.【点睛】本题主要考查函数图像的识别，属于基础题型.6设集合
3、，若，则a的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】由二次函数的性质求出的值域，即可求出，由二次函数的性质和正弦函数的性质即可求出，结合两个集合的关系，即可得到关于a的不等式，从而可求出a的取值范围.【详解】因为，所以.因为，因为，所以，所以.因为，所以，则，即.故选:C.【点睛】本题考查集合的并集与二次函数的值域，考查运算求解能力.7某艺术展览馆在开馆时间段（9：0016：00）的参观人数（单位：千）随时间（单位：时）的变化近似满足函数关系，且下午两点整参观人数为7千，则开馆中参观人数的最大值为（ ）A1万B9千C8千D7千【答案】B【解析】利用当时，求出，由，利用正弦函数的性质即可求解.
4、【详解】下午两点整即，当时，.即，当时，当时，取得最大值，且最大值为.故选：B【点睛】本题考查了三角函数的性质求解析式、三角函数的应用，考查了基本运算求解能力，属于基础题.8太阳是位于太阳系中心的恒星，其质量大约是千克.地球是太阳系八大行星之一，其质量大约是千克.下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：，）ABCD【答案】D【解析】根据题意，得到，两边同时取以10为底的对数，根据题中条件，进行估算，即可得出结果.【详解】因为，所以.故.故选：D.【点睛】本题主要考查对数的运算，属于基础题型.二、多选题9若，则的值可能为（ ）ABCD【答案】BD【解析】先设，再化简原式进行代换，解得t值，即得的
5、值.【详解】设，故.故选：BD.【点睛】本题考查了换元法和三角恒等变换，属于基础题.10设命题，在上是增函数，则（ ）Ap为真命题B为，在上是减函数Cp为假命题D为，在上不是增函数【答案】AD【解析】用特值可检验命题p的真假；特称命题的否定改写即可.【详解】当时，对恒成立，故p为真命题.因为“是增函数”的否定为“不是增函数”，所以为“，在上不是增函数”.故选：AD.【点睛】本题考查特称命题的否定与导数的应用，考查推理论证能力.11已知函数，则（ ）A的极值点不止一个B的最小值为C的图象关于轴对称D在上单调递减【答案】BCD【解析】计算得出，利用奇偶性的定义可判断C选项的正误；分析函数的单调性可
6、判断A、C、D选项的正误.【详解】因为，所以，函数的定义域为，所以，函数为偶函数，它的图象关于轴对称，C选项正确；当时，函数单调递增；当时，函数单调递减.所以，函数的极值点有且只有一个，A选项错误，D选项正确；由上可知，B选项正确.故选：BCD.【点睛】本题考查函数的综合，考查了函数的单调性、奇偶性、最值以及极值点个数的判断，化简函数的解析式是解题的关键，属于中等题.12已知函数的导函数为，若对恒成立，则下列不等式中，一定成立的是（ ）ABCD【答案】BD【解析】根据题设的不等关系构造，并求得它们的导函数，即可联系已知不等关系确定函数的单调性，进而可知、的不等关系.【详解】设，则，.对恒成立，
7、则，在上单调递减，在上单调递增，则，即，.故选：BD【点睛】本题考查导数与不等式的综合应用，考查构造函数的方法的灵活应用与推理论证能力.三、填空题13已知函数且，则曲线在点处的切线方程为_.【答案】【解析】先根据条件求值，再求导利用导数几何意义得到切线斜率，求切点，根据点斜式写方程即可.【详解】因为，所以.因为当时，所以.又，所以所求切线方程为，即，即.故答案为：【点睛】本题考查了导数的几何意义与分段函数求值，考查运算求解能力，属于基础题.14已知曲线关于直线对称，则的最小值为_.【答案】【解析】由题意可得出的表达式，由此可求得的最小值.【详解】因为曲线关于直线对称，所以，所以，当时，取最小值
8、为.故答案为：.【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称性求参数的最值，考查计算能力，属于中等题.15不等式的解集为_.【答案】（1，1）【解析】作出函数，的图象，求出两个图象的交点坐标，观察图象可得结果.【详解】在同一直角坐标系中，作出函数，的图象，这两个图象的交点为（1，1），（1，9），故由图可知不等式的解集为（-1，1）.故答案为：（1，1）【点睛】本题考查利于数形结合解决不等式的解集问题，考查指数函数的图象，属于基础题.16关于函数有如下四个命题：的最小值为；在上单调递增；的最小正周期为；方程在内的各根之和为.其中所有真命题的序号是_.【答案】【解析】应用三角恒等变换转化函数式，可得到含
9、有余弦绝对值的二次函数式，结合二次函数最值、复合函数的单调性可求的最小值、在上单调性，利用周期判定有即可知最小正周期，根据知在上关于对称即可求得各根的和.【详解】，当时，取得最小值且最小值为，当时，单调递增且，则在上单调递增.由且，所以的最小正周期为.因为，所以的图象关于直线对称，由，得，则方程在内有四个根，且各根之和为.故答案为：.【点睛】本题考查三角函数的性质与复合函数问题，考查逻辑推理的核心素养.四、解答题17在，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的存在最大值，则求出最大值；若问题中的不存在最大值，请说明理由.问题：设是数列的前项和，且，_，求的通项公式，并判断是否存在最
10、大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】答案见解析【解析】若选，求出数列是首项为4，公比为的等比数列，求出通项公式和前项和，通过讨论的奇偶性，求出其最大值即可；若选，求出数列是首项为4，公差为的等差数列，求出通项公式和前项和，求出其最大值即可；若选，求出，当时，故不存在最大值.【详解】解：选因为，所以是首项为4.公比为的等比数列，所.当为奇数时，因为随着的增加而减少，所以此时的最大值为.当为偶数时，且综上，存在最大值，且最大值为4.选因为，.所以是首项为4，公差为的等差数列，所以.由得，所以存在最大值.且最大值为（或），因为，所以的最大值为50.选因为，所以，所以，则，又
