1、 2021上教师资格证数学科目三基础知识2 一、函数的概念二、基本初等函数三、分段函数与反函数第二节函数四、函数的三大性质五、三角函数P9 认识一、函数的概念（一）映射集合 X集合Yf (x)原像（x）像（y）【注意】一对一、多对一是映射P9 一、函数的概念（一）映射【例】下列图象中，表示的是x到y的一个映射的有（ ）A1个B2个 C3个D4个【注意】映射是一对一、多对一的关系。P9 认识一、函数的概念（一）映射设 X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则 f，使得对 X中每个元素 x，按法则f，在 Y中有唯一确定的元素 y与之对应，那么称 f为从 X到 Y的映射。记作 f：X Yy称为元素 x
2、（在映射 f下）的像，并记作 f（x），即 y=f（x）x称为元素 y（在映射 f下）的一个原像，集合 X称为映射 f的定义域，记作 Df，即 Df=X；X中所有元素的像所组成的集合称为映射 f的值域，记作 Rf 或 f（X），即 Rf= f（X）= f（x） x X。P9 考点1：映射类型判定一、函数的概念选+简+解（一）映射1.设f是从集合X到集合Y的映射，若Rf=Y，即Y中任一元素y都是X中某元素的像，则称f为X到Y上的映射或满射；2.若对X中任意两个不同元素 1 2，它们的像 ( 1) ( 2)，则称f为X到Y的单射；3.若映射f既是单射，又是满射，则称为一一映射（或双射）。满射：值域
3、都有源单射：源不同则像不同非满射非单射双射（单射与满射）单射但非满射满射但非单射P10 举个栗子方法总结：证明单射：令 1 2，证明 ( 1) ( 2)证明满射：集合Y中取任意 ( 1)，证明存在 1属于X。可截图例1：函数g：RR定义为g(x)=2例2：函数g： RR定义为g(x)=xP10 举个栗子【例】R是实数集合， +是正实数集合，规定f：x 10 ( )，证明:f是R到 +的一个双射。方法总结：证明单射：令 1 2，证明 ( 1) ( 2)证明满射：集合Y中取任意 ( 1)，证明存在 1属于X。P10 = ,则 = log举个栗子log=【例】R是实数集合， +是正实数集合，规定f：
4、x 10 ( )，证明:f是R到 +的一个双射。证明： 1， 2 并且 1 2，由于所以f是单射。= 10 1 10 2 =2，1又 +， = ，使f( )=10 =，即f为满射。综上所述f是双射。P10 ！教一、函数的概念（二）函数的概念设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数。记作：yf(x)，xA。（其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x) 叫做函数的值域。）构成函数的三要素：定义域、对应关系和值
5、域P10 考点2：指对幂函数定义、图象性质及计算公式函数知识点鸟瞰应用（初+高）案+教（高）1.定义常见函数2.函数的三要素（1）定义域（2）值域（一）指数函数（二）对数函数（3）对应关系3.三大性质：（三）幂函数（四）分段函数与反函数单调性、奇偶性、周期性P10 二、基本初等函数应用（初+高）案+教（高）（一）指数函数a10a1yy图象性质ooxxxR；y(0,+); 过定点(0,1)当x0时,y1, x0时,0y1在R上是增函数.当x0时, 0y1, x0时, y1在R上是减函数.P10 二、初等函数应用（初+高）案+教（高）（一）指数函数3.公式0 = 1( 0)P11 二、基本初等函数
6、应用（初+高）案+教（高）（二）对数函数P11 应用（初+高）案+教（高）（二）对数函数a10a1yy图象oxoxx (0,+)； y R;过定点(1, 0)当x1时,y0, 0x1时,y0当x1时,y0, 0x1时,y0在R上是减函数.性质在R上是增函数.P12 应用（初+高）案+教（高）（二）对数函数P12 例： =（二）对数函数P12 二、基本初等函数应用（初+高）案+教（高）（三）幂函数P13 二、基本初等函数应用（初+高）案+教（高）（三）幂函数2.幂函数的图象与性质y=x（R）函数y = x1y = x2y = x3y = x1特征y = x2性质 0,+)x x R且x 0RRR
7、R定义域0,+)偶函数0,+)x x R且x 0 R值域奇偶性奇函数奇函数非奇非偶函数奇函数x0,+)时，增x 0,+()时，减单调性增增增x(,0时，减x(,0)时，减P13 与“集合”的友谊小白船翻了吗？P13 换汤不换“药”呀P14 “特殊值法”很简单P14 “特殊值法”很简单P14 P14 认识三、分段函数与反函数（一）分段函数1.定义：在定义域的不同部分用不同的解析式表示的函数称为分段函数。P15 考点3：求反函数三、分段函数与反函数简（二）反函数1.定义：原函数 =反函数 =，记作 1P15 简三、分段函数与反函数（二）反函数2.性质（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x
8、对称。（2）函数存在反函数的充要条件是函数的定义域与值域一一对应。（3）一个函数与它的反函数在相应区间上的单调性一致。P15 简三、分段函数与反函数（二）反函数2.性质（4）反函数是相互的。（5）定义域、值域相反，对应法则互逆。（6）原函数一旦确定，反函数即确定（“三定”）（在有反函数的情况下，即满足性质（ 2）。P16 考点3：求反函数三、分段函数与反函数简（二）反函数3. 求反函数步骤：（1）反解：把y=f（x）看作是x的方程，解出x =f（y）；-1（2）互换：将x，y互换得y=f（x），注明其定义域（即原函数的值域）.-1例：已知函数 = 2 3,求其反函数 1。P16 就是一个算术题
9、P16 就是一个算术题P16 考点4：函数单调性、奇偶性的定义及判定方法知识点鸟瞰1.定义应用（初+高）案+教（高）常见函数2.函数的三要素（1）定义域（2）值域（一）指数函数（二）对数函数（3）对应关系3.三大性质：（三）幂函数单调性、奇偶性、周期性（四）分段函数与反函数P16 应用四、函数的三大性质（一）单调性增函数减函数一般地，设函数 f (x)的定义域为，Ix , x21I如果对于定义域内某个区间 D上的任意两个自变量定义( ) ( )，那么就说函( ) ( )，那么就说当 x1x2时，都有 f xf x1 2当 x1x2时，都有 f xf x12数 f (x)在区间 D上是增函数函数
10、 f (x)在区间 D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的P16 四、函数的三大性质应用（一）单调性【注】函数的单调区间只能是其定义域的子区间，不能把单调性相同的区间合在一起写成并集。2.函数的单调区间与单调性的判定方法：（1）定义法任取 1， 2D，且 1x2，有f(x1)f(x2)，则称函数f(x)在定义域上单调递增；有f(x1)0，则函数在定义域内单调递增；若导数 f(x)0，则函数在定义域内单调递减。导数法适用于函数在其定义域内可导且能判断f(x)与0的大小关系的情况，多用于定义法解决不了和用定义法解题相对比较繁琐的题型。P17 P7第一节结束了，会了吗？ 简+应用（初+高）！案例+教（高）总结预习：函数余下内容不等式、复数P21 应用案+教（高）四、函数的三大性质（二）奇偶性P18 应用案+教（高）四、函数的三大性质（二）奇偶性2.利用定义判断函数的奇偶性的步骤：先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；确定f(-x)与 f(x)的关系；作出相应结论。【注】函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数。P18 检验下听课效果P18 选四、函数的三大性质（三）周期性P19 跟着“定义” 闯天下【注】有理数有理数=有理数有理数无理数=无理数无理数无理数：不确定P15、P19
