1、（易错题精选）初中数学锐角三角函数的专项训练解析附答案一、选择题1如图，ABC的顶点是正方形网格的格点，则（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】构造全等三角形，证明ABD是等腰直角三角形，进行作答.【详解】过A作AEBE，连接BD，过D作DFBF于F.AE=BF，AEB=DFB，BE=DF，AEBBFD，AB=DB.ABD=90，ABD是等腰直角三角形，cosDAB=.答案选B.【点睛】本题考查了不规则图形求余弦函数的方法，熟练掌握不规则图形求余弦函数的方法是本题解题关键.2图1是一个地铁站入口的双翼闸机如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘ACBD54
2、cm，且与闸机侧立面夹角PCABDQ30当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为()A(54+10) cmB(54+10) cmC64 cmD54cm【答案】C【解析】【分析】过A作AECP于E，过B作BFDQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度【详解】如图所示，过A作AECP于E，过B作BFDQ于F，则RtACE中，AE=AC=54=27（cm），同理可得，BF=27cm，又点A与B之间的距离为10cm，通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27=64（cm），故选C【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数
3、值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多3如图，在ABC中，ACBC，ABC30，点D是CB延长线上的一点，且BDBA，则tanDAC的值为（ ）A2B2C3D3【答案】A【解析】【分析】【详解】设AC=x，在RtABC中，ABC=30，即可得AB=2x，BC=x，所以BD=BA=2x，即可得CD=x+2x=（+2）x，在RtACD中，tanDAC=，故选A.4如图，四边形内接于，为直径，过点作于点，连接交于点.若，则的长为()A10B12C16D20【答案】D【解析】【分析】连接，如图，先利用圆周角定理证明得到，再根据正弦的定义计算出，则，接着证
4、明，利用相似比得到，所以【详解】解：连接，如图，为直径，而，而，在中，即，故选：D【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径也考查了解直角三角形5如图，已知圆的内接六边形的边心距，则该圆的内接正三角形的面积为（）A2B4CD【答案】D【解析】【分析】连接，过作于，证出是等边三角形，根据锐角三角函数的定义求解即可【详解】解：如图所示，连接，过作于，多边形是正六边形，是等边三角形，该圆的内接正三角形的面积，故选：D【点睛】本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三
5、角函数；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出是解决问题的关键6如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30方向上的B处，则此时轮船所在位置B与灯塔P之间的距离为( )A60海里B45海里C20海里D30海里【答案】D【解析】【分析】根据题意得出：B=30，AP=30海里，APB=90，再利用勾股定理得出BP的长，求出答案【详解】解：由题意可得：B=30，AP=30海里，APB=90，故AB=2AP=60（海里），则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为：BP=（海里）故选：D【点睛】此题主要考查了勾股定理
6、的应用以及方向角，正确应用勾股定理是解题关键7将直尺、有60角的直角三角板和光盘如图摆放，A为60角与直尺的交点，B为光盘与直尺的交点，AB=4，则光盘表示的圆的直径是()A4B8C6D【答案】B【解析】【分析】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，根据切线长定理可得AB=AC=3，OAB=60，然后根据三角函数，即可得出答案.【详解】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理知，AB=AC=3，AO平分BAC，OAB=60，在RtABO中，OB=ABtanOAB=4，光盘的直径为8故选：B【点睛】本题主要考查了切线的性质，解题的关键是熟练应用切线长定理和锐角三角函数.8如图，中，
7、为中点，且，分别平分和，交于点，则的最小值为（ ）A1BCD【答案】D【解析】【分析】根据三角形角平分线的交点是三角形的内心，得到最小时，为三角形内切圆的半径，结合切线长定理得到三角形为等腰直角三角形，从而得到答案【详解】解： ，分别平分和，交于点，为的内心，最小时，为的内切圆的半径， 过作 垂足分别为 四边形为正方形，为的中点， 由切线长定理得： 四边形为正方形， 故选D【点睛】本题考查的动态问题中的线段的最小值，三角形的内心的性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的计算，掌握相关知识点是解题关键9如图，某地修建高速公路，要从地向地修一条隧道（点，在同一水平面上）为了测量，两地之间的距离，
