1、【课前测试】1、“x0”是“x2成立”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：当x0时，x22.因为x，同号，所以若x2，则x0，0，所以“x0”是“x2成立”的充要条件，故选C.答案：C2、已知a0，b0，a2b3，则的最小值为_解析：由a2b3得ab1，2 .当且仅当a2b时取等号答案：基本不等式【知识梳理】1基本不等式：(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)(2)2(a，b同号)(3)ab2 (a，bR)(4)2 (a，bR)以上不等式等号成立的条件均为a
2、b.3算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值2.(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值.(简记：和定积最大)【课堂讲解】考点一 基本不等式公式的简单应用例1、若x0，求函数yx的最小值，并求此时x的值；解：当x0时，x2 4，当且仅当x，即x24，x2时取等号函数yx(x0)在x2时取得最小值4.变式训练：1、已知x0，求f(x)3x的最小值；解：x0，f(x
3、)3x212，当且仅当3x，即x2时取等号，f(x)的最小值为12.2、设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为()A80 B77 C81 D82解析：x0，y0，即xy281，当且仅当xy9时，(xy)max81.答案：C3、(6a3)的最大值为()A9 B. C3 D.解析：选B因为6a3，所以3a0，a60，则由基本不等式可知，当且仅当a时等号成立答案：B4、已知a1，b2，(a1)(b2)16，则ab的最小值是()A4 B5 C6 D7解析：选B因为a1，b2，所以a10，b20，又(a1)(b2)2，即162，整理得ab5，当且仅当a1b24，即a3，b2时等号成立，故选B.答案：
4、B考点二 配凑法应用命题点1凑系数例2、已知0x2，求x的最小值；解：x2，x20，xx222 26，当且仅当x2，即x4时，等号成立x的最小值为6.变式训练：1、设0x，求函数y4x(32x)的最大值；解：0x0，y4x(32x)22x(32x)22.当且仅当2x32x，即x时，等号成立.函数y4x(32x)(0x)的最大值为.2、已知x3，求f(x)x的最大值；解：x3，x30，则函数yx的最小值为()A0 B.C1 D.解析：yx2220，当且仅当x，即x时等号成立函数的最小值为0.故选A.答案：A4、已知x，则f(x)4x2的最大值为_解析：因为x0，则f(x)4x23231.当且仅当
5、54x，即x1时，等号成立故f(x)4x2的最大值为1.答案：1考点三 常数代换法命题点1乘“1”法例4、已知x0，y0，且 1，求xy的最小值解：方法一x0，y0，1，xy(xy)1061016，当且仅当，又1，即x4，y12时，上式取等号故当x4，y12时，(xy)min16.方法二由1，得(x1)(y9)9(定值)由1可知x1，y9，xy(x1)(y9)1021016，当且仅当x1y93，即x4，y12时上式取等号，故当x4，y12时，(xy)min16.命题点2常数替换例5、已知正数x，y满足x2y3，则的最小值为_解析：2，当且仅当，即xy时等号成立，所以的最小值为.答案：变式训练：
6、1、已知x0，y0，且1，则xy的最小值是_解：x0，y0，xy(xy)332(当且仅当yx时取等号)，当x1，y2时，(xy)min32.答案：322、已知x0，y0，且2x5y20.则的最小值为 解析：x0，y0，当且仅当时，等号成立由解得的最小值为.答案：3、设x0，y0，且2x8yxy，则xy的最小值 解析：方法一由2x8yxy0，得y(x8)2x.x0，y0，x80，y，xyxx(x8)102 1018.当且仅当x8，即x12时，等号成立xy的最小值是18.方法二由2x8yxy0及x0，y0，得1.xy(xy)102 1018.当且仅当，即x2y12时等号成立xy的最小值是18.答案
7、：184、设正实数a，b满足a+b1，则的最小值为8解析：正实数a，b满足a+b1，则+42+48，当且仅当，即a，b时等号成立；的最小值为8故答案为：8答案：8考点四 消元法应用例6、已知正实数a，b满足a2b40，则u()A有最大值 B有最小值C有最小值3 D有最大值3解析：a2b40，ba24，aba2a4.又a，b0，u3333，当且仅当a2，b8时取等号故选B.答案：B变式训练：1、若实数a，b满足ab4ab10(a1)，则(a1)(b2)的最小值为_解析：因为ab4ab10，所以b.又a1，所以b0，所以(a1)(b2)ab2ab26a2b16a816(a1)15.因为a10，所以
8、6(a1)152 1527，当且仅当6(a1)(a1)，即a2时等号成立，故(a1)(b2)的最小值为27.答案：272、已知正实数x，y满足xy2xy4，则xy的最小值为_解析：因为xy2xy4，所以x.由x0，得2y0，则0y4，所以xyy(y2)323，当且仅当y2(0y0，b0，所以2，即ab2，当且仅当即a，b2时取“”，所以ab的最小值为2.答案：C变式训练：1、已知正数a，b满足a+2b+ab6，则a+2b的最小值为（）A2B4C6D8解析：依题意，6a+2b+aba+2b+a（2b）a+2b+，即（a+2b）2+8（a+2b）480，解得a+2b12（舍）或者a+2b4，故a+
9、2b的最小值为4故选：B答案：B2、已知实数x，y满足x2y2xy1，则xy的最大值为_解析：因为x2y2xy1，所以x2y21xy所以(xy)213xy132，即(xy)24，解得2xy2当且仅当xy1时右边等号成立所以xy的最大值为2答案：23、已知x0，y0，x2y2xy8，则x2y的最小值为_解析：因为x0，y0，所以8x2yx2y(x2y)，令x2yt，则8t，即t24t320，解得t4或t8，即x2y4或x2y8(舍去)，当且仅当x2y，即x2，y1时等号成立答案：4考点六 换元法的应用例8、已知x1，y0且满足x2y1，则的最小值为_解析：x1，y0且满足x2y1，x10，且(x
10、1)2y2，(x1)2y2，当且仅当即时取等号，故的最小值为.答案：变式训练：1、若正数a，b满足1，则的最小值为()A16 B9C6 D1解析：正数a，b满足1，abab，10，10，b1，a1，则226(当且仅当a，b4时等号成立)，的最小值为6，故选C.答案：C2、设a，b为正实数，则+的最小值为 解析：设a+2bm，a+bn，（m0，n0），则a2nm，bmn，即有+52545当且仅当mn，即a（2）n，b（1）n取得等号，则所求最小值为45故答案为：45答案：45考点七 基本不等式的综合应用求参数值或取值范围例9、已知不等式(xy)9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()
11、A2 B4C6 D8解析：已知不等式(xy)9对任意正实数x，y恒成立，只要求(xy)的最小值大于或等于9，1aa21，当且仅当yx时，等号成立，a219，2或4(舍去)，a4，即正实数a的最小值为4，故选B.答案：B变式训练：1、若不等式x2ax10对一切x(0,1)恒成立，则a的取值范围是_解析：x2ax10，x(0,1恒成立axx21，x(0,1恒成立ax，x(0,1)恒成立，x(0,1)，x2，当且仅当x1时，等号成立，a2.答案：(，22、已知a0，b0，若不等式恒成立，则m的最大值为()A9 B12 C18 D24解析：由，得m(a3b)6.又62612，m12，m的最大值为12.
