1、 “31”保分大题强化练(七) 前3个大题和1个选考题不容有失1数列an的前n项和Sn满足Sn2ann.(1)求证数列an1是等比数列，并求an；(2)若数列bn为等差数列，且b3a2，b7a3，求数列anbn的前n项和解：(1)证明：当n1时，S12a11，所以a11.因为Sn2ann，所以当n2时，Sn12an1(n1)得an2an2an11，所以an2an11，所以2.所以an1是首项为2，公比为2的等比数列所以an122n1，所以an2n1.(2)由(1)知，a23，a37，所以b3a23，b7a37.设bn的公差为d，则b7b3(73)d，所以d1.所以bnb3(n3)dn.所以an
2、bnn(2n1)n2nn.设数列n2n的前n项和为Kn，数列n的前n项和为Tn，则Kn2222323n2n，2Kn22223324n2n1，得，Kn222232nn2n1n2n1(1n)2n12，所以Kn(n1)2n12.又Tn123n，所以KnTn(n1)2n12，所以anbn的前n项和为(n1)2n12.2如图，三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC是等边三角形，侧面BCC1B1是矩形，ABA1B，N是B1C的中点，M是棱AA1上的点，且AA1MC.(1)证明：MN平面ABC；(2)若ABA1B，求二面角ACMN的余弦值解：(1)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，连接BM.因为侧面BCC
3、1B1是矩形，所以BCBB1.因为AA1BB1，所以AA1BC.又AA1MC，BCMCC，所以AA1平面BCM，所以AA1MB，又ABA1B，所以M是AA1的中点取BC的中点P，连接NP，AP，因为N是B1C的中点，所以NPBB1，且NPBB1，所以NPMA，且NPMA，所以四边形AMNP是平行四边形，所以MNAP.又MN平面ABC，AP平面ABC，所以MN平面ABC.(2)因为ABA1B，所以ABA1是等腰直角三角形设ABa，则AA12a，BMAMa.又在RtACM中，ACa，所以MCa.在BCM中，CM2BM22a2BC2，所以MCBM，所以MA1，MB，MC两两垂直，以M为坐标原点，的方
4、向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则M(0,0,0)，C(0,0，a)，B1(2a，a,0)，N，所以(0,0，a)，.设平面CMN的法向量为n1(x，y，z)，则即取x1，得y2.故平面CMN的一个法向量为n1(1，2,0)因为平面ACM的一个法向量为n2(0,1,0)，所以cosn1，n2.因为二面角ACMN为钝角，所以二面角ACMN的余弦值为.3某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段在随机问卷阶段，A，B两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收
5、回；在整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对15岁至45岁的人群，按比例随机抽取了300份，进行数据统计，具体情况如下表：组别年龄A组统计结果B组统计结果经常使用单车偶尔使用单车经常使用单车偶尔使用单车15,25)27人13人40人20人25,35)23人17人35人25人35,4520人20人35人25人(1)先用分层抽样的方法从上述300人中按“年龄是否达到35岁”抽出一个容量为60人的样本，再用分层抽样的方法将“年龄达到35岁”的被抽个体分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单车”中去求这60人中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数为听取对发展共享单车的建议，调查小组专门组织
6、所抽取的“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人员召开座谈会会后共有3份礼品赠送给其中3人，每人1份(其余人员仅赠送骑行优惠券)已知参加座谈会的人员中有且只有4人来自A组，求A组这4人中得到礼品的人数X的分布列和数学期望(2)从统计数据可直观得出“经常使用共享单车与年龄达到m岁有关”的结论在用独立性检验的方法说明该结论成立时，为使犯错误的概率尽可能小，年龄m应取25还是35？请通过比较K2的观测值的大小加以说明参考公式：K2，其中nabcd.解：(1)从300人中抽取60人，其中“年龄达到35岁”的人数为10020，再将这20人用分层抽样法按“是否经常使用单车”进行名额划分，其中“年龄达到35岁且
7、偶尔使用单车”的人数为209.A组这4人中得到礼品的人数X的可能取值为0,1,2,3，则P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).故X的分布列为X0123PE(X)0123.(2)按“年龄是否达到35岁”对数据进行整理，得到如下列联表：经常使用单车偶尔使用单车总计未达到35岁12575200达到35岁5545100总计180120300m35时，可求得K2的观测值k1.按“年龄是否达到25岁”对数据进行整理，得到如下列联表：经常使用单车偶尔使用单车总计未达到25岁6733100达到25岁11387200总计180120300m25时，可求得K2的观测值k2，k2k1.欲使犯错误的概率尽可
8、能小，需取m25.选考系列(请在下面的两题中任选一题作答)4选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin2.(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)射线OP的极坐标方程为(0)，若射线OP与曲线C的交点为A，与直线l的交点为B，求线段AB的长解：(1)由可得所以x2(y1)23，所以曲线C的普通方程为x2(y1)23.由sin2，可得2，所以sin cos 20，所以直线l的直角坐标方程为xy40.(2)法一：曲线C的方程可化为x2y22y20，所以曲线C的极坐标方程
9、为22sin 20.由题意设A，B，将代入22sin 20，可得220，所以2或1(舍去)，即12，将代入sin2，可得4，即24，所以|AB|12|2.法二：因为射线OP的极坐标方程为(0)，所以射线OP的直角坐标方程为yx(x0)，由解得A(，1)，由解得B(2，2)，所以|AB|2.5选修45：不等式选讲已知函数f(x)|x2|2x1|.(1)求不等式f(x)3的解集；(2)若不等式f(x)ax的解集为空集，求实数a的取值范围解：由题意f(x)作出f(x)的图象如图所示，注意到当x0或x2时，f(x)3，结合图象可知，不等式的解集为0,2(2)由(1)可知，f(x)的图象如图所示，不等式f(x)ax的解集为空集可转化为f(x)ax对任意xR恒成立，即函数yax的图象始终在函数yf(x)的图象的下方，当直线yax过点A(2,3)以及与直线y3x3平行时为临界情况，所以3a，即实数a的取值范围为.
