1、第三章 一元一次方程1.13.1从算式到方程学习要求1、 了解从算式到方程是数学的进步理解方程、方程的解和解方程的概念，会判断一个数是否为方程的解理解一元一次方程的概念，能根据问题，设未知数并列出方程初步掌握等式的性质1、性质22、 掌握等式的性质，能列简单的方程和求简单方程的解知识点一： 方程例题下列各式3x2，2m+n=1，a+b=b+a（a，b为已知数），y=0，x23x+2=0中，方程有（）A1个B2个C3个D4个【分析】含有未知数的等式叫做方程根据方程的定义可以解答【解答】解：2m+n=1，y=0，x23x+2=0，这3个式子即是等式又含有未知数，都是方程3x2不是等式，因而不是方程
2、a+b=b+a（a，b为已知数）不含未知数所以都不是方程故有3个式子是方程故选：C【点评】解题关键是依据方程的定义含有未知数的等式叫做方程方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）变式1在以下的式子中：+8=3；12x；xy=3；x+1=2x+1；3x2=10；2+5=7；其中是方程的个数为（）A3B4C5D6【分析】根据方程的定义对各选项进行逐一分析即可【解答】解：12x不是方程，因为不是等式；2+5=7不是方程，因为不含有未知数；+8=3、xy=3、x+1=2x+1、3x2=10都是方程，字母是未知数，式子又是等式；故选：B【点评】本题考查的是方程的定义，熟知含有
3、未知数的等式叫方程是解答此题的关键变式2下列各式：5+2=7；x=1；2a3b；4x+y；x+y+z=0；x+=1；+1=3x，其中方程式的个数是（）A2个B3个C4个D5个【分析】根据方程的定义，含有未知数的等式叫方程，据此可得出正确答案【解答】解：5+2=7中没有未知数，不是方程；x=1、x+y+z=0、x+=1、+1=3x符合方程的定义；2a3b、4x+y都不是等式，不是方程故选：C【点评】本题考查了方程的定义含有未知数的等式叫做方程方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）知识点二： 一元一次方程 例题下列方程：x=3；x+2y=1；+2=0；1=x；x24=
4、3x其中是一元一次方程的有（）A2个B3个C4个D5个【分析】根据一元一次方程的定义求解即可【解答】解：x=3；1=x是一元一次方程，故选：A【点评】本题考查了一元一次方程的概念和解法一元一次方程的未知数的指数为1变式1已知下列方程：；0.3x=1；x24x=3；x=6；x+2y=0其中一元一次方程的个数是（）A2B3C4D5【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程【解答】解：是分式方程，故错误；0.3x=1，即0.3x1=0，符合一元一次方程的定义故正确；，即9x+2=0，符合一元一次方程的定义故正确；x24x=3的未知数的最高次数是2，它属于一元二次
5、方程故错误；x=6，即x6=0，符合一元一次方程的定义故正确；x+2y=0中含有2个未知数，属于二元一次方程故错误综上所述，一元一次方程的个数是3个故选：B【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点变式2在下列方程中x2+2x=1，3x=9，x=0，3=2，=y+是一元一次方程的有（）个A1B2C3D4【分析】根据一元一次方程的定义，即可解答【解答】解：x2+2x=1，是一元二次方程；3x=9，是分式方程；x=0，是一元一次方程；3=2，是等式；=y+是一元一次方程；一元一次方程的有2个，故选：B【点评】本题考查
6、了一元一次方程的定义，解决本题的关键是熟记一元一次方程的定义知识点三： 解方程和方程的解例题1下列方程的解是x=2的方程是（）A4x+8=0Bx+=0Cx=2D13x=5【分析】把x=2代入各方程验证判定即可【解答】解：把x=2代入各方程验证可得出x=2是方程x+=0的解故选：B【点评】本题主要考查了方程的解，解题的关键是把x=2代入各方程验证例题2关于x的方程3（x+1）6a=0的一个根是2，则a的值是（）A2B2CD【分析】使方程左右两边相等的未知数的值是该方程的解把x=2代入原方程就得到一个关于a的方程，解这个方程即可求出a的值【解答】解：把x=2代入原方程得到：3（2+1）6a=0解得