12、答案：B3、已知不等式2xm0对一切x(1，)恒成立，则实数m的取值范围是_解析：不等式2xm0可化为2(x1)m2，因为x1，所以2(x1)28，当且仅当x3时取等号因为不等式2xm0对一切x(1，)恒成立，所以m210.答案：(10，)【课后练习】1函数f(x)的最小值为()A3 B4C6 D8解析：f(x)|x|24，当且仅当x2时，等号成立，故选B.答案：B2若x0，y0，则“x2y2”的一个充分不必要条件是()Axy Bx2yCx2且y1 Dxy或y1解析：x0，y0，x2y2，当且仅当x2y 时取等号故“x2且y1 ”是“x2y2”的充分不必要条件故选C.答案：C3已知正数a，b满
13、足ab1，则的最小值为()A. B3C5 D9解析：由题意知，正数a，b满足ab1，则(ab)41529，当且仅当，即a，b时等号成立，所以的最小值为9，故选D.答案：D4已知a0，b0，ab2，则y的最小值是()A. B4 C. D5解析：依题意，得(ab)，当且仅当即a，b时取等号，即的最小值是.答案：C5已知a0，b0，ab，则的最小值为()A4 B2C8 D16解析：由a0，b0，ab，得ab1，则22.当且仅当，即a，b时等号成立故选B.答案：B6. 已知x，则f(x)有()A最大值 B最小值C最大值1 D最小值1解析：f(x)1.当且仅当x2，即x3时等号成立答案：D7设x，y均为
14、正数，且xyxy100，则xy的最小值是_解析：由xyxy100，得x1，xy1y26，当且仅当1y，即y2时，等号成立答案：68已知a，b为正实数，且(ab)24(ab)3，则的最小值为_解析：由题意得(ab)2(ab)24ab，代入已知得(ab)24(ab)34ab，两边同除以(ab)2得24428，当且仅当ab1时取等号所以2，即的最小值为2.答案：29若a，b都是正数，则的最小值为()A7 B8C9 D10解析：选C因为a，b都是正数，所以552 9，当且仅当b2a时取等号，选项C正确答案：C10若2x2y1，则xy的取值范围是()A0,2B2,0C2， D(，2解析：选D2x2y22
15、(当且仅当2x2y时等号成立)，2xy，得xy2答案：D11已知a，bR，且a3b60，则2a的最小值为 .解析：由已知，得2a2a23b222，当且仅当2a23b时等号成立，由a3b，a3b60，得a3，b1，故当a3，b1时，2a取得最小值.答案：12若a，bR，ab0，则的最小值为 .解析：a44b42a22b24a2b2(当且仅当a22b2时“”成立)，4ab，由于ab0，4ab2 4(当且仅当4ab时“”成立)，故当且仅当时，的最小值为4.答案：413若正实数x，y满足xy2，且M恒成立，则M的最大值为()A1B2C3D4解析：选A.因为正实数x，y满足xy2，所以xy1，所以1；又
16、M恒成立，所以M1，即M的最大值为1.答案：A14(1)当x时，求函数yx的最大值；(2)设0x2，求函数y的最大值解：(1)y(2x3)当x0，2 4，当且仅当，即x时取等号于是y4，故函数的最大值为(2)0x0，y ，当且仅当x2x，即x1时取等号，当x1时，函数y的最大值为15已知x0，y0，且2x8yxy0，求：(1)xy的最小值；(2)xy的最小值解：(1)由2x8yxy0，得1，又x0，y0，则12 ，得xy64，当且仅当x16，y4时，等号成立所以xy的最小值为64(2)由2x8yxy0，得1，则xy(xy)10102 18当且仅当x12且y6时等号成立，xy的最小值为18【课后测试】1、已知a0，b0，ab2，则y的最小值是()A. B4 C. D5解析：ab2，1. ()()()2 (当且仅当，即b2a时，等号成立)，故y的最小值为.答案：C2、若正数x，y满足3xy5xy，则4x3y的最小值是()A2 B3 C4 D5解析：由3xy5xy，得5，所以4x3y(4x3y)(492)5，当且仅当，即y2x时，“”成立，故4x3y的最小值为5.故选D.答案：D
