1、宁夏六盘山高中 2020 年高考三模试卷 数学（文科） 一、选择题（共 12 小题）. 1若集合 Ax|x|1，xR，By|yx2，xR，则 AB（ ） Ax|1x1 Bx|x0 Cx|0x1 D 2 若复数 z 满足 z （1+i） |1i|2（i 为虚数单位） ， 则复数 z 在复平面内对应的点位于 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3若将函数 f（x）sin2x 的图象向左平移 个单位长度，则平移后图象的一个对称中心可 以为（ ） A ， B ， C ， D ， 4若双曲线 1（a0）的渐近线为 y x，则其实轴长为（ ） A4 B C8 D 5已知圆 C：x2+y
2、2r2（r0），直线 l：x1，则“ ”是“C 上恰有不同的两点 到 l 的距离为 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6若求 O 的半径为 4，且球心 O 到平面 的距离为 ，则平面 截球 O 所得截面圆的面 积为（ ） A B10 C13 D52 7已知 a20.5， ， ，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Aacb Babc Ccba Dcab 8甲在微信群中发布 5 元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人依次抢完若三人均领 到整数元，且每人至少领到 1 元，则乙获得“手气最佳”（即乙领取的钱数不少于丙、 丁）的概率是（ ） A B
3、C D 9执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ） A220191 B220192 C220202 D220201 10奇函数 f（x）的定义域为 R，若 f（x+1）为偶函数，且 f（1）1，则 f（2018）+f （2019）（ ） A2 B1 C0 D1 11若 tan（+80）4sin420，则 tan（+20）的值为（ ） A B C D 12已知实数 a0，a1，函数 f（x） ， ， 在 R 上单调递增，则实数 a 的取值范围是（ ） A2a5 Ba5 C3a5 D1a2 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13已知向量 （m，1）， （1，4）， 1
4、1，则 m 的取值范围为 14已知实数 x，y 满足 ，则 zx2+y2的最大值为 15四边形 ABCD 中，AB1，BC5，CD5，DA7，且DABBCD90，则对 角线 AC 长为 16甲、乙、丙三个同学同时做标号为 A、B、C 的三个题，甲做对了两个题，乙做对了两 个题，丙做对了两个题，则下列说法正确的是 三个题都有人做对； 至少有一个题三个人都做对； 至少有两个题有两个人都做对 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.必做题：共 60 分. 17在等差数列an中，
5、已知 a3+a484a5，a836 （）求数列an的通项公式 an； （）记 Sn为数列an的前 n 项和，求 的最小值 18已知某企业的近 3 年的前 7 个月的月利润（单位：百万元）如下面的折线图所示： （1）试问这 3 年的前 7 个月中哪个月的月平均利润较高？ （2）通过计算判断这 3 年的前 7 个月的总利润的发展趋势； （3）试以第 3 年的前 4 个月的数据（如表），用线性回归的拟合模式估测第 3 年 8 月份 的利润 月份 x 1 2 3 4 利润 y （单 位：百万 元） 4 4 6 6 相关公式： ， x 19如图，三棱锥 BACD 的三条侧棱两两垂直，BCBD2，E，F，
6、G 分别是棱 CD， AD，AB 的中点 （1）证明：平面 ABE平面 ACD； （2）若四面体 BEFG 的体积为 ，且 F 在平面 ABE 内的正投影为 M，求线段 CM 的长 20设抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，准线为 l，AB 为过焦点 F 且垂直于 x 轴的 抛物线 C 的弦，已知以 AB 为直径的圆经过点（1，0） （1）求 p 的值及该圆的方程； （2）设 M 为 l 上任意一点，过点 M 作 C 的切线，切点为 N，证明：MFNF 21已知函数 f（x）exa（x1） （1）证明：当 a1 时，f（x）2 恒成立； （2）若函数 f（x）在 R 上只有一个零点，求
7、 a 的取值范围 选做题：共 10 分.请考生在第 22，23 题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计 分.选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 4cos （1）将 C1的方程化为普通方程，将 C2的方程化为直角坐标方程； （2）已知直线 l 的参数方程为 （ ，t 为参数，且 t0），l 与 C1交 于点 A，l 与 C2交于点 B，且|AB| ，求 的值 选修 4-5：不等式选讲 23设函数 f（x）|x |+|xa|，（a0） （1）若
