1、一、手拉手模型：1手的判别：判断左右，将等腰三角形顶角顶点朝上，左边为左手顶点，右边为右手顶点。2手拉手的定义两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形形成的图形。（左手拉左手，右手拉右手）3手拉手基本结论ABCABC(SAS)BAB=BOBAO平分BOC 二、例题例1、在直线ABC的同一侧作两个等边三角形ABD和BCE，连接AE与CD，证明：（1） ABEDBC（2） AE=DC（3） AE与DC的夹角为60。（4） AGBDFB（5） EGBCFB（6） BH平分AHC（7） GFAC变式练习1、如果两个等边三角形ABD和BCE，连接AE与CD，证明：（1） ABEDBC（2） AE=DC（3）
2、AE与DC的夹角为60。（4） AE与DC的交点设为H,BH平分AHC变式练习2：如果两个等边三角形ABD和BCE，连接AE与CD，证明：（1） ABEDBC（2） AE=DC（3） AE与DC的夹角为60。（4）AE与DC的交点设为H,BH平分AHC变式训练3：两个等腰三角形ABD与BCE，其中AB=BD,CB=EB,ABD=CBE=a 连接AE与CD. 问（1）ABEDBC是否成立？（2）AE是否与CD相等？（3）AE与CD之间的夹角为多少度？（4）HB是否平分AHC？例2：如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于H问：（1）ADGCDE是否成立？（2）AG是否与CE
3、相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分AHE？例3：如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连接AG,CE,二者相交于H.问 （1）ADGCDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分AHE？二、半角模型1、条件：2、思路：截长补短 旋转例1、在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN=BM +DN，求证：.MAN=.AM、AN分别平分BMN和DNM.例2拓展：在正方形ABCD中，已知MAN=，若M、N分别在边CB、DC的延长线上移动， .试探究线段MN、BM 、DN之间的数量关系. .求证：AB=AH
4、.例3.在四边形ABCD中，B+D=，AB=AD，若E、F分别在边BC、CD上，且满足EF=BE +DF.求证：练习巩固1：（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且EAF45，试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：；（2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD中，ABAD，BD180，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF=BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（3）在（2）问中，若将AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）
5、问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明.练习巩固2：已知：正方形中，绕点顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N （1）如图1，当绕点旋转到时，有当 绕点旋转到时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明练习巩固3：在等边的两边，所在直线上分别有两点为外一点，且，探究：当点分别爱直线上移动时，之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系（1）如图，当点在边上，且时，之间的数量关系式_；此时_（2）如图，当点在边上，且时，猜想(1)问的两
6、个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（3）如图，当点分别在边的延长线上时，若，则_(用表示)练习巩固4：如图，已知在正方形ABCD中，=45，连接BD与AM，AN分别交于E、F两点。求证：（1）MN=MB+DN； （2）点A到MN的距离等于正方形的边长； （3）的周长等于正方形ABCD边长的2倍； （4）； （5）若=20，求； （6）若，求； （7）； （8）与是等腰三角形； （9）。三、三垂直模型（一线三等角）（K型）1、常见的一线三垂直的模型。例1：如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AEBF，垂足为点G求证：AE=BF变式训练：等腰RtABC中，AC=AB，BA
7、C90，点D是AC的中点，AFBD于点E，交BC于点F，连接DF，求证：1=2。例2：.如图，点P是正方形ABCD边AB上一点(不与点AB重合)，连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90得到线段PE，PE交边BC于点F连接BE、DF。求证：ADP=EPB；求CBE的度数；例3：等腰直角ABC，其中AB=AC，BAC=90，过B、C作经过A点直线L的垂线，垂足分别为M、N（1）你能找到一对三角形的全等吗？并说明（2）BM，CN，MN之间有何关系？若将直线l旋转到如图2的位置，其他条件不变，那么上题的结论是否依旧成立？四、角平分线模型1、边垂直如图，P是MON的平分线上一点，过点P作PAOM于
8、点A，PBON于点B。 结论：PB=PA例1：（1）如图，在ABC中，C=90，AD平分CAB，BC=6，BD=4，那么点D到直线AB的距离是 ；（2）如图，1=2，+3=4。 求证：AP平分BAC。例2：如图，ABC的外角ACD的平分线CP与内角ABC的平分线BP交于点 P，若BPC=40，则CAP= 。例3：如图，在四边形ABCD中，BCAB，AD=DC，BD平分ABC。 求证：BAD+BCD=180。2、翻折全等（对称）如图，P是MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB。 结论：OPBOPA。例1：（1）如图所示，在ABC中，AD是ABC的外角平分
9、线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由；（2）如图所示， AD是ABC的内角平分线，其他条件不变，试比较 PC-PB与AC-AB的大小，并说明理由。例2：已知，在ABC中，A=2B，CD是ACB的平分线，AC=16，AD=8。 求线段BC的长。例3：如图所示，在ABC中，A=100，A=40，BD是ABC的平分线，延长BD至E，DE=AD。求证：BC=AB+CE。例4：已知，在ABC中，AB=AC，A=108，BD平分ABC。 求证：BC=AB+CD。3、角平分线+垂线等腰（三线合一）如图，P是MO的平分线上一点，APOP于P点，延长AP于点B。 结论
10、：AOB是等腰三角形。例1：如图，已知等腰直角三角形ABC中，A=90，AB=AC，BD平分ABC，CEBD，垂足为E。求证：BD=2CE。例2：如图，在ABC中，BE是角平分线，ADBE，垂足为D。 求证：2=1+C。例3：（1）如图，BD、CE分别是ABC的外角平分，过点A作ADBD、AECE，垂足分别为D、E，连接DE。求证：(1)AB+AC+BC=MN（2）如图，BD、CE分别是ABC的内角平分，其它条件不变。上述结论是否成立？ 成立请说明理由，若不成立，那MN与ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并进行证明。 （3）如图，BD是ABC的内角平分，CE是ABC的外角平分，其它条件不变。MN与ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并进行证明。 4、角平分线+平行线等腰（底角相等）如图，P是MO的平分线上一点，过点P作PQON，交OM于点Q。 结论：POQ是等腰三角形。例1：如图，在ABC中，ABC、ACB 的平分线交于点E，过点E作EFBC，交AB于点M，交AC于点N。若BM+CN=9，则线段MN的长为 。3 例2：如图，梯形ABCD中，ADBC，点E在CD上，且AE平分BAD，BE平分ABC。求证：AD=AB-BC。
