1、2021年上海市黄浦区高考数学二模试卷1. 已知集合，则_ .2. 方程的解_ .3. 已知球的表面积为，则该球的体积为_.4. 已知函数的定义域为R，函数是奇函数，且，若，则_ .5. 已知复数z的共轭复数为，若其中i为虚数单位，则_ .6. 已知长方体的棱，则异面直线与所成角的大小是_ 结果用反三角函数值表示7. 已知随机事件A和B相互独立，若，表示事件A的对立事件，则_ .8. 无穷等比数列的前n项和为，且，则首项的取值范围是_ .9. 已知的二项展开式中第三项的系数是112，则行列式中元素的代数余子式的值是_ .10. 已知实数x、y满足线性约束条件，则目标函数的最大值是_ .11.
2、某企业开展科技知识抢答抽奖活动，获奖号码从用0、1、2、3、9这十个数字组成没有重复数字的三位数中产生，并确定一等奖号码为：由三个奇数字组成的三位数，且该三位数是3的倍数.若某位职工在知识抢答过程中抢答成功，则该职工随机抽取一个号码能抽到一等奖号码的概率是_ 结果用数值作答12. 已知，函数的最小值为2a，则由满足条件的a的值组成的集合是_ .13. 已知空间直线l和平面，则“直线l在平面外”是“直线平面”的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件14. 某赛季甲乙两名篮球运动员在若干场比赛中的得分情况如下：甲：21、22、23、25、28、29、30、30
3、；乙：14、16、23、26、28、30、33、则下列描述合理的是A. 甲队员每场比赛得分的平均值大B. 乙队员每场比赛得分的平均值大C. 甲队员比赛成绩比较稳定D. 乙队员比赛成绩比较稳定15. 已知点是直线l：是参数和圆C：是参数的公共点，过点P作圆C的切线，则切线的方程是A. B. C. D. 16. 已知x、y是正实数，的三边长为，点P是边与点A、B不重合上任一点，且若不等式恒成立，则实数m的取值范围是A. B. C. D. 17. 已知长方体中，棱，点E是棱AD的中点.联结CE，求三棱锥的体积V；求直线和平面所成角的大小结果用反三角函数值表示18. 已知中，内角A、B、C所对边长分别
4、为a、b、c，且，求正实数a的值；若函数，求函数的最小正周期、单调递增区间.19. 某民营企业开发出了一种新产品，预计能获得50万元到1500万元的经济收益.企业财务部门研究对开发该新产品的团队进行奖励，并讨论了一个奖励方案：奖金单位：万元随经济收益单位：万元的增加而增加，且，奖金金额不超过20万元.请你为该企业构建一个y关于x的函数模型，并说明你的函数模型符合企业奖励要求的理由；答案不唯一若该企业采用函数作为奖励函数模型，试确定实数a的取值范围.20. 椭圆的右顶点为，焦距为，左、右焦点分别为、，为椭圆C上的任一点.试写出向量、的坐标用含、c的字母表示；若的最大值为3，最小值为2，求实数a、
5、b的值；在满足的条件下，若直线l：与椭圆C交于M、N两点、N与椭圆的左、右顶点不重合，且以线段MN为直径的圆经过点A，求证：直线l必经过定点，并求出定点的坐标.21. 定义：符号表示实数、中最大的一个数；表示、中最小的一个数.如，设K是一个给定的正整数，数列共有K项，记，由的取值情况，我们可以得出一些有趣的结论.比如，若，则理由：，则又，于是，有试解答下列问题：若数列的通项公式为，求数列的通项公式；若数列满足，求通项公式；试构造项数为K的数列，满足，其中是等比数列，是公差不为零的等差数列，且数列是单调递减数列，并说明理由答案不唯一答案和解析【答案】1. 2. 43. 4. 5. 56. 7.
