1、抽象函数专题复习特殊模型和抽象函数特殊模型抽象函数正比例函数f(x)=kx (k0)f(x+y)=f(x)+f(y)幂函数 f(x)=xnf(xy)=f(x)f(y) 或指数函数 f(x)=ax (a0且a1)f(x+y)=f(x)f(y) 对数函数 f(x)=logax (a0且a1)f(xy)=f(x)+f(y) 正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosxf(x+T)=f(x)正切函数 f(x)=tanx一.定义域问题 -多为简单函数与复合函数的定义域互求。例1.若函数y = f（x）的定义域是2，2，则函数y = f（x+1）+f（x1）的定义域为 。练习：已知函数f(x)的定
2、义域是 ，求函数 的定义域。例2：已知函数的定义域为3，11，求函数f(x)的定义域 。练习：定义在上的函数f(x)的值域为，若它的反函数为f-1(x)，则y=f-1(2-3x)的定义域为 ，值域为 。二、求值问题-抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。例3.对任意实数x,y，均满足f(x+y2)=f(x)+2f(y)2且f(1)0,则f(2001)=_.例4.已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1,且对任意xR都有f(x+5)f(x)+5,f(x+1)f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=_.练习： 1. f(x)的定义域为，对任意
3、正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2 ，则 2. 。 .3、对任意整数函数满足：，若，则 A.-1 B.1 C. 19 D. 434、函数f(x)为R上的偶函数，对都有成立，若，则=（ ）（B） A . 2005 B. 2 C.1 D.05、定义在R上的函数Y=f(x)有反函数Y=f-1(x)，又Y=f(x)过点（2，1），Y=f(2x)的反函数为Y=f-1(2x)，则Y=f-1(16)为（ ）A） B） C）8 D）16 三、值域问题例4.设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在,使得，求函数f(x)的值域。四、
4、求解析式问题（换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法，例5. 已知f(1+x)=2+x+x, 求f(x)例6、设对满足x0,x1的所有实数x，函数f(x)满足, ,求f(x)的解析式。例7.已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x).例8.已知是定义在R上的偶函数，且恒成立，当时，则时，函数的解析式为（ ） A B C D 练习：函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立，且f(1)=0， （1）求的值； （2）对任意的，都有f(x1)+20时f(x)0时，f(x)1,且对于任意实数x、y，有f(x+y)=f(
5、x)f(y)，求证：f(x)在R上为增函数。例10、已知偶函数f(x)的定义域是x0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有，且当时， （1）f(x)在(0,+)上是增函数； （2）解不等式练习1：已知函数f(x)的定义域为R，且对m、nR,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)1,且f()=0,当x时，f(x)0.求证：f(x)是单调递增函数；练习2 定义在R上的函数y=f（x），f（0）0，当x0时，f（x）1，且对任意的a、bR，有f（a+b）=f（a）f（b）. （1）求证：f（0）=1；（2）求证：对任意的xR，恒有f（x）0；（3）求证：f（x）是R上的增函数；（4）若f（x）f（
6、2xx2）1，求x的取值范围.练习3.设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a，b，当a+b0，都有 0（1）.若ab，试比较f（a）与f（b）的大小；（2）.若f（k 0对x 1，1恒成立，求实数k的取值范围。 六、奇偶性问题例11. （1）已知函数f(x)(x0的实数)对任意不等于零的实数x、y都有f(xy)=f(x)+f(y)，试判断函数f(x)的奇偶性。（2）已知y=f(2x+1)是偶函数，则函数y=f(2x)的图象的对称轴是（ ）A.x=1B.x=2C.x=D.x=例12：设是定义在上的偶函数，且在上是增函数，又。求实数的取值范围。（设计理由：此类题源于变量与单调区间的分类讨论问题
7、，所以本题弹性较大，可以作一些条件变换如：等；也可将定义域作一些调整）例13：定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3且对任意x，yR都有f(x+y)=f(x)+f(y) (1)求证f(x)为奇函数；(2)若f(k3)+f(3-9-2)0对任意xR恒成立，求实数k的取值范围练习：1、已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的函数a,b都满足f(ab)=af(b)+bf(a). (1)求f(0)，f(1)的值； (2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论;2. 定义域为R的函数f(x)满足：对于任意的实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当x0时f(x)0恒
8、成立.(1)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；(2)证明f(x)为减函数；七、周期性与对称性问题（由恒等式简单判断：同号看周期，异号看对称）编号周 期 性对 称 性1T=2对称轴是偶函数；对称中心（a,0）是奇函数2T=对称轴；对称中心；3f(x)= -f(x+a)T=2f(x)= -f(-x+a)对称中心4T=2对称中心5f(x)=T=2f(x)= b-f(-x+a)对称中心6f(x)=1-T=3结论：(1) 函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b| (2) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，
9、且T=2|a-b| (3) 函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=4|a-b| (4) 应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别:y=f(a+x)与y=f(b-x)关于对称；y=f(a+x)与y=-f(b-x)关于点对称例14：已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x+2) = f (x)，则f (6)的值为（ ）A. 1 B. 0 C. 1 D. 2函数f(x)对于任意的实数x都有f(1+2x)=f(1-2x)，则f(2x)的图像关于 对称。练习1、函数是偶函数，则的图象关于 对称。2、函数满足，且，则 。3、函数f(x)是定义在R上
10、的奇函数，且,则 4、设f(x)是R的奇函数,f(x+2)= f(x),当0x1,时,f(x)=x,则f(7.5)= 八、综合问题例15. 定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n，总有，且当x0时，0f(x)0的结论。这是解题的关键性步骤，完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的思考和解决。例16.设定义在R上的函数f(x),满足当x0时,f(x)1,且对任意x,yR,有f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=2函数综合1.奇函数在关于原点对称的区间内单调性一致（在整个定义域内未必单调），推广：函数在其对称中心两侧单调性相同。偶函数在关于原点对
11、称的区间内单调性相反，推广：函数在其对称轴两侧的单调性相反；此时函数值的大小取决于离对称轴的远近。解“抽象不等式（即函数不等式）”多用函数的单调性，但必须注意定义域。关注具体函数“抽象化”。举例1设偶函数f(x)=loga|x-b|在（-，0）上递增，则f(a+1)与f(b+2) 的大小关系是A.f(a+1)=f(b+2)B.f(a+1)f(b+2) C.f(a+1)f(b+2)D.不确定巩固定义在-1，a上的函数f(x)满足:f(2+x)=f(2-x),且在2,5上递增，方程f(x)=0的一根为4，解不等式f(3+x)02关注“分段函数”。分段函数的反函数、值域一般分段求，分段函数的奇偶性、单调性一般要借助于图象。f(x)=maxg(x),h(x) 、f(x)=ming(x),h(x)也是一种分段函数,作出它的图象是研究这类函数的有效途径。举例已知是（-，+）上的减函数，那么a取值范围是 。3.研究方程根的个数、超越方程（不等式）的解（特别是含有参量的）、二次方程根的分布、二次函数的值域、三角函数的性质（包括值域）、含有绝对值的函数性质、已知函数值域研究定义域等一般用函数图象（作图要尽可能准确）。举例已知函数f(x)=的定义域为a,b，值域为0，2,则a,b满足：Aa=,b=1或 a=1,b=4, Ba=，1b4, Ca1,b=4, D. a=，1b4或a1,b=4。
