1、专题03 导数及其应用 易错点1 不能正确识别图象与平均变化率的关系 A，B两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量与时间t(天)的关系如图所示，则一定有A两机关单位节能效果一样好BA机关单位比B机关单位节能效果好CA机关单位的用电量在上的平均变化率比B机关单位的用电量在上的平均变化率大DA机关单位与B机关单位自节能以来用电量总是一样大【错解】选C.因为在(0，t0)上，的图象比的图象陡峭，所以在(0，t0)上用电量的平均变化率，A机关单位比B机关单位大【错因分析】识图时，一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系，特别是单调性，增长(减少)的快慢等要弄清【试题解析】由题可知，A机关单
2、位所对应的图象比较陡峭，B机关单位所对应的图象比较平缓，且用电量在上的平均变化率都小于0，故一定有A机关单位比B机关单位节能效果好故选B.【参考答案】B1平均变化率函数从到的平均变化率为，若，则平均变化率可表示为.2瞬时速度一般地，如果物体的运动规律可以用函数来描述，那么，物体在时刻的瞬时速度v就是物体在到这段时间内，当无限趋近于0时，无限趋近的常数.1巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力想想看，为什么？你能用数学
3、语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？【答案】见解析.【解析】山路从A到B高度的平均变化率为hAB，山路从B到C高度的平均变化率为hBC，hBChAB，山路从B到C比从A到B要陡峭的多易错点2 求切线时混淆“某点处”和“过某点”若经过点P(2,8)作曲线的切线，则切线方程为ABC或D或【错解】设，由定义得f (2)=12，所求切线方程为，即.【错因分析】曲线过点P的切线与在点P处的切线不同求曲线过点P的切线时，应注意检验点P是否在曲线上，若点P在曲线上，应分P为切点和P不是切点讨论【试题解析】易知P点在曲线上，当P点为切点时，由上面解法知切线方程为.当P点不是切点时，设切点为A(x0，y0)，由定
4、义可求得切线的斜率为.A在曲线上，解得或x0=2(舍去)，k=3，此时切线方程为y+1=3(x+1)，即.故经过点P的曲线的切线有两条，方程为或.【参考答案】D1导数的几何意义函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率.2曲线的切线的求法若已知曲线过点，求曲线过点P的切线，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解：（1）当点是切点时，切线方程为；（2）当点不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P(x1，f (x1)；第二步：写出过的切线方程为；第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；第四步：将x1的值代入方程，可得过点的切线方程2已知函数，则AB1CD【答
5、案】B【解析】，又因为，所以，解得，故选B.【名师点睛】本题主要考查导数的运算法则以及初等函数的求导公式，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.在求曲线的切线方程时，要注意区分是求某点处的切线方程，还是求过某点（不在曲线上）的切线方程，前者的切线方程为，其中切点，后者一般先设出切点坐标，再求解.易错点3 不能准确把握导数公式和运算法则求下列函数的导数：（1）；（2）.【错解】（1）；（2）.【错因分析】（1）求导是对自变量求导，要分清表达式中的自变量.本题中的自变量是x，a是常量；（2）商的求导法则是：分母平方作分母，分子是差的形式，等于分子的导数乘以分母的积减去分母的导数乘以分子的积.
6、本题把分数的导数类同于分数的乘方运算了.【试题解析】（1）；（2）.【参考答案】（1）；（2）.1导数计算的原则先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导2导数计算的方法连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；对数形式：先化为和、差的形式，再求导；根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；3已知，则A B C D【答案】D【解析】依题意有，故，所以选D.【名师点睛】本小题主要考查基本初等函数的导数，考查复合函数的导数计算，考查函数除
7、法的导数计算，属于中档题.易错点4 区分复合函数的构成特征求下列函数的导数：（1）；（2）.【错解】（1）；（2）.【错因分析】这是复合函数的导数，若，则.如（1）中，遇到这种类型的函数求导，可先整理再求导，或用复合函数求导公式求导【试题解析】解法一：（1），.（2），.解法二：（1）（2）.【参考答案】（1）；（2）.1求复合函数的导数的关键环节：中间变量的选择应是基本函数结构；正确分析出复合过程；一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；善于把一部分表达式作为一个整体；最后结果要把中间变量换成自变量的函数.2求复合函数的导数的方法步骤：分解复合函数为基本初等函数，适当选择中间变量；求每一
8、层基本初等函数的导数；每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数.4曲线在点处的切线方程是_【答案】【解析】，所以斜率为，切线方程为易错点5 审题不细致误设函数.（1）若，求函数的单调区间；（2）若在定义域上是增函数，求实数a的取值范围【错解】（1），.，令，得或，令，得，函数的单调递增区间为，单调递减区间为（2）在定义域上为增函数，恒成立，恒成立，即实数a的取值范围是.【错因分析】错解有多处错误：一是忽视了定义域的限制作用，研究函数一定要注意函数的定义域；二是将单调区间取并集，函数的单调区间不要随意取并集；三是对不等式恒成立处理不当，对于自变量取值有限制条件的恒成立问题要和自变量在R上取
9、值的恒成立问题加以区分【试题解析】（1）由已知得x0，故函数的定义域为(0，+)，.，令，得或，令，得，函数的单调递增区间为，单调递减区间为（2）若在定义域上是增函数，则对x0恒成立，需x0时恒成立，即对x0恒成立，当且仅当x=1时取等号，即实数a的取值范围是.【参考答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.用导数求函数的单调区间的“三个方法”：1当不等式(或)可解时，确定函数的定义域；求导数；解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间2当方程可解时，确定函数的定义域；求导数，令，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；把函数的间断