7、：a=故选C【点评】已知条件中涉及到方程的解，把方程的解代入原方程，转化为关于字母a的方程进行求解变式判断括号内未知数的值是不是方程的根：（1）x23x4=0（x1=1，x2=1）；（2）（2a+1）2=a2+1（a1=2，a2=）【分析】利用方程解的定义找到相等关系即将未知数分别代入方程式看是否成立【解答】解：（1）当x1=1时，左边=1+34=0=右边，则它是该方程的根；当x2=1时，左边=134=6右边，则它不是该方程的根；（2）当a1=2时，左边=（4+1）2=9，右边=4+1=5，左边右边，则它不是该方程的根；当a2=时，左边=（2+1）2=，右边=（）2+1=，左边=右边，则它是该
8、方程的根【点评】本题主要考查了方程的解的定义无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法知识点四： 等式的性质例题已知a=b，则下列等式不成立的是（）Aa+1=b+1B+4=+4C4a1=14bD12a=2b1【分析】利用等式的性质对每个式子进行变形即可找出答案【解答】解：A、根据等式性质1，a+1=b+1两边同减去1，得a=b；B、根据等式性质1，+4=+4两边同减去4，再根据等式性质2，两边乘以5得，a=b；C、根据等式性质1，两边同时加1，再根据等式性质2，两边都除以4，得a=b；D、根据等式性质2，两边都乘以2，再根据等式性质
9、1，两边都加1，应得12a=2b+1；故选D【点评】本题考查的是等式的性质：等式性质1，等式的两边加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等；等式性质2，等式的两边同乘（或除以）同一个数（除数不为0）结果仍相等；变式1根据等式性质，下列结论正确的是（）A如果2a=b2，那么a=bB如果a2=2b，那么a=bC如果2a=2b，那么a=bD如果2a=b，那么a=b【分析】根据等式的性质，可得答案【解答】解：A、左边除以2，右边加2，故A错误；B、左边加2，右边加2，故B错误；C、两边都除以2，故C正确；D、左边除以2，右边乘以2，故D错误；故选：C【点评】本题考查了等式的性质，熟记等式的性质是解题关键
10、变式2已知ax=ay，下列等式变形不一定成立的是（）Ab+ax=b+ayBx=yCxax=xayD=【分析】根据等式的性质，可得答案【解答】解：A、两边都加b，结果不变，故A不符合题意；B、a=0时两边都除以a，无意义，故B符合题意；C、两边都乘以1，都加x，结果不变，故C不符合题意；D、两边都除以同一个不为零的整式结果不变，故D不符合题意；故选：B【点评】本题考查了等式的性质，利用等式的性质是解题关键知识点五： 运用等式性质解方程例题利用等式的性质解方程：（1）5x=2（2）3x6=312x【分析】（1）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除
11、以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案；（2）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案【解答】解：（1）两边都减5，得x=7，两边都除以1，得x=7；（2）两边都加（2x+6），得5x=25，两边都除以5，得x=5【点评】本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立变式1用等式的性质解下列方程：（1）4x+7=3； （2）xx=4【分析】（1）根据等式的两边都加或都减同一个数，
12、结果仍是等式，等式的两边都除以同除以一个不为零的数，可得答案；（2）根据等式的两边都乘以同一个不为零的数，结果仍是等式，可得答案【解答】解：（1）方程两边都减7，得4x=4方程两边都除以4，得x=1（2）方程两边都乘以6，得3x2x=24，x=24【点评】本题考查了等式的性质，利用了等式的性质解方程变式2利用等式的性质解下列方程：（1）x3=9；（2）5=2x4；（3）4+5x=2x5；（4）2=10【分析】（1）等式的两边同时加3即可得出结论；（2）先把等式的两边同时加4，再把两边同时除以2即可得出结论；（3）先把等式的两边同时加42x，再把两边同时除以3即可得出结论；（4）先把等式的两边同
