1、 专题3 导数中的差值比值问题 完成了外函数分而治之，那么同个函数内部的那些构造也被拿上了台面，关于f(x1)f(x2)极值之差问题，还有f(x1)+f(x2)极值之和问题，这里我们会简单介绍一下极值偏移和拐点偏移的原理。关于x1/x2的比值代换，甚至需要切线夹放缩的x1x2。这些题起源于高考，反复演变，正在逐渐取代之前传统的利用导数求函数单调性和极值的问题，知识反复更新和迭代的过程中，我们确实需要更新数学模型和方法.第一讲 极值之差例1.（2020攀枝花一模）已知函数（）求曲线在点处的切线方程；（）若函数（其中是的导函数）有两个极值点、，且，求的取值范围例2.（2019广东期末）已知函数有两
2、个极值点，其中（）求实数的取值范围；（）当时，求的最小值例3.（2020绵阳模拟）己知函数，其中（1）讨论函数的单调性；（2）设函数有两个极值点，（其中，若的最大值为，求实数的取值范围例4.（2018四川模拟）已知函数（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若函数有两个极值点，求的取值范围，并证明例5.（2019长沙期末）已知（）当时，求的单调区间；（）若为的导函数，有两个不相等的极值点，求的最小值例6.（2019芜湖校级模拟）已知函数（）若，求曲线在点处的切线的方程；（）设函数有两个极值点，其中，求的最小值例7.（2019新课标）已知函数（1）讨论的单调性；（2）当时，记在区间的最大值为，最
3、小值为，求的取值范围例8.（2019和平区校级月考）已知函数，为常数（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个极值点，且，求证：例9.（2020遂宁模拟）已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若函数 有两个极值点，且不等式恒成立，求实数的取值范围第二讲 极值之和极值之和问题最早出现在2014年湖南高考自主命题卷中，解决问题的关键就是将转化为统一参数后，构造新函数求出极值之和取值范围.例10.（2014湖南）已知常数，函数（）讨论在区间上的单调性；（）若存在两个极值点，且，求的取值范围例11.（2020郑州一模）已知函数（）若在点处的切线与直线平行，求在点的切线方程；（）若函数在定义域内有两个极
4、值点，求证：例12.（2019湖南期末）已知函数有两个不同的极值点，（1）求的取值范围（2）求的极大值与极小值之和的取值范围（3）若，则是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，说明理由秒杀秘籍：极值之和，极值点和拐点共点取最值根据琴生（Jensen）不等式，当时，我们称之为上凸函数，通常对数函数，二四象限的反比例函数均为上凸函数；当时，我们称之为下凹函数，通常指数函数，开口向上二次函数均为下凹函数.极值偏移：若有极值，若存在，当时，称为极大值左偏，当时，称为极大值右偏；同理，若有极值，若存在，当时，称为极小值左偏，当时，称为极小值右偏.由于篇幅关系，本篇不做极值偏移的详细介绍，我们近期将推出一
5、本导数的专题新书，会系统介绍极值偏移和拐点偏移的解题方法。图1 图2极值点左偏：，处切线与x轴不平行；（图1）若上凸（递减），则，若下凸（递增），则. 极值点右偏：，处切线与x轴不平行；（图2）若上凸（递减），则，若下凸（递增），则.极值偏移的本质：函数时，则极大值左偏，极小值右偏；函数时，则极大值右偏，极小值左偏（正负号由极小值偏移方式决定，极大值则相反方向偏移）；例13.（2018浙江）已知函数（）若在，处导数相等，证明：；（）若，证明：对于任意，直线与曲线有唯一公共点第三讲 比值函数最早出现在2014天津卷，涉及参变分离和基础找点比大小，有关，要转化为来进行构造成的函数，之前在证明对数平
6、均不等式用到比值换元函数，比值换元一般用在对数函数里面，指数函数都需要转化为对数来进行构造，类似于指数平均不等式可以用对数来证明一样。我们先看几个例题.例14.（2014天津）设，已知函数有两个零点，且（）求的取值范围；（）证明：随着的减小而增大；（）证明随着的减小而增大例15.（2019邢台期末）已知函数，若有两个极值点，且，则的取值范围是ABCD例16.（2018武昌区校级模拟）已知函数，其中无理数（1）若函数有两个极值点，求的取值范围（2）若函数的极值点有三个，最小的记为，最大的记为，若的最大值为，求的最小值第四讲 切线夹放缩解决x2-x1问题最早出现切线夹放缩在2015年天津高考卷，我
7、们先来看一下这一文一理两题，然后逐步寻找这类题背后的逻辑.例17.（2015天津）已知函数，（）求的单调区间；（）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的实数，都有；（）若方程为实数）有两个实数根，且，求证：例18.（2015天津）已知函数，其中，且（）讨论的单调性；（）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的正实数，都有；（）若关于的方程为实数）有两个正实数根，求证：例19.（2020合肥一模）已知函数为自然对数的底数）（1）求函数的零点，以及曲线在处的切线方程；（2）设方程有两个实数根，求证：秒杀秘籍：切线夹放缩，拐点是关键例题19虽然是
