1、2021届江苏省徐州市高三上学期期中数学试题一、单选题1已知集合，则下列结论正确的是（ ）ABCD【答案】C【详解】集合,所以错误错误,所以正确，错误故答案选2复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】A【分析】对复数进行分母实数化，根据复数的几何意义可得结果.【详解】由，知在复平面内对应的点位于第一象限，故选：A.【点睛】本题主要考查了复数除法的运算以及复数的几何意义，属于基础题.3有4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法为（ ）A6种B12种C36种D72种【答案】C【分析
2、】4名同学中选2名作为一人，共3人分到三个小区即可【详解】由题意不同的安排方法是故选：C【点睛】本题考查排列组合的应用，解题关键是确定完成事件方法4如图，宋人扑枣图轴是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院有甲、乙两人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶中的两个动作，每人模仿一个动作，若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲只能模仿“爬”或“扶”且乙只能模仿“扶”或“捡”的概率是（ ）ABCD【答案】C【分析】先确定基本事件总数，再分类讨论要求事件含有的基本事件数，计算概率即可.【详解】依题意，基本事件总数是，设事件表示甲只能模仿“爬”或“扶”且
3、乙只能模仿“扶”或“捡”，若甲模仿“爬”，则乙能模仿“扶”或“捡”，有2种选择，剩余的2人全排列种排法，故有种排法；若甲模仿“扶”，则乙只能模仿 “捡”， 剩余的2人全排列种排法，故有种排法，故包含个基本事件，.故选：C.【点睛】本题考查了利用古典概型的概率计算解决实际问题，属于基础题.5唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区
4、域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A8B7C6D5【答案】C【分析】求出关于的对称点,根据题意，为最短距离，求出即可.【详解】设点关于的对称点，设军营所在区域为的圆心为,根据题意，为最短距离， 的中点为，直线的斜率为1,解得：,，故选: C.【点睛】本题考查点关于直线对称，点与圆心的距离，考查运算求解能力，求解时注意对称性的应用.6在长方体中，设交于点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD【答案】D【分析】首先以为原点，分别为，轴建立空间直角坐标系，再利用向量法求异面直线成角即可。【详解】以为原点，分别为，轴建立空间直角坐标系，因为，所以，则.故选：D【点睛】本题主要考查向
5、量法求异面直线成角，属于简单题。7若偶函数满足，则（ ）AB1010C1010D2020【答案】A【分析】先根据题意得函数是以为周期的周期函数，再结合奇偶性即可求解.【详解】解：根据题意得，所以，即函数是以为周期的周期函数，由于函数是偶函数，所以，所以， 所以.故选：A.【点睛】本题考查函数的周期性，考查运算能力，是基础题.8十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；，如此这样，
6、每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为（ ）（参考数据：，）A4B5C6D7【答案】C【分析】依次求出第次去掉的区间长度之和，这个和构成一个等比数列，再求其前项和，列出不等式解之可得【详解】第一次操作去掉的区间长度为；第二次操作去掉两个长度为的区间，长度和为；第三次操作去掉四个长度为的区间，长度和为；第次操作去掉个长度为的区间，长度和为，于是进行了次操作后，所有去掉的区间长度之和为，由题意，即，即，解得：，又为整数，所以的最
7、小值为.故选：C.【点睛】本题以数学文化为背景，考查等比数列通项、前项和等知识及估算能力，属于中档题.二、多选题9已知曲线的方程为（ ）A当时，曲线是半径为2的圆B当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为C存在实数，使得曲线为离心率为的双曲线D“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件【答案】ABD【分析】A.由得到曲线方程判断；B.由得到曲线方程判断；C.根据曲线为离心率为的双曲线，则由判断；D. 利用充分和必要条件的定义判断.【详解】A.当时，曲线方程为，所以是半径为2的圆，故正确；B.当时，曲线方程为，所以是双曲线，且其渐近线方程为，故正确；C.若曲线为离心率为的双曲线，则，方程无解，故
