1、2021年高考文数真题试卷（全国丙卷）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1.设集合A=0，2，4，6，8，10，B=4，8，则AB=（）A.4，8B.0，2，6C.0，2，6，10D.0，2，4，6，8，10【答案】 C 【考点】交、并、补集的混合运算 【解析】【解答】解：集合A=0，2，4，6，8，10，B=4，8，则AB=0，2，6，10故选：C【分析】直接利用集合的交、并、补的运算法则求解即可；本题考查集合的基本运算，是基础题2.若z=4+3i，则 z|z| =（）A.1B.1C.45+ 35 iD.45 35 i【答案】 D 【考点】复数代数形式的乘除运算 【解析】【解答
2、】解：z=4+3i，则 = = = i故选：D【分析】利用复数的除法以及复数的模化简求解即可；本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力3.已知向量 BA =（ 12 ， 32 ）， BC =（ 32 ， 12 ），则ABC=（）A.30B.45C.60D.120【答案】 A 【考点】数量积表示两个向量的夹角 【解析】【解答】解： ， ； ；又0ABC180；ABC=30故选A【分析】根据向量 的坐标便可求出 ，及 的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cosABC的值，根据ABC的范围便可得出ABC的值；考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹
3、角的范围，已知三角函数值求角4.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15，B点表示四月的平均最低气温约为5，下面叙述不正确的是（） A.各月的平均最低气温都在0以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20的月份有5个【答案】 D 【考点】进行简单的合情推理 【解析】【解答】解：A由雷达图知各月的平均最低气温都在0以上，正确B七月的平均温差大约在10左右，一月的平均温差在5左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确C三月和十一月的平均最高气温基本相
4、同，都为10，正确D平均最高气温高于20的月份有7，8两个月，故D错误，故选：D【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图，利用图象法进行判断是解决本题的关键5.小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（）A.815B.18C.115D.130【答案】 C 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【解析】【解答】解：从M，I，N中任取一个字母，再从1，2，3，4，5中任取一个数字，取法
5、总数为：（M，1），（M，2），（M，3），（M，4），（M，5），（I，1），（I，2），（I，3），（I，4），（I，5），（N，1），（N，2），（N，3），（N，4），（N，5）共15种其中只有一个是小敏的密码前两位由随机事件发生的概率可得，小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 115 故选：C【分析】列举出从M，I，N中任取一个字母，再从1，2，3，4，5中任取一个数字的基本事件数，然后由随机事件发生的概率得答案；本题考查随机事件发生的概率，关键是列举基本事件总数时不重不漏，是基础题6.若tan= 13 ，则cos2=（）A. 45B. 15C.15D.45【答案】 D 【考点】三角
6、函数的化简求值 【解析】【解答】解：由tan= ，得cos2=cos2sin2 = = 故选：D【分析】展开二倍角的余弦，进一步转化为含有tan的代数式得答案；本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础的计算题7.已知a=243 ，b=323 ，c=2513 ，则（）A.bacB.abcC.bcaD.cab【答案】 A 【考点】指数函数的单调性与特殊点，对数函数图象与性质的综合应用，幂函数的实际应用 【解析】【解答】解：a=2 = ， b=3 ，c=25 = ，综上可得：bac，故选A【分析】b=4 = ，c=25 = ，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到
7、答案；本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档8.执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（） A.3B.4C.5D.6【答案】 B 【考点】程序框图 【解析】【解答】解：模拟执行程序，可得a=4，b=6，n=0，s=0执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1不满足条件s16，执行循环体，a=2，b=6，a=4，s=10，n=2不满足条件s16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3不满足条件s16，执行循环体，a=2，b=6，a=4，s=20，n=4满足条件s16，退出循环，输出n的值为4故选：B【分析
8、】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a，b，s，n的值，当s=20时满足条件s16，退出循环，输出n的值为4本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的a，b，s的值是解题的关键，属于基础题9.在ABC中，B= 4 ，BC边上的高等于 13 BC，则sinA=（）A.310B.1010C.55D.31010【答案】 D 【考点】解三角形的实际应用，三角形中的几何计算 【解析】【解答】解：在ABC中，B= ，BC边上的高等于 BC， AB= BC，由余弦定理得：AC= = = BC，故 BC BC= ABACsinA= BC BCsinA，sinA= ，
9、故选：D【分析】由已知，结合勾股定理和余弦定理，求出AB，AC，再由三角形面积公式，可得sinA；本题考查的知识眯是三角形中的几何计算，熟练掌握正弦定理和余弦定理，是解答的关键10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（） A.18+36 5B.54+18 5C.90D.81【答案】 B 【考点】由三视图求面积、体积 【解析】【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱柱，其底面面积为：36=18，前后侧面的面积为：362=36，左右侧面的面积为：3 2=18 ，故棱柱的表面积为：18+36+9 =54+18 故选：B【