8、一架直升飞机从地起飞，垂直上升1000米到达处，在处观察地的俯角为，则两地之间的距离约为（ ）A米B米C米D米【答案】C【解析】【分析】在RtABC中，CAB=90，B=，AC=1000米，根据，即可解决问题【详解】解：在中，米，米故选：C【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型10如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第一象限，点在轴的正半轴上，将绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】过点作x轴的垂线，垂足为M，通过条件求出，MO的长即可得到的坐标.【详解】解：过点作x轴的垂线，垂足为M，在直角中， ，O
9、M=2+1=3，的坐标为.故选：D.【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题11如图，平面直角坐标系中，A（8，0），B（0，6），BAO，ABO的平分线相交于点C，过点C作CDx轴交AB于点D，则点D的坐标为（）A（ ，2）B（ ，1）C（ ，2）D（，1）【答案】A【解析】【分析】延长DC交y轴于F，过C作CGOA于G，CEAB于E，根据角平分线的性质得到FCCGCE，求得DHCGCF，设DH3x，AH4x，根据勾股定理得到AD5x，根据平行线的性质得到DCACAG，求得DCADAC，得到CDHGAD5x，列方程即可得
10、到结论【详解】解：延长DC交y轴于F，过C作CGOA于G，CEAB于E，CDx轴，DFOB，BAO，ABO的平分线相交于点C，FCCGCE，DHCGCF，A（8，0），B（0，6），OA8，OB6，tanOAB，设DH3x，AH4x，AD5x，CDOA，DCACAG，DACGAC，DCADAC，CDHGAD5x，3x+5x+4x8，x，DH2，OH，D（，2），故选：A【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，进行的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线构造矩形和直角三角形是解题的关键12如图 ，矩形 ABCD 中，ABAD，AB=a，AN 平分DAB，DMAN 于点 M，CNAN于点 N
11、.则 DM+CN 的值为（用含 a 的代数式表示）( )AaB aCD【答案】C【解析】【分析】根据“AN平分DAB，DMAN于点M，CNAN于点N”得MDC=NCD=45，cos45= ，所以DM+CN=CDcos45；再根据矩形ABCD，AB=CD=a，DM+CN的值即可求出【详解】AN平分DAB，DMAN于点M，CNAN于点N，ADM=MDC=NCD=45，=CD，在矩形ABCD中，AB=CD=a，DM+CN=acos45=a.故选C.【点睛】此题考查矩形的性质，解直角三角形，解题关键在于得到cos45=13如图，基灯塔AB建在陡峭的山坡上，该山坡的坡度i1：0.75小明为了测得灯塔的高
12、度，他首先测得BC20m，然后在C处水平向前走了34m到达一建筑物底部E处，他在该建筑物顶端F处测得灯塔顶端A的仰角为43若该建筑物EF20m，则灯塔AB的高度约为（精确到0.1m，参考数据：sin430.68，cos430.73，tan430.93）（ ）A46.7mB46.8mC53.5mD67.8m【答案】B【解析】【分析】根据山坡的坡度i1：0.75，可得，设BD4x，CD3x，然后利用勾股定理求得BD4x16m，CD3x12m；再利用矩形的性质求出FGDE46m，BGDGDB4m，最后利用三角函数解直角三角形即可【详解】解：如图，ADC90，i1：0.75，即，设BD4x，CD3x，
13、则BC5x20m，解得：x4，BD4x16m，CD3x12m，易得四边形DEFG是矩形，则EFDG20m，FGDEDC+CE12+3446（m），BGDGDB4m，在RtAFG中，AGFGtanAFG46tan43460.9342.78（m），ABAG+BG42.78+446.8（m），故选：B【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角和俯角问题、坡度坡比问题，灵活运用三角函数是解答本题的关键.14如图，等边边长为，点是的内心，绕点旋转，分别交线段、于、两点，连接，给出下列四个结论：形状不变；的面积最小不会小于四边形的面积的四分之一；四边形的面积始终不变；周长的最小值为上述结论中正确的个数是（
14、）A4B3C2D1【答案】A【解析】【分析】连接OB、OC，利用SAS证出ODBOEC，从而得出ODE是顶角为120的等腰三角形，即可判断；过点O作OHDE，则DH=EH，利用锐角三角函数可得OH=OE和DE=OE，然后三角形的面积公式可得SODE=OE2，从而得出OE最小时，SODE最小，根据垂线段最短即可求出SODE的最小值，然后证出S四边形ODBE=SOBC=即可判断和；求出的周长=aDE，求出DE的最小值即可判断【详解】解：连接OB、OC是等边三角形，点是的内心，ABC=ACB=60，BO=CO，BO、CO平分ABC和ACBOBA=OBC=ABC=30，OCA=OCB=ACB=30OB