10、点(即的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间；确定在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性3当不等式(或)及方程均不可解时，确定函数的定义域；求导数并化简，根据的结构特征，选择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定的符号；得单调区间5已知函数，其中.（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求与满足的关系；（2）当时，讨论的单调性；（3）当时，对任意的，总有成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增；在上单调递减；当时，函数在和上单调递增；在上单调递减；（3）.【解析】
11、（1）由题意，得. 由函数在点处的切线与平行，得. 即. （2）当时，由知. 当时，在恒成立，函数在上单调递增. 当时，由，解得或；由，解得.函数在和上单调递增；在上单调递减.当时，解得或；由，解得.函数在和上单调递增；在上单调递减. （3）当时，由，得对任意的恒成立.，在恒成立. 设，则，令，则，由，解得. 由，解得；由，解得.导函数在区间上单调递增；在区间上单调递减， ，在上单调递减，. 故所求实数的取值范围.本题主要考查导数的几何意义以及利用导数求函数的单调性、最值，考查了不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法： 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； 数形结合( 图象在
12、上方即可)； 讨论最值或恒成立； 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.易错点6 极值的概念理解不透彻已知在处有极值，则_.【错解】或由题得，由已知得解得或，所以等于或.【错因分析】极值点的导数值为0，但导数值为0的点不一定为极值点，错解忽视了“是f(x)的极值点”的情况【试题解析】由题得，由已知得解得或，所以等于或.当时，在x=1两侧的符号相反，符合题意.当时，在x=1两侧的符号相同，所以不合题意，舍去.综上可知，所以.【参考答案】对于给出函数极大(小)值的条件，一定既要考虑，又要考虑在两侧的导数值符号不同，否则容易产生增根1函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导
13、数为0的点的左、右两侧的导数符号2求函数极值的方法：确定函数的定义域求导函数求方程的根检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点如果左正右负，那么在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么在这个根处取得极小值，如果在这个根的左右两侧符号不变，则在这个根处没有极值3利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数，求方程的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围.6若是函数的极值点，则的值为A2B3C2或3D3或2【答案】B【解析】，由题意可知，或，当时，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，显然是函数的极值点；当时，所以函数是上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍
14、去，故选B.【名师点睛】本题考查了已知函数的极值，求参数的问题.本题易错的地方是求出的值，没有通过单调性来验证是不是函数的极值点，也就是说使得导函数为零的自变量的值，不一定是极值点.（1）在处有极值时，一定有，可能为极大值，也可能为极小值，应检验在两侧的符号后才可下结论；（2）若，则未必在处取得极值，只有确认时，才可确定在处取得极值（3）在本题中，不要遗漏掉这种特殊情况.易错点7 被积函数与积分上、下限确定不准致误由抛物线与直线及y=0所围成图形的面积为ABCD【错解】D由得，由得，由得或(舍去)所求面积，故选D.【错因分析】错解没有画图分析曲线之间的位置关系，没有弄清平面图形的形状，以致弄错
15、被积函数和积分区间致误【试题解析】由题意，所围成平面图形如图所示，由得或(舍去)，所以抛物线与直线的交点坐标为(2,4)，方法一：(选y为积分变量).方法二：(选x为积分变量).【参考答案】C用定积分求较复杂的平面图形的面积时：一要根据图形确定x还是y作为积分变量，同时，由曲线交点确定好积分上、下限；二要依据积分变量确定好被积函数，积分变量为x时，围成平面图形的上方曲线减去下方曲线为被积函数，积分变量为y时，围成平面图形的右方曲线减去左方曲线为被积函数；三要找准原函数1利用定积分求平面图形面积的步骤根据题意画出图形；借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；把曲边梯形的面积表示
16、成若干个定积分的和；计算定积分，写出答案2定积分与曲边梯形的面积的关系定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积这要结合具体图形来确定：设阴影部分面积为S,则(1) ； (2) ；(3) ； (4) .7如图，若在矩形中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为A BC D【答案】A【解析】，又，豆子落在图中阴影部分的概率为.故选A.在利用定积分求曲边梯形的面积时，要注意结合图形分析，否则易造成对实际情况的考虑不全而失误.本题主要考查的是抛物线的方程和定积分的几何意义，属于难题解题时一定要抓住重要字眼“原始”和“当前”，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点
17、是定积分的几何意义，即由直线，和曲线所围成的曲边梯形的面积是一、导数的概念及计算1导数的定义：.2导数的几何意义：函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即.求曲线的切线方程的类型及方法（1）已知切点，求过点P的切线方程：求出切线的斜率f (x0)，由点斜式写出方程；（2）已知切线的斜率为k，求的切线方程：设切点，通过方程解得x0，再由点斜式写出方程；（3）已知切线上一点(非切点)，求的切线方程：设切点，利用导数求得切线斜率，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，最后由点斜式或两点式写出方程（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率