8、f（2）a+1，求 a 的取值范围； （2）若对a（0，+），f（x）m 恒成立，求实数 m 的取值范围 参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1若集合 Ax|x|1，xR，By|yx2，xR，则 AB（ ） Ax|1x1 Bx|x0 Cx|0x1 D 【分析】考查集合的性质与交集以及绝对值不等式运算常见的解法为计算出集合 A、B 的最简单形式再运算 解：由题得：Ax|1x1，By|y0， ABx|0x1 故选：C 2 若复数 z 满足 z （1+i） |1i|2（i 为虚数单位） ， 则复数 z 在复平
9、面内对应的点位于 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】直接由已知的复数得到其在复平面内对应点的坐标得答案 解：复数 z 满足 z（1+i）|1i|22， z 1i， 复数 z 在复平面内对应的点的坐标为：（11）， 复数 z 在复平面内对应的点位于第四象限， 故选：D 3若将函数 f（x）sin2x 的图象向左平移 个单位长度，则平移后图象的一个对称中心可 以为（ ） A ， B ， C ， D ， 【分析】由函数 yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质即可得解对 称中心 解： 函数 f （x） sin2x 图象向左平移 个单位得到： g （x） s
10、in2 （x ） sin （2x ） ， 令：2x k，（kZ）， 解得：x k ，（kZ）， 当 k1 时，x ，可得平移后图象的一个对称中心可以为 ， 故选：A 4若双曲线 1（a0）的渐近线为 y x，则其实轴长为（ ） A4 B C8 D 【分析】由双曲线方程求得渐近线方程，结合已知求得 a，则实轴长可求 解：由双曲线 1（a0），得其渐近线方程为 y ， 又双曲线的渐近线为 y x，得 ，则 a4 双曲线的实轴长为 2a8 故选：C 5已知圆 C：x2+y2r2（r0），直线 l：x1，则“ ”是“C 上恰有不同的两点 到 l 的距离为 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件
11、 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】 圆 C： x2+y2r2（r0） ， 直线 l： x1， 由 C 上恰有不同的两点到 l 的距离为 ， 可得 r ，即可判断出结论 解：圆 C：x2+y2r2（r0），直线 l：x1，由 C 上恰有不同的两点到 l 的距离为 ， 则 r 则“ ”是“C 上恰有不同的两点到 l 的距离为 ”的充分不必要条件 故选：A 6若求 O 的半径为 4，且球心 O 到平面 的距离为 ，则平面 截球 O 所得截面圆的面 积为（ ） A B10 C13 D52 【分析】根据球的半径 R、球心距，求出截面圆半径，可得截面面积 解：作出对应的截面图球的半径 R4
12、，由球心距 d 故截面圆半径 r 1 故截面圆面积 Sr213 故选：C 7已知 a20.5， ， ，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Aacb Babc Ccba Dcab 【分析】由题意，可依次判断出三个代数的取值范围，由中间量法比较三数的大小，选 出正确选项 解：由于 ， ，可得 又 a20.51 abc 故选：B 8甲在微信群中发布 5 元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人依次抢完若三人均领 到整数元，且每人至少领到 1 元，则乙获得“手气最佳”（即乙领取的钱数不少于丙、 丁）的概率是（ ） A B C D 【分析】利用隔板法得到共计有 n 6 种领法，乙获得“最佳手气”的情况总数
13、 m 3，由此能求出乙获得“最佳手气”的概率 解：如下图，利用隔板法， 得到共计有 n 6 种领法， 乙领 2 元获得“最佳手气”的情况有 2 种， 乙领 3 元获得“最佳手气”的情况有 1 种， 乙获得“最佳手气”的情况总数 m3， 乙获得“最佳手气”的概率 p 故选：A 9执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ） A220191 B220192 C220202 D220201 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 2+22+23+22019的值，利用等比数列的求和公式即可计算得解 解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S