6、8. 9. 510. 11. 12. 13. B14. C15. A16. A17. 解：因为是长方体，且棱，所以平面ABCD，即三棱锥的高等于，所以，故；以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，所以，设平面的法向量，则，即，令，得，故平面的一个法向量为，设直线和平面所成的角为，则，所以直线和平面所成角的大小为18. 解在中，根据正弦定理，得，由知，函数的最小正周期为由，得函数的递增区间是19. 解答案不唯一构造出一个函数，说明是单调增函数且函数的取值满足要求，如，就是符合企业奖励的一个函数模型，理由：根据一次函数的性质，易知，y随x增大而增大，即为增函数，当时，当时，即奖金金额且不
7、超过20万元，故该函数是符合企业奖励要求的一个函数模型当时，易知是增函数，且当时，；当时，即满足奖金且不超过20万的要求，故当时，符合企业奖励要求，当时，函数是增函数，即对任意、且时，成立，故当且仅当，即时，此时函数在上是增函数，由，得，进一步可知，故成立，即当时，函数符合奖金且金额不超过20万的要求，依据函数模型是符合企业的奖励要求，即此函数为增函数，于是，有，解得综上，所求实数a的取值范围是20. 解：根据题意，可知、，于是，、，由可知，在椭圆上，则依据椭圆的性质，可知当且仅当时，当且仅当时，又，的最大值为3，最小值为2，解得即为所求证明：由知，椭圆又l：，联立方程组得设、是直线l：与椭圆
8、C的两个交点，于是，有，以线段MN为直径的圆经过点，即，进一步得，化简得解得经检验，都满足，当时，直线l过点不满足M、N与椭圆的左右顶点不重合要求，故舍去，即直线l必经过定点，且定点的坐标为21. 解数列的通项公式为，根据指数函数的图像与性质，可知数列是单调递减数列，即，为所求的通项公式数列满足，依据题意，由，知；由，知；依此类推，有，即，于是，数列是单调递减数列，即数列是首项，公差为的等差数列构造数列：，数列：，2，K，设，则数列满足题设要求理由如下：构造数列：，数列：，2，K，易知，数列是等比数列，数列是等差数列由指数函数的性质，知，即数列是单调递减数列；由函数的性质，知数列是单调递减数列
9、，即数列是单调递减数列，即数列是单调递减数列数列是满足条件的数列【解析】1. 或，故答案为：先利用二次不等式和绝对值不等式的解法化简集合，再利用交集的定义求交集本题考查二次不等式和绝对值不等式的解法和交集的概念，属于基础题2. 解：方程，即方程，故答案为：由题意利用对数的性质，求得x的值本题主要考查对数的性质，属于基础题3. 解：设球的半径为R，则，即该球的体积为故答案为：设出球的半径，由表面积求得半径，再代入体积公式求解本题考查球的表面积与体积，是基础的计算题4. 解：根据题意，则，又由是奇函数，则，解可得：，故答案为：根据题意，由函数的解析式可得、的表达式，由奇函数的性质可得，计算可得答案
10、本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数解析式的计算，属于基础题5. 解：因为，所以，故故答案为：根据复数的基本运算法则进行化简即可本题考查复数模和复数的运算性质，比较基础6. 解：建立空间直角坐标系，如图所示：由长方体中，所以，所以，计算，所以异面直线与所成角的大小是故答案为：建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，求出两向量的夹角，从而求出异面直线与所成角的大小本题考查了异面直线所成角的计算问题，也考查了数形结合应用思想，是基础题7. 解：随机事件A和B相互独立，表示事件A的对立事件，故答案为：由对立事件概率计算公式先求出，再由相互独立事件概率计算公式得，由此能求出结果本题考查概率的求法，
11、考查对立事件概率计算公式、相互独立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题8. 解：无穷等比数列的前n项的和是，且，即，由题意可得，且，且，且，首项的取值范围是故答案为：利用无穷等比数列的求和公式，结合公比的范围，即可求得首项的范围本题考查数列的极限，考查无穷等比数列的求和公式，正确运用公比的范围是解题的关键，是中档题9. 解：因为的二项展开式中第三项的系数是112，所以，解得，所以行列式中元素的代数余子式为故答案为：由二项展开式的通项公式可求得n的值，再由代数余子式的定义求解即可本题主要考查二项式定理，代数余子式的定义，考查运算求解能力，属于中档题10. 解：画出
