1、6.3 平面向量基本定理及坐标表示6.3.1平面向量基本定理课标要求素养要求理解平面向量基本定理及其意义，在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.通过力的分解引出平面向量基本定理，体会平面向量基本定理的应用重点提升数学抽象及直观想象素养.教材知识探究音乐是人们在休闲时候的一种选择，不管是通俗的流行歌曲、动感的摇滚音乐，还是高雅的古典音乐，它们都给了人们不同的享受、不一样的感觉.事实上，音乐有基本音符：Do Re Mi Fa So La Si，所有的乐谱都是这几个音符的巧妙组合，音乐的奇妙就在于此.在多样的向量中，我们能否找到它的“基本音符”呢？问题1如果e1，e2是两个不共线的
2、确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？提示能.依据是数乘向量和平行四边形法则.问题2如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？提示不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示.平面向量基本定理定理中要特别注意向量e1与向量e2是两个不共线的向量条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量结论对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2基底不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底教材拓展补遗微判断1.平面向量基本定理中基底的选取是唯一的.()2.零向量可以作为基底.()3.若a，b不共
3、线，则ab与ab可以作为基底.()提示1.基底的选取不是唯一的，不共线的两个向量都可以作为基底.2.由于0和任意的向量共线，故不能作为基底.3.由于ab和ab不共线，故可作基底.微训练1.设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，则以下各组向量中不能作为基底的是()A.e1，e2 B.e1e2，3e13e2C.e1，5e2 D.e1，e1e2解析因为3e13e23(e1e2)，两向量共线不可作为基底.答案B2.在ABC中，若()，则下列关系式正确的是()A.BD2CD B.BDCDC.BD3CD D.CD2BD解析由()得2，即，即，所以|，故BDCD.答案B微思考1.若e1，e2是一个平面内
4、的一组基底，则集合a|a1e12e2，12R表示的是什么？提示集合表示的是这个平面内的所有向量，其中当10时，a与e2共线；当20时，a与e1共线；当120时，a为零向量.2.若ae1be2ce1de2(a，b，c，dR)，则ac，bd是否成立？提示当e1，e2共线时，ac，bd不一定成立；当e1，e2不共线时，ac，bd一定成立.题型一平面向量基本定理的理解【例1】如果e1，e2是平面内所有向量的一组基底，是实数，判断下列说法是否正确，并说明理由.(1)若，满足e1e20，则0；(2)对于平面内任意一个向量a，使得ae1e2成立的实数，有无数对；(3)线性组合e1e2可以表示平面内的所有向量
5、；(4)当，取不同的值时，向量e1e2可能表示同一向量.解(1)正确.若0，则e1e2，从而向量e1，e2共线，这与e1，e2不共线相矛盾，同理可说明0.(2)不正确.由平面向量基本定理可知，唯一确定.(3)正确.平面内的任一向量a可表示成e1e2的形式，反之也成立.(4)不正确.结合向量加法的平行四边形法则易知，当e1和e2确定后，其和向量e1e2便唯一确定.规律方法(1)对于平面内任一向量都可以用两个不共线的向量来表示；反之，平面内的任一向量也可以分解成两个不共线的向量的和的形式.(2)向量的基底是指平面内不共线的两个向量，事实上若e1，e2是基底，则必有e10，e20且e1与e2不共线，
6、如0与e1，e1与2e1，e1e2与2(e1e2)等，均不能构成基底.【训练1】设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是()A.e1e2和e1e2B.3e14e2和6e18e2C.e12e2和2e1e2D.e1和e1e2解析选项B中，6e18e22(3e14e2)，6e18e2与3e14e2共线，不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底.故选B.答案B题型二用基底表示向量 【例2】如图，在平行四边形ABCD中，设对角线a，b，试用基底a，b表示，.解法一由题意知，a，b.所以ab，ab.法二设x，y，则y，又则所以xab，yab，即ab，ab
7、.规律方法用基底表示向量的方法将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解.【训练2】如图所示，梯形ABCD中，ABCD，M，N分别是DA，BC的中点，且k，设e1，e2，以e1，e2为基底表示向量，.解法一e2，k，kke2.0，e1(k1)e2.又0，且，e2.法二同法一得ke2，e1(k1)e2.连接MB，MC，由()得()()e2.题型三平面向量基本定理的综合应用若a是平面内的非零向量，且能表示为a1e12e2，a1e12e2，那么一定有
8、11，22【例3】如图，在ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN2NC，AM与BN相交于点P，求APPM与BPPN的值.解设e1，e2，则3e2e1，2e1e2.A，P，M和B，P，N分别共线，存在实数，使得e13e2，2e1e2.故(2)e1(3)e2.而2e13e2，由平面向量基本定理，得解得，APPM4，BPPN.【迁移】(变设问)在本例条件下，若a，b，试用a，b表示.解由典例解析知BPPN，则，b()babba.规律方法若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个
