(完整版)浙教版八年级三角形中几种模型.doc

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1、一、手拉手模型:1手的判别:判断左右,将等腰三角形顶角顶点朝上,左边为左手顶点,右边为右手顶点。2手拉手的定义两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形形成的图形。(左手拉左手,右手拉右手)3手拉手基本结论ABCABC(SAS)BAB=BOBAO平分BOC 二、例题例1、在直线ABC的同一侧作两个等边三角形ABD和BCE,连接AE与CD,证明:(1) ABEDBC(2) AE=DC(3) AE与DC的夹角为60。(4) AGBDFB(5) EGBCFB(6) BH平分AHC(7) GFAC变式练习1、如果两个等边三角形ABD和BCE,连接AE与CD,证明:(1) ABEDBC(2) AE=DC(3)

2、AE与DC的夹角为60。(4) AE与DC的交点设为H,BH平分AHC变式练习2:如果两个等边三角形ABD和BCE,连接AE与CD,证明:(1) ABEDBC(2) AE=DC(3) AE与DC的夹角为60。(4)AE与DC的交点设为H,BH平分AHC变式训练3:两个等腰三角形ABD与BCE,其中AB=BD,CB=EB,ABD=CBE=a 连接AE与CD. 问(1)ABEDBC是否成立?(2)AE是否与CD相等?(3)AE与CD之间的夹角为多少度?(4)HB是否平分AHC?例2:如图,两个正方形ABCD和DEFG,连接AG与CE,二者相交于H问:(1)ADGCDE是否成立?(2)AG是否与CE

3、相等?(3)AG与CE之间的夹角为多少度?(4)HD是否平分AHE?例3:如图两个等腰直角三角形ADC与EDG,连接AG,CE,二者相交于H.问 (1)ADGCDE是否成立?(2)AG是否与CE相等?(3)AG与CE之间的夹角为多少度?(4)HD是否平分AHE?二、半角模型1、条件:2、思路:截长补短 旋转例1、在正方形ABCD中,若M、N分别在边BC、CD上移动,且满足MN=BM +DN,求证:.MAN=.AM、AN分别平分BMN和DNM.例2拓展:在正方形ABCD中,已知MAN=,若M、N分别在边CB、DC的延长线上移动, .试探究线段MN、BM 、DN之间的数量关系. .求证:AB=AH

4、.例3.在四边形ABCD中,B+D=,AB=AD,若E、F分别在边BC、CD上,且满足EF=BE +DF.求证:练习巩固1:(1)如图1,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,且EAF45,试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系,直接写出判断结果:;(2)如图2,若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD中,ABAD,BD180,E、F分别是边BC、CD上的点,且EAF=BAD”,则(1)问中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明,若不成立,请说明理由;(3)在(2)问中,若将AEF绕点A逆时针旋转,当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时,如图3所示,其它条件不变,则(1)

5、问中的结论是否发生变化?若变化,请给出结论并予以证明.练习巩固2:已知:正方形中,绕点顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N (1)如图1,当绕点旋转到时,有当 绕点旋转到时,如图2,请问图1中的结论还是否成立?如果成立,请给予证明,如果不成立,请说明理由;(2)当绕点旋转到如图3的位置时,线段和之间有怎样的等量关系?请写出你的猜想,并证明练习巩固3:在等边的两边,所在直线上分别有两点为外一点,且,探究:当点分别爱直线上移动时,之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系(1)如图,当点在边上,且时,之间的数量关系式_;此时_(2)如图,当点在边上,且时,猜想(1)问的两