8、根据执果索因得出要证明当时，但是再解完题反思的过程中，我们发现，显然，也就是说在这个区间，没有拐点，函数的切线斜率一直递减，故在处取得的切线就一定恒在函数上方；但这个区间有了一个拐点，斜率先减后增，所以在处的切线方程不满足恒在函数上方，所以转化为函数过点处的切线方程，即构造切线不等式.例20.已知函数，；（1）设函数，若在定义域内恒成立，求的取值范围；（2）当时方程有两个实数根，且证明：达标训练1.（2019新课标）已知函数（1）讨论的单调性；（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出，的所有值；若不存在，说明理由2.（2019思明区校级月考）已知函数（1）若，讨论函数的单
9、调性，并写出单调区间；（2）若有两个极值点，且，求的最小值3.（2018开封三模）已知函数与直线垂直（）求在处的切线方程；（）当时，求函数的单调递减区间；（）设，是函数的两个极值点，若，求的最小值4（2019乌鲁木齐模拟）已知函数（）求函数的单调区间；（）若，且，是函数的两个极值点，求的最小值5.（2019浙江模拟）已知函数（）设，若存在两个极值点，且，求证：；（）设，在上不单调，且，求的取值范围为自然对数的底数）6.（2020镇江一模）已知函数（1）当，证明：；（2）如果函数有两个极值点，且恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，求函数的零点个数7.（2018菏泽期末）已知函数，其中为正实数（
10、1）若函数在处的切线斜率为2，求的值；（2）求函数的单调区间；（3）若函数有两个极值点，求证：8.（2019湖南月考）已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个极值点，且不等式恒成立，求实数的取值范围9.（2019烟台期中）已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个极值点，不等式恒成立，求实数的取值范围10.（2019崂山区校级期中）已知函数，其中为自然对数的底数（1）若，且当时，总成立，求实数的取值范围；（2）若，且存在两个极值点，求证：11.（2018海淀区校级三模）已知函数在点处的切线斜率为负值讨论的单调性；若有两个极值点，求证：12.（2019宁乡市模拟）已知函数，其中（1）当
11、时，讨论的单调性；（2）若，并且存在两个极值点、，求证：13.（2019秋常德期末）已知函数（1）讨论的极值点的个数；（2）当时，若存在实数，使得，求的最小值14.（2018合肥三模）已知函数有两个极值点，（为自然对数的底数）（）求实数的取值范围；（）求证：15.已知函数，是自然对数的底数）（1）若函数在处的切线方程为，求实数，的值；（2）若函数在和处取得极值，且，求实数的取值范围16.（2019和平区校级月考）已知函数，（）求的极值；（）证明：时，（）若函数有且只有三个不同的零点，分别记为，设且的最大值是，证明：17已知函数有两个零点，且，则下列说法中正确的是AB随着的增大而减小CD随着的增
12、大而增大18.（2019郑州二模）已知函数，若函数有两个极值点，且，则实数的取值范围是 19.（2019岳麓区校级模拟）已知函数（）当时，讨论函数的极值点的个数；（）若有两个极值点，证明：20.（2019天心区校级月考）已知函数有两个零点，且（1）求的取值范围；（2）证明：随着的增大而减小；（3）证明：随着的增大而减小21.（2019上虞区二模）已知与（）若，在处有相同的切线求，的值；（）设，若函数有两个极值点，且，求实数的取值范围22.（2019吴江区月考）已知函数，（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）当时，恒有成立，求满足条件的的范围；（3）当时，令方程有两个不同的根，且满足，求证：2
13、3.（2017深圳一模）已知函数，为自然对数的底数（1）求曲线在处的切线方程；（2）关于的不等式在上恒成立，求实数的值；（3）关于的方程有两个实根，求证：24.（2019南开区校级月考）已知函数在点处的切线方程为（1）求，；（2）设曲线与轴负半轴的交点为点，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的实数，都有；（3）若关于的方程有两个实数根，且，证明：25.（2017临汾三模）已知函数（1）求在点处的切线方程，并证明（2）若方程有两个正实数根，求证：26（2018道里区校级期中）已知函数，是的极值点（）求的值；（）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线为直线求证：曲线上的点都不在直线的上方；（）若关于的方程有两个不等实根，求证：27.（2018淄博二模）已知函数，在点处的切线方程记为，令（I）设函数的图象与轴正半轴相交于，在点处的切线为，证明：曲线上的点都不在直线的上方；（II）关于的方程为正实数）有两个实根，求证：28.（2019嘉善县校级月考）已知函数（1）求在点处的切线方程；（2）若，证明：在上恒成立；（3）若方程有两个实数根，且，证明：