12、可行域，如图所示：当直线过点B时，z取得最大值，联立方程，解得，点，故答案为：画出可行域，利用简单线性规划知识求解本题主要考查了简单的线性规划求最值问题，是基础题11. 解：获奖号码从用0、1、2、3、9这十个数字组成没有重复数字的三位数中产生，基本事件总数，一等奖号码为：由三个奇数字组成的三位数，且该三位数是3的倍数，满足条件的三个奇数可能为，一等奖号码包含的基本事件个数，某位职工在知识抢答过程中抢答成功，则该职工随机抽取一个号码能抽到一等奖号码的概率是故答案为：基本事件总数，满足条件的三个奇数可能为，从而一等奖号码包含的基本事件个数，由此能求出结果本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合
13、等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题12. 解：若时，则的对称轴为，当时，又当时，或舍去，若时，则，若时，则的对称轴为，当时，单调递减，当时，又，综上所述：故答案为：分类讨论a的值，求出二次函数的单调性和最值，从而得到分段函数的最值本题主要考查了二次函数的单调性和最值，考查分类讨论思想，是中档题13. 解：若直线l在平面外，则或l与相交，故“直线l在平面外”推不出“直线平面”，由“直线平面”则推出“直线l在平面外”，故“直线l在平面外”是“直线平面”的必要不充分条件，故选：直接利用线面平行的判定和性质，根据充要条件的定义进行判断即可本题考查了线面平行的判定和性质，充要条件的判断
14、，属于基础题14. 解：甲队员得分的平均值为，乙队员得分的平均值为，故甲队员和乙队员每场比赛得分的平均值相等，故选项A，B错误；甲队员得分的方差为，甲队员得分的方差为，所以甲队员的成绩比较稳定，故选项C正确，选项D错误故选：由题中的数据，分别计算甲队员和乙队员的平均值以及方差，由此判断选项即可本题考查了特征数的求解，主要考查了平均数以及方差的计算公式的运用，考查了运算能力，属于基础题15. 解：直线l：是参数转换为直角坐标方程为由于点在直线上，故，所以，设圆C的切线的方程为，整理得由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离，解得所以切线的方程为故选：首先把参数方程转换为直角坐标方程，进一步利用点到直
15、线的距离公式的应用和直线的方程的求法的应用求出结果本题考查的知识要点：参数方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题16. 解：建立如图所示的直角坐标系，因为，分别为，方向上的单位向量，则为，则，故，因为AB所在的直线方程为，即，因为恒成立，所以，令，则，易得，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，故当时取得最小值，故故选：由已知建立直角坐标系，结合向量数量积的坐标表示可得x，y的关系，然后由已知不等式分离参数，转化为求解函数的最值，结合导数可求本题主要考查了由不等式恒成立求解参数范围，分离法的应用是求解问题的关键，属于中档题17
16、. 利用锥体的体积公式求解计算即可；建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用待定系数法求出平面的法向量，由线面角的计算公式求解即可本题考查了锥体体积的求解以及线面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题18. 由已知结合正弦定理，求出a的值；先利用辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质，求出函数的最小正周期、单调递增区间本题主要考查了正弦定理，辅助角公式和正弦函数的性质，属于中档题19. 答案不唯一构造出一个函数，说明是单调增函数且函数的取值满足要求，如，由反比例函数的性质可知符合题意由反比
17、例函数的性质可知当时，符合企业奖励要求，又因为当时，函数是增函数，所以，再由，得，即当时，函数符合奖金且金额不超过20万的要求，由分段函数在连接点出也单调递增可得，从而求出实数a的取值范围本题主要考查了函数的实际应用，考查了反比例函数的性质，考查了分段函数的单调性，是中档题20. 根据向量的坐标表示即可求解；表示出向量，的数量积的关系式，然后根据椭圆的范围即可求解；联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理以及圆的性质表示出向量AM，AN的数量积的关系式，化简即可求解本题考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系的应用，涉及到向量的坐标运算性质，考查了学生的运算推理能力，属于中档题21. 根据题中定义求解得到所求结论，利用等比数列和等差数列的性质即可求解得出结论本题主要考查等差数列和等比数列的基本性质，以及学生逻辑推理能力，属于中档题