10、分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱柱，进而得到答案本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键11.在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球，若ABBC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A.4B.92C.6D.323【答案】 B 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积 【解析】【解答】解：ABBC，AB=6，BC=8，AC=10故三角形ABC的内切圆半径r= =2，又由AA1=3，故直三棱柱ABCA1B1C1的内切球半径为 ，此时V的最大值 = ，故选：B【分析】根据已知可得直三棱柱ABCA1B1
11、C1的内切球半径为 ，代入球的体积公式，可得答案；本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键12.已知O为坐标原点，F是椭圆C： x2a2+y2b2 =1（ab0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点P为C上一点，且PFx轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A.13B.12C.23D.34【答案】 A 【考点】椭圆的简单性质 【解析】【解答】解：由题意可设F（c，0），A（a，0），B（a，0），令x=c，代入椭圆方程可得y=b = ，可得P（c， ），设直线AE的方程为y=k（x+a），令x=c，可得M（c
12、，k（ac），令x=0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得H（0， ），由B，H，M三点共线，可得kBH=kBM ， 即为 = ，化简可得 = ，即为a=3c，可得e= = 故选：A【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=c，x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值；本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13.设x，y满足约束条
13、件 2xy+10x2y10x1 ，则z=2x+3y5的最小值为_【答案】 -10【考点】简单线性规划 【解析】【解答】解：由约束条件 作出可行域如图， 联立 ，解得 ，即A（1，1）化目标函数z=2x+3y5为 由图可知，当直线 过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2（1）+3（1）5=10故答案为：10【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案；本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题14.函数y=sinx 3 cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移_个单位长度得
14、到【答案】 3 【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换 【解析】【解答】解：y=sinx cosx=2sin（x ），令f（x）=2sinx，则f（x）=2in（x）（0），依题意可得2sin（x）=2sin（x ），故=2k （kZ），即=2k+ （kZ），当k=0时，正数min= ，故答案为： 【分析】令f（x）=2sinx，则f（x）=2in（x），依题意可得2sin（x）=2sin（x ），由=2k （kZ），可得答案；本题考查函数y=sinx的图象变换得到y=Asin（x+）（A0，0）的图象，得到=2k （kZ）是关键，属于中档题15.已知直线l：x 3 y+6=0与圆x2+y
15、2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点则|CD|=_【答案】 4【考点】直线与圆相交的性质 【解析】【解答】解：由题意，圆心到直线的距离d= =3， |AB|=2 =2 ，直线l：x y+6=0直线l的倾斜角为30，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，|CD|= =4故答案为：4【分析】先求出|AB|，再利用三角函数求出|CD|即可；本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础16.已知f（x）为偶函数，当x0时，f（x）=ex1x，则曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是_【答案】 y=2x【考点】利用导数研究曲线上某点切
16、线方程 【解析】【解答】解：已知f（x）为偶函数，当x0时，f（x）=ex1x，设x0，则x0，f（x）=f（x）=ex1+x，则f（x）=ex1+1，f（1）=e0+1=2曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是y2=2（x1）即y=2x故答案为：y=2x【分析】由已知函数的奇偶性结合x0时的解析式求出x0时的解析式，求出导函数，得到f（1），然后代入直线方程的点斜式得答案；本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了函数解析式的求解及常用方法，是中档题三、解答题（共5小题，满分60分）17.已知各项都为正数的数列an满足a1=1，an2（2an+11）an2an+1=0（1）求
17、a2 ， a3；（2）求an的通项公式【答案】 （1）解：根据题意，an2（2an+11）an2an+1=0，当n=1时，有a12（2a21）a12a2=0，而a1=1，则有1（2a21）2a2=0，解可得a2= 12 ，当n=2时，有a22（2a31）a22a3=0，又由a2= 12 ，解可得a3= 14 ，故a2= 12 ，a3= 14（2）解：根据题意，an2（2an+11）an2an+1=0，变形可得（an2an+1）（an+an+1）=0，即有an=2an+1或an=an+1 ， 又由数列an各项都为正数，则有an=2an+1 ， 故数列an是首项为a1=1，公比为 12 的等比数列