6、个结论还成立吗?写出你的猜想并加以证明;(3)如图,当点分别在边的延长线上时,若,则_(用表示)练习巩固4:如图,已知在正方形ABCD中,=45,连接BD与AM,AN分别交于E、F两点。求证:(1)MN=MB+DN; (2)点A到MN的距离等于正方形的边长; (3)的周长等于正方形ABCD边长的2倍; (4); (5)若=20,求; (6)若,求; (7); (8)与是等腰三角形; (9)。三、三垂直模型(一线三等角)(K型)1、常见的一线三垂直的模型。例1:如图,正方形ABCD中,E、F分别为BC、CD上的点,且AEBF,垂足为点G求证:AE=BF变式训练:等腰RtABC中,AC=AB,BA

7、C90,点D是AC的中点,AFBD于点E,交BC于点F,连接DF,求证:1=2。例2:.如图,点P是正方形ABCD边AB上一点(不与点AB重合),连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90得到线段PE,PE交边BC于点F连接BE、DF。求证:ADP=EPB;求CBE的度数;例3:等腰直角ABC,其中AB=AC,BAC=90,过B、C作经过A点直线L的垂线,垂足分别为M、N(1)你能找到一对三角形的全等吗?并说明(2)BM,CN,MN之间有何关系?若将直线l旋转到如图2的位置,其他条件不变,那么上题的结论是否依旧成立?四、角平分线模型1、边垂直如图,P是MON的平分线上一点,过点P作PAOM于

8、点A,PBON于点B。 结论:PB=PA例1:(1)如图,在ABC中,C=90,AD平分CAB,BC=6,BD=4,那么点D到直线AB的距离是 ;(2)如图,1=2,+3=4。 求证:AP平分BAC。例2:如图,ABC的外角ACD的平分线CP与内角ABC的平分线BP交于点 P,若BPC=40,则CAP= 。例3:如图,在四边形ABCD中,BCAB,AD=DC,BD平分ABC。 求证:BAD+BCD=180。2、翻折全等(对称)如图,P是MON的平分线上一点,点A是射线OM上任意一点,在ON上截取OB=OA,连接PB。 结论:OPBOPA。例1:(1)如图所示,在ABC中,AD是ABC的外角平分

9、线,P是AD上异于点A的任意一点,试比较PB+PC与AB+AC的大小,并说明理由;(2)如图所示, AD是ABC的内角平分线,其他条件不变,试比较 PC-PB与AC-AB的大小,并说明理由。例2:已知,在ABC中,A=2B,CD是ACB的平分线,AC=16,AD=8。 求线段BC的长。例3:如图所示,在ABC中,A=100,A=40,BD是ABC的平分线,延长BD至E,DE=AD。求证:BC=AB+CE。例4:已知,在ABC中,AB=AC,A=108,BD平分ABC。 求证:BC=AB+CD。3、角平分线+垂线等腰(三线合一)如图,P是MO的平分线上一点,APOP于P点,延长AP于点B。 结论

10、:AOB是等腰三角形。例1:如图,已知等腰直角三角形ABC中,A=90,AB=AC,BD平分ABC,CEBD,垂足为E。求证:BD=2CE。例2:如图,在ABC中,BE是角平分线,ADBE,垂足为D。 求证:2=1+C。例3:(1)如图,BD、CE分别是ABC的外角平分,过点A作ADBD、AECE,垂足分别为D、E,连接DE。求证:(1)AB+AC+BC=MN(2)如图,BD、CE分别是ABC的内角平分,其它条件不变。上述结论是否成立? 成立请说明理由,若不成立,那MN与ABC三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并进行证明。 (3)如图,BD是ABC的内角平分,CE是ABC的外角平分,其它条件不变。MN与ABC三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并进行证明。 4、角平分线+平行线等腰(底角相等)如图,P是MO的平分线上一点,过点P作PQON,交OM于点Q。 结论:POQ是等腰三角形。例1:如图,在ABC中,ABC、ACB 的平分线交于点E,过点E作EFBC,交AB于点M,交AC于点N。若BM+CN=9,则线段MN的长为 。3 例2:如图,梯形ABCD中,ADBC,点E在CD上,且AE平分BAD,BE平分ABC。求证:AD=AB-BC。

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