8、错误；D. 当时，曲线为焦点在y轴上的椭圆，故不充分，当曲线为焦点在轴上的椭圆时，则，解得，故必要，故正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查曲线与方程，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.10设，则（ ）ABCD【答案】ACD【分析】对于A，化简后利用基本不等式判断即可；对于B，举反例可判断；对于C，利用作差法判断即可；对于D，【详解】对于A，因为，当且仅当，即时取等号，所以A正确；对于B，令，则，此时，所以B错误；对于C，因为，所以，所以，所以C正确；对于D，当且仅当时取等号，所以 ，所以D正确；故选：ACD【点睛】此题考查基本不等式的应用，考查不等式性质的应用，属于基础题11如图，BC，D
9、E是半径为1的圆O的两条不同的直径，则（ ）ABCD满足的实数与的和为定值4【答案】BCD【分析】A. 根据易得判断；B. 由运算求解判断；，C.建立平面直角坐标系：设，则，得到，由利用三角恒等变换和三角函数的性质判断；D. 将，利用线性运算变形为判断；【详解】A. 因为，所以，故错误；B. ，故正确；C.建立如图所示平面直角坐标系：设，则，所以，所以，故正确；D. 由，得，所以，故正确；故选：BCD【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到而信号处理背后的“
10、功臣”就是正弦型函数函数的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则（ ）A函数为周期函数，且最小正周期为B函数的图象关于点对称C函数的图象关于直线对称D函数的导函数的最大值为4【答案】BCD【分析】利用周期的定义可判断A选项的正误；根据 可判断B选项的正误；利用函数的对称性可判断C选项的正误；求得函数的导数，求出的最大值，可判断D选项的正误.【详解】，所以，不是函数的最小正周期，A选项错误；， ，所以，故函数的图象关于点对称，B选项正确；，所以，函数的图象关于直线对称，C选项正确；，则，又，所以函数的最大值为，D选项正确.故选：BCD.【点睛】本题考查正弦、余弦型函数基本性质的判断，涉及正弦型函
11、数的周期性、对称性以及余弦型函数最值的判断，考查计算能力，属于中等题.三、填空题13展开式中含的项的系数为_【答案】-100【分析】先求出展开式中的常数项与含的系数，再求展开式中的常数项，合并求得结果.【详解】展开式的通项公式为：，令，解得，令，解得，展开式中含的项的系数为：，故答案为：-100.【点睛】该题考查二项展开式中某一项系数的求解，属于基础题目.14某学习小组研究一种卫星接收天线（如图所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图所示），已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则该抛物线的焦点到顶点的距离为
12、_ 【答案】【分析】在接收天线的轴截面所在平面建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在轴上，根据题意求得抛物线的标准方程，可求得该抛物线的焦点坐标，进而可得出结果.【详解】如图所示，在接收天线的轴截面所在平面建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在轴上，设抛物线的标准方程为，由已知条件可得，点在抛物线上，所以，解得，所以，所求抛物线的标准方程为，焦点坐标为，因此，该抛物线的焦点到顶点的距离为.故答案为：.【点睛】本题考查抛物线方程的实际应用，考查计算能力，属于基础题.15已知，则的值为_【答案】【分析】利用两角差的正弦公式可求出的值，进而
13、可求得的值，利用二倍角的正切公式可求得的值.【详解】，则，所以，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查利用二倍角的正切公式求值，同时也考查了两角差的正弦公式、同角三角函数基本关系求值，考查计算能力，属于中等题.16在平面四边形中，将沿折成三棱锥，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的体积为_【答案】【分析】先由题中条件，得到，过点作于点，求出，则，为使三棱锥的体积最大，只需平面，记的外接圆圆心为，连接，根据题中数据，求出，得出点即为该三棱锥外接球的球心，进而可求出球的体积.【详解】因为在平面四边形中，所以，则，所以，则，过点作于点，由可得，则为使三棱锥的体积最大，只需平面，记的外接圆圆心为，连接，
14、因为为直角三角形，所以为中点，且，又在中，由余弦定理可得，则，所以，因此点即为该三棱锥外接球的球心，且该外接球的半径为，所以球的体积为.故答案为：.【点睛】本题主要考查求几何体外接球的体积，熟记球的体积公式，以及简单几何体的结构特征即可，属于常考题型.四、解答题17在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在，它的内角，的对边分别为，且，_，？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】答案见解析.【分析】利用正弦定理和余弦定理分别求出，及一条边，再利用面积公式，从而求得面积；【详解】选择：由余弦定理可知，