18、，则an=1（ 12 ）n1= 12 n1 ， 故an= 12 n1【考点】数列递推式 【解析】【分析】（1）根据题意，由数列的递推公式，令n=1可得a12（2a21）a12a2=0，将a1=1代入可得a2的值，进而令n=2可得a22（2a31）a22a3=0，将a2= 代入计算可得a3的值，即可得答案；（2）根据题意，将an2（2an+11）an2an+1=0变形可得（an2an+1）（an+an+1）=0，进而分析可得an=2an+1或an=an+1 ， 结合数列各项为正可得an=2an+1 ， 结合等比数列的性质可得an是首项为a1=1，公比为 的等比数列，由等比数列的通项公式计算可得答
19、案；本题考查数列的递推公式，关键是转化思路，分析得到an与an+1的关系18.如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图注：年份代码17分别对应年份20082014（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2021年我国生活垃圾无害化处理量附注：参考数据： i=17 yi=9.32， i=17 tiyi=40.17，i=17yiy2 =0.55， 7 2.646参考公式： r=i=17tityiyi=17tit2i=17yiy2 ，回归方程 y=a+bt 中斜率和截距的最小
20、二乘估计公式分别为：b=i=1ntityiyi=1ntit2 ， a=ybt 【答案】 （1）解：由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：r=i=17tityiyi=17tit2i=17yiy2 = =i=17tiyi7tyi=17tit2i=17yiy2 40.1749.32270.55 2.892.9106 0.996，0.9960.75，故y与t之间存在较强的正相关关系；（2）解： b=i=1ntityiyi=1ntit2 =i=17tiyi7tyi=17ti27t2 2.8928 0.10，a=ybt 1.3310.1040.93，y关于t的回归方程 y =0.103+
21、0.93，2021年对应的t值为9，故 y =0.109+0.93=1.83，预测2021年我国生活垃圾无害化处理量为1.83亿吨 【考点】线性回归方程 【解析】【分析】（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2021年对应的t值为9，代入可预测2021年我国生活垃圾无害化处理量；本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心19.如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点（
22、1）证明MN平面PAB；（2）求四面体NBCM的体积【答案】 （1）证明：取BC中点E，连结EN，EM，N为PC的中点，NE是PBC的中位线，NEPB，又ADBC，BEAD，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，BE= 12 BC=AM=2，四边形ABEM是平行四边形，EMAB，平面NEM平面PAB，MN平面NEM，MN平面PAB（2）解： 取AC中点F，连结NF，NF是PAC的中位线，NFPA，NF= 12PA =2，又PA面ABCD，NF面ABCD，如图，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM，AM = CG，四边形AGCM是平行四边形，AC=MG=3，又
23、ME=3，EC=CG=2，MEG的高h= 5 ，SBCM=12BC=1245=25 ，四面体NBCM的体积VNBCM=13SBCMNF = 13252=453.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行的判定 【解析】【分析】（1）取BC中点E，连结EN，EM，得NE是PBC的中位线，推导出四边形ABEM是平行四边形，由此能证明MN平面PAB（2）取AC中点F，连结NF，NF是PAC的中位线，推导出NF面ABCD，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM，则四边形AGCM是平行四边形，由此能求出四面体NBCM的体积；本题考查线面平行的证明，考查四面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，
24、注意空间思维能力的培养20.已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1 ， l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点（1）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明ARFQ；（2）若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程【答案】 （1）证明：连接RF，PF，由AP=AF，BQ=BF及APBQ，得AFP+BFQ=180，PFQ=90，R是PQ的中点，RF=RP=RQ，PARFAR，PAR=FAR，PRA=FRA，BQF+BFQ=180QBF=PAF=2PAR，FQB=PAR，PRA=PRF，ARFQ（2）A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）， F（ 1
25、2 ，0），准线为 x= 12 ， SPQF= 12 |PQ|= 12 |y1y2|，设直线AB与x轴交点为N，SABF= 12 |FN|y1y2|，PQF的面积是ABF的面积的两倍，2|FN|=1，xN=1，即N（1，0）设AB中点为M（x，y），由 y12=2x1y22=2x2 得y12y22 =2（x1x2），又 y1y2x1x2 = yx1 ， yx1 = 1y ，即y2=x1AB中点轨迹方程为y2=x1 【考点】轨迹方程，抛物线的简单性质 【解析】【分析】（）连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明PRA=PRF，即可证明ARFQ；（2）利用PQF的面积是ABF的面积的两倍，求出N的
26、坐标，利用点差法求AB中点的轨迹方程；本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题21.设函数f（x）=lnxx+1（1）讨论f（x）的单调性；（2）证明当x（1，+）时，1 x1lnx x；（3）设c1，证明当x（0，1）时，1+（c1）xcx 【答案】 （1）解：函数f（x）=lnxx+1的导数为f（x）= 1x 1，由f（x）0，可得0x1；由f（x）0，可得x1即有f（x）的增区间为（0，1）；减区间为（1，+）；（2）证明：当x（1，+）时，1 x1lnx x，即为lnxx1xlnx由（1）可得f（x）=lnxx+1在（1，+）递减，可得f（x）f（1）=