11、，所以.当时，故不存在最大值.【点睛】此题考查数列的通项公式和求和公式，考查等差数列和等比数列的性质，属于基础题182020年3月，受新冠肺炎疫情的影响，我市全体学生只能网上在线学习.为了了解学生在线学习的情况，市教研院数学教研室随机从市区各高中学校抽取60名学生对线上教学情况进行调查（其中男生与女生的人数之比为21），结果发现男生中有10名对线上教学满意，女生中有12名对线上教学不满意.（1）请完成如下22列联表，并回答能否有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”；满意不满意合计男生女生合计60（2）以这60名学生对线上教学的态度的频率作为1名学生对线上教学的态度的概率，若从全市学
12、生中随机抽取3人，设这3人中对线上教学满意的人数为，求随机变量的分布列与数学期望.附：参考公式其中.0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.635【答案】（1）列联表见解析；没有；（2）分布列见解析，期望为.【解析】（1）根据题中数据，直接完善列联表即可；再由公式求出，结合临界值表，即可得出结论；（2）由题意，得到的可能取值为0，1，2，3，且，求出对应的概率，进而可得分布列，由二项分布的期望计算公式，即可求出期望.【详解】（1）由题意可知抽取的60名学生中男生有40人，女生有20人，则列联表如下：满意不满意合计男生103040女生81220合计184260因为，
13、所以没有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”（2）的可能取值为0，1，2，3，由题意可知，则，所以随机变量的分布列为0123因此期望为：.【点睛】本题主要考查完善列联表，考查独立性检验的思想，考查求二项分布的分布列和期望，属于常考题型.19在中，.（1）求；（2）若的周长为求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由同角间的三角函数关系求出，从而结合诱导公式可求得可得角；（2）由正弦定理可得三边长之比，结合周长可得三边长，再由三角形面积公式计算面积【详解】（1）因为，所以.若，则，从而，均为钝角.这不可能，故，.所以，因为.所以.（2）由（1）知，由正弦定理得.设，则，则的周
14、长为，解得，从而，故的面积.【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查两角和的正弦公式及诱导公式，考查正弦定理及三角形面积公式，旨在考查学生的运算求解能力，属于中档题20如图，已知，平面，平面，过点且垂直于的平面与平面的交线为，.（1）证明：平面；（2）设点是上任意一点，求平面与平面所成锐二面角的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由题意可知平面，则有，又平面，则可得出，从而得出/，再证明平面即可证明平面；（2）作/，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，然后计算平面和平面的法向量，通过法向量夹角的余弦值来计算.【详解】解：（1）证明：因为，平面，所以/平面，又平面，平面
15、平面，所以/.因为平面，所以.又，所以平面，从而平面.（2）作/，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，平面平面的法向量分别为，则，.因为平面，所以，令，得，即.同理，令，得，即.因为，当且仅当时取等号，所以平面与平面所成锐二面角的最小值为.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查考利用空间向量求解面面夹角，考查学生的基本运算能力与逻辑推理能力，难度一般.21已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，且经过点.（1）求到的焦点的距离；（2）若的对称轴为轴，过（9，0）的直线与交于，两点，证明：以线段为直径的圆过定点.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）分抛物线的对称轴为轴与
16、轴进行讨论，可得抛物线的方程，再根据抛物线的几何意义可得到的焦点的距离；（2）设直线的方程为，设，线段的中点为，联立抛物线和直线，可得，的值，可得以线段为直径的圆的方程，可得证明.【详解】（1）解：当的对称轴为轴时，设的方程为，将点的坐标代入方程得，即，此时到的焦点的距离为.当的对称轴为轴时，设的方程为，将点的坐标代入方程得.即.此时到的焦点的距离为.（2）证明：由（1）可知，当的对称轴为轴时，的方程为.直线斜率显然不为0，可设直线的方程为，设，线段的中点为.由得，则，所以，且.以线段为直径的圆的方程为即，即，令，则，因为.所以圆过定点（0，0），从而以线段为直径的圆过定点.【点睛】本题主要考
17、查抛物线的定义与几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查学生的综合分析能力与计算能力，属于中档题22已知函（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】（1）求函数的导数，讨论和，分别解导数不等式即可得到函数的单调性.（2）由（1）的单调性，可求得函数的极值，由极值的正负和函数的单调性可得函数的零点个数，从而得到的取值范围.【详解】（1）.当时，令，得，令，得.故在单调递减，在单调递增.当时，令，得，.当即时，在R上单调递增.当即时，在上单调递减，在，上单调递增.当即时，在上单调递减，在，上单调递增.（2）当时，由（1）可知只有一个极小值点.且，当时，从而，因此有两个零点.当时，此时只有一个零点，不符合题意.当时，在R上单调递增，不可能有两个零点.当时，在上单调递减，在，上单调递增，其中，则，即函数的极大值小于0，则在上不可能有两个零点；当时，在上单调递减，在，上单调递增，即函数的极大值小于0，则在上不可能有两个零点；综上，若有两个零点，的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的零点个数问题，考查分析问题的能力和计算能力，属于中档题.
