1、教学资料范本2021版新高考数学：圆锥曲线含答案编 辑：_时 间：_(对应学生用书第170页)解析几何研究的问题是几何问题，研究的方法是代数法(坐标法).因此，求解解析几何问题最大的思维难点是转化，即几何条件代数化如何在解析几何问题中实现代数式的转化，找到常见问题的求解途径，是突破解析几何问题难点的关键所在为此，从以下几个途径，结合数学思想在解析几何中的切入为视角，突破思维难点高考示例方法与思维1.(20xx全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C：y与直线l：ykxa(a0)交于M，N两点(1)当k0时，分別求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？
2、(说明理由)解(1)xya0和xya0.(步骤省略)(2)存在符合题意的点证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.将ykxa代入C的方程，得x24kx4a0.故x1x24k，x1x24a.从而k1k2.【关键点1：建立斜率之间的关系】当ba时，有k1k20，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，【关键点2：把斜率间的关系转化为倾斜角之间的关系】故OPMOPN，所以点P(0，a)符合题意【点评】破解此类解析几何题的关键：一是“图形”引路，一般需画出大致图形，把已知条件翻译到图形中，利用直线方程的点斜式或两点式，即可快速
3、表示出直线方程；二是“转化”桥梁，即先把要证的两角相等，根据图形的特征，转化为斜率之间的关系，再把直线与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系，以及斜率公式即可证得结论2.(20xx全国卷)已知点A(2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PEx轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G，证明：()PQG是直角三角形；解(1)由题设得，化简得1(|x|2)，【关键点1：指明斜率公式中变量隐含的范围】所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点(2
4、)设直线PQ的斜率为k，则其方程为ykx(k0).由得x.记u，则P(u，uk)，Q(u，uk)，E(u，0).于是直线QG的斜率为，方程为y(xu).由 得(2k2)x22uk2xk2u280.设G(xG，yG)，则u和xG是方程的解，故xG，由此得yG.从而直线PG的斜率为.【关键点2：利用斜率之积为1说明线段PQ与PG的几何关系】所以PQPG，即PQG是直角三角形【点评】(1)求曲线的轨迹时务必检验几何图形的完备性，谨防增漏点；(2)几何关系的证明问题常转化为代数式的运算问题，此时常借助斜率公式、平面向量等实现数与形的转化途径一“图形”引路，“斜率”搭桥途径二“换元”转化，方便运算高考示
5、例方法与思维(20xx全国卷)已知点A(2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PEx轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G，()PQG是直角三角形；()求PQG面积的最大值()由()得|PQ|2u，|PG|，所以PQG的面积S|PQPG|.【关键点1：分子分母同除以k2】设tk，则由k0得t2，当且仅当k1时取等号【关键点2：整体代换，指明范围】因为S在2，)单调递减，所以当t2，即k1时，S取得最大值，最大值为.【关键点3：用活“对勾”函数及复合
6、函数的单调性】因此，PQG面积的最大值为.【点评】基本不等式求最值的5种典型情况分析(1)s(先换元，注意“元”的范围，再利用基本不等式).(2)s(基本不等式).(3)s(基本不等式).(4)s(先分离参数，再利用基本不等式).(5)s(上下同时除以k2，令tk换元，再利用基本不等式).途径三性质主导，向量解题高考示例方法与思维(20xx全国卷)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB| 4，M过点A，B且与直线x20相切(1)若A在直线xy0上，求M的半径；(2)是否存在定点P，使得当A运动时，MAMP为定值？并说明理由解(1)因为M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上【关键点1：圆的
7、几何性质】由已知A在直线xy0上，且A，B关于坐标原点O对称，【关键点2：圆的几何性质】所以M在直线yx上，故可设M(a，a).因为M与直线x20相切，所以M的半径为r|a2|.【关键点3：直线与圆相切的几何性质】由已知得|AO|2，又，【关键点4：圆的几何性质向量化】故可得2a24(a2)2，解得a0或a4.故M的半径r2或r6.(2)存在定点P(1，0)，使得|MA|MP|为定值理由如下：设M(x，y)，由已知得M的半径为r|x2|，|AO|2.由于，【关键点5：圆的几何性质向量化】故可得x2y24(x2)2，化简得M的轨迹方程为y24x.因为曲线C：y24x是以点P(1，0)为焦点，以直
8、线x1为准线的抛物线，所以|MP|x1.因为|MA|MP|r|MP|x2(x1)1，所以存在满足条件的定点P.【点评】从本题可以看出，圆的几何性质与数量关系的转化涵盖在整个解题过程中，向量在整个其解过程中起了“穿针引线”的作用，用活圆的几何性质可以达到事半功倍的效果途径四设而不求，化繁为简高考示例方法与思维(20xx全国卷)已知斜率为k的直线l与椭圆C：1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m0).(1)证明：k0)在椭圆1内，1，解得0m，故k.(2)由题意得F(1，0).设P(x3，y3)，则(x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0，0).由(1)及题设得x33(x1
9、x2)1，y3(y1y2)2m0.【关键点2，设出点P，借助向量的建立变量间的关系，达到设而不求的目的】又点P在C上，所以m，从而P，|.于是|2.同理|2.所以|4(x1x2)3.故2|，即|，|，|成等差数列设该数列的公差为d，则2|d|x1x2|.将m代入得k1.所以l的方程为yx，代入C的方程，并整理得7x214x0.故x1x22，x1x2，代入解得|d|.【关键点3：借用根与系数的关系，达到设而不求的目的】所以该数列的公差为或.【点评】本题(1)涉及弦的中点坐标，可以采用“点差法”求解，设出点A、B的坐标，代入椭圆方程并作差，再将弦AB的中点坐标代入所得的差，可得直线AB的斜率；对于(2)圆锥曲线中的证明问题，常采用直接法证明，证明时常借助等价转化思想，化几何关系为数量关系，然后借助方程思想给予解答