27、0，即有lnxx1；设F（x）=xlnxx+1，x1，F（x）=1+lnx1=lnx，当x1时，F（x）0，可得F（x）递增，即有F（x）F（1）=0，即有xlnxx1，则原不等式成立；（3）证明：设G（x）=1+（c1）xcx ， G（x）=c1cxlnc，可令G（x）=0，可得cx= c1lnc ，由c1，x（0，1），可得1cxc，即1 c1lnc c，由（1）可得cx= c1lnc 恰有一解，设为x=x0是G（x）的最大值点，且0x01，由G（0）=G（1）=0，且G（x）在（0，x0）递增，在（x0 ， 1）递减，可得G（x0）=1+（c1）x0cx00成立，则c1，当x（0，1）时
28、，1+（c1）xcx 【考点】利用导数研究函数的单调性，导数在最大值、最小值问题中的应用 【解析】【分析】（1）求出导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意函数的定义域；（2）由题意可得即证lnxx1xlnx运用（1）的单调性可得lnxx1，设F（x）=xlnxx+1，x1，求出单调性，即可得到x1xlnx成立；（3）设G（x）=1+（c1）xcx ， 求出导数，可令G（x）=0，由c1，x（0，1），可得1 c，由（1）可得cx= 恰有一解，设为x=x0是G（x）的最小值点，运用最值，结合不等式的性质，即可得证；本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式的证明
29、，注意运用构造函数法，求出导数判断单调性，考查推理和运算能力，属于中档题22.选修4-1：几何证明选讲如图，O中 的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点（1）若PFB=2PCD，求PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OGCD【答案】 （1）解：连接PA，PB，BC，设PEB=1，PCB=2，ABC=3，PBA=4，PAB=5，由O中 的中点为P，可得4=5，在EBC中，1=2+3，又D=3+4，2=5，即有2=4，则D=1，则四点E，C，D，F共圆，可得EFD+PCD=180，由PFB=EFD=2PCD，即有3PCD=180，可得PCD=60（2）证
30、明： 由C，D，E，F共圆，由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G可得G为圆心，即有GC=GD，则G在CD的中垂线，又CD为圆G的弦，则OGCD【考点】与圆有关的比例线段 【解析】【分析】（1）连接PA，PB，BC，设PEB=1，PCB=2，ABC=3，PBA=4，PAB=5，运用圆的性质和四点共圆的判断，可得E，C，D，F共圆，再由圆内接四边形的性质，即可得到所求PCD的度数；（2）运用圆的定义和E，C，D，F共圆，可得G为圆心，G在CD的中垂线上，即可得证；本题考查圆内接四边形的性质和四点共圆的判断，以及圆的垂径定理的运用，考查推理能力，属于中档题23.选修4-4：坐标系与参数方程在
31、直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 x=3cosy=sin （为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin（+ 4 ）=2 2 （1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标【答案】 （1）解：曲线C1的参数方程为 x=3cosy=sin （为参数），移项后两边平方可得 x23 +y2=cos2+sin2=1，即有椭圆C1： x23 +y2=1；曲线C2的极坐标方程为sin（+ 4 ）=2 2 ，即有（ 22 sin+ 22 cos）=2 2,由x=cos，y=sin，
32、可得x+y4=0，即有C2的直角坐标方程为直线x+y4=0（2）解：由题意可得当直线x+y4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值设与直线x+y4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立 x+y+t=0x2+3y2=3 可得4x2+6tx+3t23=0，由直线与椭圆相切，可得=36t216（3t23）=0，解得t=2，显然t=2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|= |4(2)|1+1 = 2 ，此时4x212x+9=0，解得x= 32 ，即为P（ 32 ， 12 ）【考点】简单曲线的极坐标方程，参数方程化成普通方程 【解析】【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C1的普通方
33、程，运用x=cos，y=sin，以及两角和的正弦公式，化简可得C2的直角坐标方程；（2）由题意可得当直线x+y4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值设与直线x+y4=0平行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐标；本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题24.选修4-5：不等式选讲已知函数f（x）=|2xa|+a（1）当a=2时，求不等式f（x）6的解集；（2）设函数g（x）=|2x1|，当xR时，f（x
34、）+g（x）3，求a的取值范围【答案】 （1）解：当a=2时，f（x）=|2x2|+2，f（x）6，|2x2|+26，|2x2|4，|x1|2，2x12，解得1x3，不等式f（x）6的解集为x|1x3（2）解：g（x）=|2x1|，f（x）+g（x）=|2x1|+|2xa|+a3，2|x 12 |+2|x a2 |+a3，|x 12 |+|x a2 | 3a2 ，当a3时，成立，当a3时， 12 |a1| 3a2 0，（a1）2（3a）2 ， 解得2a3，a的取值范围是2，+）【考点】绝对值不等式的解法 【解析】【分析】（1）当a=2时，由已知得|2x2|+26，由此能求出不等式f（x）6的解集（2）由f（x）+g（x）=|2x1|+|2xa|+a3，得|x |+|x | ，由此能求出a的取值范围；本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用