15、A=OCB，BOC=180OBCOCB=120BOCFOGBOE=BOCBOEBOD=COE在ODB和OEC中ODBOECOD=OEODE是顶角为120的等腰三角形，形状不变，故正确；过点O作OHDE，则DH=EHODE是顶角为120的等腰三角形ODE=OED=（180120）=30OH=OEsinOED=OE，EH= OEcosOED=OEDE=2EH=OESODE=DEOH=OE2OE最小时，SODE最小，过点O作OEBC于E，根据垂线段最短，OE即为OE的最小值BE=BC=在RtOBE中OE=BEtanOBE=SODE的最小值为OE2=ODBOECS四边形ODBE=SODBSOBE= S
16、OECSOBE=SOBC=BCOE=SODES四边形ODBE即的面积最小不会小于四边形的面积的四分之一，故正确；S四边形ODBE=四边形的面积始终不变，故正确；ODBOECDB=EC的周长=DBBEDE= ECBEDE=BCDE=aDEDE最小时的周长最小DE=OEOE最小时，DE最小而OE的最小值为OE=DE的最小值为=的周长的最小值为a=，故正确；综上：4个结论都正确，故选A【点睛】此题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面积公式和垂线段最短的应用，掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面积公式和垂线段最短是解决此题的关键1
17、5如图，在中，则的长为（）ABCD【答案】D【解析】【分析】先利用相似三角形的相似比证明点D是AB的中点，再解直角三角形求得AB，最后利用直角三角形斜边中线性质求出DF【详解】解：，点D是AB的中点，B30，DF=3，故选：D【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质、解直角三角形和直角三角形斜边中线性质，熟练掌握性质的运用是解题关键16如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物P的俯角为，水平飞行m千米后到达点B处，又测得标志物P的俯角为，那么此时飞机离地面的高度为()A千米B千米C千米D千米【答案】A【解析】【分析】根据锐角三角函数的概念进行作答.【详解】在P点做一条直线垂直于直线AB
18、且交于点O，由锐角三角函数知，AO=PO，BO=PO，又AB=m=AO-BO= PO- PO= . 所以答案选A.【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数是本题解题关键.17如图，AB是O的直径，弦CDAB于E点，若AD=CD= 则的长为()ABCD【答案】B【解析】【分析】根据垂径定理得到， ，A=30，再利用三角函数求出OD=2，即可利用弧长公式计算解答.【详解】如图：连接OD，AB是O的直径，弦CDAB于E点，AD=CD= ， ，A=30，DOE=60，OD=，的长=的长=，故选：B.【点睛】此题考查垂径定理，三角函数，弧长公式，圆周角定理，是一道圆的综合题.18如图1
19、，在ABC中，B90，C30，动点P从点B开始沿边BA、AC向点C以恒定的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以恒定的速度移动，两点同时到达点C，设BPQ的面积为y（cm2）运动时间为x（s），y与x之间关系如图2所示，当点P恰好为AC的中点时，PQ的长为（）A2B4C2D4【答案】C【解析】【分析】点P、Q的速度比为3：，根据x2，y6，确定P、Q运动的速度，即可求解【详解】解：设ABa，C30，则AC2a，BCa，设P、Q同时到达的时间为T，则点P的速度为，点Q的速度为，故点P、Q的速度比为3：，故设点P、Q的速度分别为：3v、v，由图2知，当x2时，y6，此时点P到达点A的位置，即A
20、B23v6v，BQ2v2v，yABBQ6v2v6，解得：v1，故点P、Q的速度分别为：3，AB6v6a，则AC12，BC6，如图当点P在AC的中点时，PC6，此时点P运动的距离为AB+AP12，需要的时间为1234，则BQx4，CQBCBQ642，过点P作PHBC于点H，PC6，则PHPCsinC63，同理CH3，则HQCHCQ32，PQ2，故选：C【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解19在RtABC中，C=90，AC=3，BC=4，那么cosA的值是（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】根据勾股定理，可得AB的长，根据锐角的余弦
21、等于邻边比斜边，可得答案【详解】解：在RtABC中，C=90，AC=3，BC=4，由勾股定理，得AB=5 cosA= 故选：B【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边20如图，RtAOB中，AOB=90，AO=3BO，OB在x轴上，将RtAOB绕点O顺时针旋转至RtAOB，其中点B落在反比例函数y=的图象上，OA交反比例函数y=的图象于点C，且OC=2CA，则k的值为（）A4BC8D7【答案】C【解析】【详解】解：设将RtAOB绕点O顺时针旋转至RtAOB的旋转角为，OB=a，则OA=3a，由题意可得，点B的坐标为（acos，asin），点C的坐标为（2asin，2acos），点B在反比例函数y=的图象上，asin=，得a2sincos=2，又点C在反比例函数y=的图象上，2acos=，得k=4a2sincos=8.故选C.【点睛】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合问题，解此题的关键在于先设旋转角为，利用旋转的性质和三角函数设出点B与点C的坐标，再通过反比例函数的性质求解即可.