13、时加2，再把两边同时乘以3即可得出结论【解答】解：（1）等式的两边同时加3得，x=12；（2）等式的两边同时加4得，2x=9，两边同时除以2得，x=；（3）先把等式的两边同时加42x得，3x=1，再把两边同时除以3得，x=；（4）把等式的两边同时加2得，=12，拓展点一： 根据已知条件中的相等关系列方程例题根据下列条件列出方程（1）x比它的大15（2）2xy与5的差的3倍等于24（3）y的与5的差等于y与1的差【分析】（1）根据文字表述找出题中的等量关系：x它的=15，根据此等式列方程即可；（2）根据文字表述找出题中的等量关系：2xy减去5的差的3倍=24，根据此等式列方程即可；（3）根据文字
14、表述找出题中的等量关系：y的5=y1，根据此等式列方程即可【解答】解：（1）根据题意可得：xx=15；（2）根据题意可得：3（2xy5）=24；（3）根据题意可得：y5=y1【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，列方程的关键是正确找出题目的相等关系，找的方法是通过题目中的关键词如：大，小，倍等变式1一件衬衫先按成本加价60元标价，再以8折出售，仍可获利24元，这件衬衫的成本是多少钱？设衬衫的成本为x元（1）填写下表：（用含有x的代数式表示）成本标价售价xx+600.8x+48（2）根据相等关系列出方程：（0.8x+48）x=24【分析】（1）设这件衬衫的成本是x元，根据题意：标价
15、=成本价+60，售价=标价0.8，由此即可解决问题（2）设这件衬衫的成本是x元，根据：利润=销售价成本，即可列出方程【解答】解：（1）可得：标价为：x+60；售价为：0.8x+48，故答案为：x+60；0.8x+48；（2）根据题意可得：（0.8x+48）x=24，故答案为：（0.8x+48）x=24【点评】此题考查了一元一次方程的应用，搞清楚，成本价、标价、销售价，以及利润、成本、售价之间的关系是解本题的关键变式2在一次美化校园活动中，先安排31人去拔草，18人去植树，后又增派20人去支援他们，结果拔草的人数是植树的人数的2倍问支援拔草和植树的分别有多少人？（只列出方程即可）【分析】首先设支
16、援拔草的有x人，则支援植树的有（20x）人，根据题意可得等量关系：原来拔草人数+支援拔草的人数=2（原来植树的人数+支援植树的人数）【解答】解：设支援拔草的有x人，由题意得：31+x=218+（20x）【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程拓展点二： 根据一元一次方程的定义解题例题1已知关于x的方程（m+3）x|m+4|+18=0是一元一次方程，试求：（1）m的值；（2）2（3m+2）3（4m1）的值【分析】（1）根据题意得出|m+4|=1且m+30，求出即可；（2）先算乘法，合并同类项，最后代入求出即可【解答】解：（1）依题意有
17、|m+4|=1且m+30，解之得m=5，故m=5；（2）当m=5时，2（3m+2）3（4m1）=6m+7=6（5）+7=37【点评】本题考查了一元一次方程的定义和求代数式的值，能求出m的值是解此题的关键变式已知方程（a2）x|a|1+8=0是关于x的一元一次方程，求a的值并求该方程的解【分析】由一元一次方程的定义可知|a|1=1且a20，从而可求得a的值，然后将a的值代入求解即可【解答】解：方程（a2）x|a|1+8=0是关于x的一元一次方程，|a|1=1且a20a=2将a=2代入得：4x+8=0解得：x=2【点评】本题蛀牙考查的是一元一次方程的定义和一元一次方程的解法，根据一元一次方程的定义
18、求得a的值是解题的关键例题2（|k|1）x2+（k1）x+3=0是关于x的一元一次方程，求k的值【分析】根据题意首先得到：|k|1=0，解此绝对值方程，求出k的两个值分别代入所给方程中，使系数不为0的方程，解即可；如果系数为0，则不合题意，舍去【解答】解：根据题意，得，解得，k=1【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点变式已知方程2kx2+2kx+3k=4x2+x+1是关于x的一元一次方程，求k值，并求出这个方程的根【分析】先将方程整理，然后根据一元一次方程只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，列出关于k