15、 由正弦定理得，又，所以，所以是直角三角形，则，所以的面积. 选择：由正弦定理得，即，又，所以，所以，即，又，所以 由正弦定理得，所以的面积. 选择：因为，所以，又，所以，所以，即 由正弦定理得，所以的面积.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.18设为数列的前n项和，满足，且，成等差数列（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和【答案】（1）；（2）【分析】（1）由和，可得，通过递推分别用表示，列方程可得，进而可得的通项公式；（2）写出，利用乘公比错位相减求即可.【详解】（1）当时，即， 由，成等差
16、数列可知，即，解得，所以，则是以为首项，为公比的等比数列，所以的通项公式为 （2）由（1）知，则，两式相减得， 所以【点睛】本题考查了与的关系，等比数列的通项公式，考查了乘公比错位相减求和，属于中档题.19某生物研究所为研发一种新疫苗，在200只小白鼠身上进行科研对比实验，得到如下统计数据：未感染病毒感染病毒总计未注射疫苗35注射疫苗65总计100100200现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为（1）能否有的把握认为注射此种疫苗有效？（2）现从感染病毒的小白鼠中任意抽取2只进行病理分析，记注射疫苗的小白鼠只数为，求的概率分布和数学期望附：，0.100.050.02
17、50.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）有99.9%的把握认为注射此种疫苗有效；（2）概率分布见解析，【分析】（1）根据题中条件，先得出，由公式求出，结合临界值表，即可得出结果；（2）根据题意，得到的所有可能取值为0，1，2；分别求出对应的概率，即可得出分布列，以及期望.【详解】（1）由条件知，所以有99.9%的把握认为注射此种疫苗有效（2）由题意，的所有可能取值为0，1，2，所以的概率分布为012数学期望【点睛】本题主要考查独立性检验的基本思想，考查离散型随机变量的分布列与期望，属于常考题型.20如图，在四棱锥中，底面是菱形
18、，平面（1）求证：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）先由已知推出，再由线面垂直判定定理得到平面，最后由面面垂直判定定理推出平面平面；(2)建立空间直角坐标系，写出相关点坐标，求出平面和平面的法向量，根据向量的夹角公式直接计算即可.【详解】（1）因为平面，平面，所以，在菱形中，又因为，平面，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面 （2）设与交于点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以， 设平面的法向量为，则 即令，得平面的一个法向量为，同理，可求得平面的一个法向量为， 所以故二面角的余弦值为【点睛】本题考查面面垂直的判定、通过空间直角坐标系计算
19、二面角的余弦值，属于中档题.21已知函数（1）求函数在上的最小值；（2）若，求实数的值【答案】（1）0；（2）【分析】（1）求导研究函数的单调性得在上是增函数，进而可得在上的最小值；（2）将问题转化为，进而构造函数，求导得，再分，四种情况讨论即可得答案.【详解】解：（1）因为，当且仅当时，所以在上是增函数，所以在上的最小值为 （2）根据题意得：，设，则当时，当时，由（1）知，而，所以不恒成立 当时，当时，当且仅当时，所以在上是减函数，所以，即不恒成立 当时，当时，当且仅当时，所以在上是增函数，所以，即不恒成立.当时，当时，在上是增函数；当时，在上是减函数所以，即恒成立综上所述，实数的值为.【点
20、睛】本题考查利用导数求函数的最值，研究不等式恒成立问题，考查综合分析能力与分类讨论思想，是难题.22在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，且过点（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上位于第一象限内的点，连接并延长交椭圆于另一点，点，若为锐角，求的面积的取值范围【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用点的坐标和焦点坐标可得答案；（2）分直线AB斜率存在和不存在讨论，存在时设直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理和由为锐角条件，可得三角形面积，再利用导数求范围可得答案.【详解】（1）由题意知， 解得所以椭圆的方程为 （2）当直线AB斜率不存在时，,当直线AB斜率存在时设为，联立整理得，设，则， 由为锐角可知，即，解得，又点A在第一象限，当时，当时，所以，所以的面积，因为，所以，令，在单调递增，所以，综上所述，的面积取值范围是.【点睛】本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，向量与椭圆结合，求三角形面积的取值范围的问题，属于有难度的题.