9、不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得.【训练3】如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若，其中，R，则_.解析设a，b，则ab，ab，又ab，()，即，.答案一、素养落地1.通过学习平面向量基本定理及其意义，提升数学抽象素养.通过运用平面向量基本定理解决问题，培养直观想象素养.2.对基底的理解(1)基底具备两个主要特征：基底是两个不共线向量；基底的选择是不唯一的.平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件.(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底.3.准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本
10、定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的.(2)用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.二、素养训练1.若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是()A.e1e2，e2e1 B.2e1e2，e1e2C.2e23e1，6e14e2 D.e1e2，e1e2解析选项A，B，C中的向量都是共线向量，不能作为平面向量的基底.答案D2.如图所示，矩形ABCD中，若5e1，3e2，则等于()A.(5e13e2)B.(5e3e2)C.(2e25e1)D.(5e23e1)
11、解析()()(5e13e2).答案A3.设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC，若12(1，2为实数)，则12的值为_.解析()，又与不共线，1，2，12.答案4.在ABC中，点D，E，F依次是边AB的四等分点，试以e1，e2为基底表示.解e1e2，因为D，E，F依次是边AB的四等分点，所以(e1e2)，所以e2(e1e2)e1e2.基础达标一、选择题1.设e1，e2是同一个平面内的两个向量，则有()A.e1，e2平行B.e1，e2的模相等C.同一个平面内的任一向量a，有ae1e2(，R)D.若e1，e2不共线，则对于同一个平面内的任一向量a，有ae1e2(，R)解析由平
12、面向量基本定理知，选D.答案D2.设D为ABC所在平面内一点，若(R)，则()A.2 B.3 C.2 D.3解析由，可得34，即44，则4，即4，可得3，故3，则3.答案D3.如图，在ABC中，3，若a，b，则等于()A.ab B.abC.ab D.ab解析因为3，所以3().所以43，因为，所以，所以4，所以4()，所以42，所以，所以ab.答案B4.已知a，b，C为线段AB上距A较近的一个三等分点，D为线段CB上距C较近的一个三等分点，则用a，b表示为()A.(4a5b) B.(9a7b)C.(2ab) D.(3ab)解析，.而ba，所以ba，所以aab.答案A5.ABC中，DEBC，且与
13、边AC相交于点E，ABC的中线AM与DE相交于点N，设a，b，用a，b表示等于()A.(ab) B.(ba)C.(ab) D.(ba)解析由题意得()()(ba)，故选D.答案D二、填空题6.设向量m2a3b，n4a2b，p3a2b，若用m，n表示p，则p_.解析设pxmyn，则3a2bx(2a3b)y(4a2b)(2x4y)a(3x2y)b，得所以pmn.答案mn7.如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设a，b，若2，则_(用a和b表示).解析设，则().因为D，O，B三点共线，所以1，所以，所以ab.答案ab8.已知e1，e2不共线，ae12e2，b2e1e2，要使a，b能作为
14、平面内的一组基底，则实数的取值范围为_.解析若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线，ae12e2，b2e1e2，由akb，即得4.答案(，4)(4，)三、解答题9.如图，在OAB中，延长BA到C，使ACBA，在OB上取点D，使DBOB，设a，b，用a，b表示向量，.解2ab.2abb2ab.10.如图所示，设M，N，P是ABC三边上的点，且，若a，b，试用a，b将，表示出来.解ab，b(ab)ab，()(ab).能力提升11.如图，AB是O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，a，b，则()A.ab B.abC.ab D.ab解析连接CD，OD，图略，点C，D是半圆弧的两个三等分点，CDA
15、B，CADDAB30，OAOD，ADODAO30，CADADO30，ACDO，四边形ACDO为平行四边形，.a，b，ab.故选D.答案D12.设e1，e2是不共线的非零向量，且ae12e2，be13e2.(1)证明：a，b可以作为一组基底；(2)以a，b为基底，求向量c3e1e2的分解式；(3)若4e13e2ab，求，的值.(1)证明若a，b共线，则存在R，使ab，则e12e2(e13e2).由e1，e2不共线得，所以不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底.(2)解设cmanb(m，nR)，得3e1e2m(e12e2)n(e13e2)(mn)e1(2m3n)e2.由于e1与e2是不共线的非零向量，所以所以c2ab.(3)解由4e13e2ab，得4e13e2(e12e2)(e13e2)()e1(23)e2.又e1与e2是不共线的非零向量，所以故所求，的值分别为3和1.创新猜想13.(多选题)如图所示，设O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是()A.与 B.与C.与 D.与解析B中与共线，D中与共线，AC中两向量不共线，故选AC.答案AC14.(多填题)已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x3y)e1(3x4y)e26e13e2，则x_，y_.解析向量e1，e2不共线，解得答案1512