19、的方程，【解答】解：将方程整理得：（2k4）x2+（2k1）x+3k1=0，2k4=0，解得：k=2，当k=2时，原方程化为：3x+5=0，移项化系数为1得：x=即这个方程的根为：【点评】本题考查了一元一次方程的概念和解法，属于基础题，注意掌握一元一次方程只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1拓展点三： 方程解的应用例题x=2是方程ax4=0的解，检验x=3是不是方程2ax5=3x4a的解【分析】x=3不是方程2ax5=3x4a的解，理由为：由x=2为已知方程的解，把x=2代入已知方程求出a的值，再将a的值代入所求方程，检验即可【解答】解：x=3不是方程2ax5=3x4a的解，理由为：x=
20、2是方程ax4=0的解，把x=2代入得：2a4=0，解得：a=2，将a=2代入方程2ax5=3x4a，得4x5=3x8，将x=3代入该方程左边，则左边=7，代入右边，则右边=1，左边右边，则x=3不是方程4x5=3x8的解【点评】此题考查了方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值变式已知x=1是关于x的方程8x34x2+kx+9=0的一个解，求3k215k95的值【分析】将x=1代入方程求出k的值，代入所求式子中计算即可求出值【解答】解：将x=1代入方程得：84k+9=0，解得：k=3，当k=3时，3k215k95=27+4595=23【点评】此题考查了方程的解，方程的解即为能使
21、方程左右两边相等的未知数的值拓展点四： 利用等式的性质将等式变形例题将方程4x+3y=6变形成用y的代数式表示x，则x=【分析】先根据等式的性质1：等式两边同加3y，再根据等式性质2：等式两边同除以4，得出结论【解答】解：4x+3y=6，4x=63y，x=，故答案为：【点评】本题考查了等式的性质，表示x就是求未知数x的值，把等式变形为ax=b的形式，再利用等式性质2变形为x=；注意本题要把y当常数变式1由2x16=3x+5得2x3x=5+16，在此变形中，是在原方程的两边同时加上了163x【分析】根据等式2x16=3x+5到2x3x=5+16的变形，即可得出结论【解答】解：2x16=3x+5，
22、2x16+（163x）=3x+5+（163x），即2x3x=5+16故答案为：163x【点评】本题考查等式的性质，熟练掌握“等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式”是解题的关键变式2方程5x2=4（x1）变形为5x2=4x4的依据是去括号法则【分析】根据去括号的法则解答即可【解答】解：程5x2=4（x1）去括号后变为5x2=4x4，方程5x2=4（x1）变形为5x2=4x4的依据是去括号法则【点评】本题考查的是去括号的法则：（1）括号前面有“+“号，把括号和它前面的“+“号去掉，括号里各项的符号不改变；（2）括号前面是“号，把括号和它前面的“号去掉，括号里各项的符号都要改变为相反的符号拓展点
23、五： 利用等式的性质解简易方程例题利用等式的性质解下列方程，并口算检验： （1）3x5=6； （2）7x=6x26； （3）x2=1； （4）2x=3【分析】（1）利用等式性质1，方程两边加上5，然后利用等式性质2，方程两边除以3即可得到方程的解；（2）利用等式性质1，方程两边加上6x，然后利用等式性质2，方程两边除以13可得到方程的解；（3）利用等式性质1，方程两边加上2，然后利用等式性质2，方程两边除以即可得到方程的解；（4）利用等式性质1，方程两边加上2，然后利用等式性质2，方程两边除以即可得到方程的解【解答】解：（1）3x=6+5，x=；（2）7x6x=26，13x=26，x=2；（3
24、）x=3，x=；（4）x=5，x=15【点评】本题考查了等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式变式利用等式的性质解下列方程：（1）2x+3=11；（2）x1=x+3；（3）x1=6；（4）3x1=56x【分析】（1）利用等式的性质1变形为：2x=8，然后利用等式的性质2得到x=4；（2）利用等式的性质1得到：，然后利用等式的性质2可得到x=16；（3）利用等式的性质1得到=7，然后利用等式的性质2可得到x=14；（4）利用等式的性质1得到3x=6，然后利用等式的性质2可得到x=2【解答】解：（1）等式两边同时减