18、，再由求出切点坐标，最后写出切线方程（5）在点处的切线即是以为切点的切线，一定在曲线上.过点的切线即切线过点，不一定是切点因此在求过点的切线方程时，应首先检验点是否在已知曲线上3基本初等函数的导数公式函数导数f (x)=C(C为常数)=f (x)=sin xf (x)=cos xf (x)=ln x4导数的运算法则（1）.（2）.（3）.5复合函数的导数复合函数的导数和函数的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积二、导数的应用1函数的单调性与导数的关系一般地，在某个区间(a,b)内：如果，函数f (x)在这个区间内单调递增;如果，函数f (x)在这个区间内单调递减;
19、如果，函数f (x)在这个区间内是常数函数（1）利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；（2）在某个区间内，()是函数f (x)在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数在定义域上是增函数，但.（3）函数在(a,b)内单调递增(减)的充要条件是()在(a,b)内恒成立，且在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有,不影响函数在区间内的单调性.2函数的极值与导数的关系一般地，对于函数，若在点x= a处有f (a)= 0，且在点x= a附近的左侧，右侧，则称x= a为f(x)的极小值点；叫做函数f (x)的极小值.若在点x=b处有
20、=0，且在点x=b附近的左侧，右侧，则称x= b为f(x)的极大值点，叫做函数f (x)的极大值极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.3函数的最值与极值的关系极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；函数f (x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.求函数在a,b上的最大值与最小值的步骤求函数在(a,b)内的极值；将函数的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大
21、的一个是最大值，最小的一个是最小值三、定积分与微积分基本定理1定积分的定义和相关概念（1）如果函数f (x)在区间a,b上连续，用分点将区间a,b等分成n个小区间，在每个小区间xi1,xi上任取一点，作和式；当n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a,b上的定积分，记作，即= .（2）在中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a,b叫做积分区间，函数叫做被积函数，x叫做积分变量，f (x)dx叫做被积式2定积分的性质（1）(k为常数)；（2）；（3）(其中acb) 3定积分的几何意义（1）当函数f (x)在区间a,b上恒为正时，定积分f (x)dx的几何意义是由直线x
22、= a，x= b(ab)，y= 0和曲线y= f (x)所围成的曲边梯形的面积(图中阴影部分)（2）一般情况下，定积分f (x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f (x)以及直线x= a，x= b之间的曲边梯形面积的代数和(图中阴影部分所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数定积分的物理意义（1）变速直线运动的路程：做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v(t)(v(t)0)在时间区间a，b上的定积分，即.（2）变力做功：一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s m，则力F所做的功为W=F
23、s.如果物体在变力F(x)的作用下沿着与F(x)相同的方向从x=a移动到x=b，则变力F(x)做的功.4微积分基本定理一般地，如果f (x)是区间a,b上的连续函数，且F(x)= f (x)，那么= F(b)F(a)这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼茨公式，其中F(x)叫做f (x)的一个原函数为了方便，我们常把F(b)F(a)记作，即= F(b)F(a)常见的原函数与被积函数的关系（1）为常数)；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.1【2019年高考全国卷理数】已知曲线在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则A Ba=e，b=1C D，2【2018年高考全
24、国卷理数】设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为ABCD3【2017年高考全国卷理数】若是函数的极值点，则的极小值为ABCD14设曲线上任一点处的切线斜率为，则函数的部分图象可以为A BC D5函数的最小值为ABCD6定义在上的函数满足，则关于x的不等式的解集为A BC D7已知定义在上的函数，设两曲线与在公共点处的切线相同，则值等于A3 B1C3 D58若函数在上为增函数，则的取值范围为A BC D9若方程在0,2上有解，则实数m的取值范围是AB0,2CD10两曲线，与两直线，所围成的平面区域的面积为A BC D11已知函数，若在区间内存在极值点，则实数的取值范围是A BC D12【2
25、019年高考全国卷理数】曲线在点处的切线方程为_13【2018年高考全国卷理数】曲线在点处的切线方程为_14【2018年高考全国卷理数】已知函数，则的最小值是_15已知函数若方程恰有两个不同的实数根，则的最大值是_16【2019年高考全国卷理数】已知函数，为的导数证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点 17【2019年高考全国卷理数】已知函数.（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线的切线.18【2018年高考全国卷理数】已知函数（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：19已知函数.（1）当时，有极小值，求实数；（2）设，当时，在图象上任意一点处的切线的斜率为，若，求实数的取值范围 20已知函数，为自然对数的底数.（1）求函数的最小值；（2）若对任意的恒成立，求实数的值；（3）在（2）的条件下，证明：. _