25、3得：2x=8，等式两边同时除以2得x=4；（2）等式两边同时减再加1得：，等式两边同时乘以4得x=16；（3）等式两边同时加1得：=7，等式两边同时乘以2得x=14；（4）等式两边同时加上6x+1得：3x=6，等式两边同时除以3得x=2【点评】本题主要考查的是等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键易错点一： 对一元一次方程概念理解错误例题（1）3x=10 （2）5xy=35 （3）x24=0 （4）4z3（z+2）=1 （5）=3 （6）x=3其中是一元一次方程的个数是（）个A2B3C4D5【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程它的一般形式是ax+b
26、=0（a，b是常数且a0）【解答】解：（1）符合一元一次方程的定义；（2）含有两个未知数，不是一元一次方程；（3）未知项的最高次数为2，不是一元一次方程；（4）符合一元一次方程的定义；（5）不是整式方程，不是一元一次方程；（6）符合一元一次方程的定义故选B【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点变式已知下列方程，3x2=6；x1=y；+1.5x=8；3x24x=10；x=0；=3其中一元一次方程的个数有（）A3B4C5D6【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程它的一般形
27、式是ax+b=0（a，b是常数且a0）【解答】解：3x2=6，符合一元一次方程的定义，正确；x1=y，含有两个未知数，不是一元一次方程，错误；+1.5x=8，符合一元一次方程的定义，正确；3x24x=10，是一元二次方程，错误；x=0，符合一元一次方程的定义，正确；=3，是分式方程，错误故选A【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点易错点二： 忽略一次项系数不能为0这个条件例题已知（a2）x|a|1+4=0是关于x一元一次方程，求|x+2a|的值【分析】根据题意首先得到：|a|1=1，解此绝对值方程，求出a的两
28、个值分别代入所给方程中，使系数不为0的方程，解即可；如果系数为0，则不合题意，舍去【解答】解：由（a2）x|a|1+4=0是关于x一元一次方程，得，解得a=2，把a=2代入（a2）x|a|1+4=0可得：4x+4=0，解得：x=1，把x=1，a=2代入|x+2a|=3【点评】本题考查了一元一次方程的概念和解法一元一次方程的未知数的指数为1变式已知方程（m8）x|m|7+6=m9是关于x的一元一次方程（1）求m的值；（2）写出关于x的一元一次方程【分析】（1）利用一元一次方程的定义判断即可确定出m的值；（2）把m的值代入方程计算即可求出解【解答】解：（1）方程（m8）x|m|7+6=m9是关于x
29、的一元一次方程，|m|7=1且m80，解得：m=8；（2）把m=8代入方程得：16x+6=17，解得：x=【点评】此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键易错点三： 运用等式的性质不注意隐含条件例题下列各式运用等式的性质变形，错误的是（）A若a=b，则a=bB若=，则a=bC若ac=bc，则a=bD若（m2+1）a=（m2+1）b，则a=b【分析】根据等式的性质，可得答案【解答】解：A、两边都乘以1，结果不变，故A正确；B、两边都乘以c，结果不变，故B正确；C、c等于零时，除以c无意义，故C错误；D、两边都除以（m2+1），结果不变，故D正确；故选：C【点评】本题考查了等式的性质，熟记等式的性质是解题关键变式下列判断错误的是（）A若x=y，则xm5=ym5B若（a2+1）x=1，则x=C若x2=3x，则x=3D若m=n，则am=an【分析】根据等式的性质进行选择即可【解答】解：A、根据等式的性质2和1可得出，xm5=ym5，故A选项不正确；B、a2+10，根据等式的性质2得出x=，故B选项不正确；C、x可能为0，若x2=3x，则x=3不成立，故C选项错误；D、根据等式的性质2可得出，am=an，故D选项不正确；故选C【点评】本题考查了等式的性质，掌握等式的两个性质是解题的关键