14、2+22+23+ +22019的值， 由于 S2+22+23+22019 2 20202 故选：C 10奇函数 f（x）的定义域为 R，若 f（x+1）为偶函数，且 f（1）1，则 f（2018）+f （2019）（ ） A2 B1 C0 D1 【分析】根据函数奇偶性的定义得到 f（x）是周期为 4 的周期函数，利用函数的周期性 和奇偶性进行转化求解即可 解：奇函数 f（x）的定义域为 R，若 f（x+1）为偶函数， 则 f（x+1）f（x+1）f（x1）， 即 f（x+2）f（x），则 f（x+4）f（x+2）f（x）， 即 f（x）是周期为 4 的周期函数， f（2018）f（5044+2
15、）f（2）f（0）0， f（2019）f（50451）f（1）1， 则 f（2018）+f（2019）011， 故选：B 11若 tan（+80）4sin420，则 tan（+20）的值为（ ） A B C D 【分析】 由 tan （+80） 4sin4204sin602 ， 利用构造的思想， tan （+20） tan（+80）60利用正切的和与差的公式打开可得答案 解：由 tan（+80）4sin4204sin602 ， 那么： tan （+20） tan （+80） 60 故选：D 12已知实数 a0，a1，函数 f（x） ， ， 在 R 上单调递增，则实数 a 的取值范围是（ ） A
16、2a5 Ba5 C3a5 D1a2 【分析】因为函数 f（x）在 R 上单调递增，所以当 x1 时，有 a1；当 x1 时，f（x） 0 恒成立令 g（x）2x 3+ax4，接下来需要求当 x1， +）时，函数 g（x）0 的 a 的取值范围，于是求导得 g（x）6x2+a，因为 a0，所 以 g（x）0，即 g（x）在1，+）上单调递增，所以 g（x）g（1）2+a4a2 0 除此以外， 还需要满足在 x1 处， 有 综上即可得 a 的取值范围 解：函数 f（x）在 R 上单调递增， 当 x1 时，有 a1； 当 x1 时，f（x） 0 恒成立， 令 g（x）2x3+ax4，x1，+），则
17、g（x）6x2+a， a0，g（x）0，即 g（x）在1，+）上单调递增，g（x）g（1）2+a4 a2， 要使当 x1 时，f（x）0 恒成立，则 a20，解得 a2 函数 f（x）在 R 上单调递增，还需要满足 ，即 a5， 综上，a 的取值范围是 2a5 故选：A 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13已知向量 （m，1）， （1，4）， 11，则 m 的取值范围为 （7，+ ） 【分析】根据平面向量的坐标运算与数量积运算，列出不等式求出 m 的取值范围 解：向量 （m，1）， （1，4）， （m，1）（1，4）m+411， 解得 m7； m 的取值范围是（7
18、，+） 故答案为：（7，+） 14已知实数 x，y 满足 ，则 zx2+y2的最大值为 13 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用 zx2+y2的几何意义表示点（0，0）到可 行域的点的距离的平方，求最值，即可 解：根据实数 x，y 满足 ，画出可行域如图： zx2+y2表示 O（0，0）到可行域的距离的平方，由 解得 A（2，3）， 当点 A 与点原点连线时，OA 距离最大， 则 zx2+y2的最大值是 A（2，3）到（0，0） 的距离的平方为： 13， 故答案为：13 15四边形 ABCD 中，AB1，BC5，CD5，DA7，且DABBCD90，则对 角线 AC 长为 4 【分析】设所
19、求向量的模为 x，角 B，由DABBCD90，根据四边形的内角 和表示出角 D， 在三角形 ABC 中， 利用余弦定理表示出 cos， 同理在三角形 ACD 中，利用余弦定理表示出 cos（），根据诱导公式得到 coscos（），列出 关于 x 的方程，求出方程的解即可得到 x 的值，进而所求向量的模 解：设 ， ， 由DABBCD90，则D180， ABC 中， ， ， ， 则 ； ACD 中， ， ， ， 则 ； cos（180）cos， 4 故答案为：4 16甲、乙、丙三个同学同时做标号为 A、B、C 的三个题，甲做对了两个题，乙做对了两 个题，丙做对了两个题，则下列说法正确的是 三个题
20、都有人做对； 至少有一个题三个人都做对； 至少有两个题有两个人都做对 【分析】运用题目所给条件，进行合情推理，即可得出结论 解：若甲做对 A，B，乙做对 A，B，丙做对 A，B，则 C 无人做对，所以错误； 若甲做对 A，B，乙做对 A，C，丙做对 B，C，则没有一个题被三个人都做对，所以错 误； 做对的情况可分为三种情况： 三个人做对的都相同；三个人中有两个人做对的相同；三个人每个人做对的都不完全相 同， 分类可知三种情况都满足的说法 故答案为： 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，
21、考生根据要求作答.必做题：共 60 分. 17在等差数列an中，已知 a3+a484a5，a836 （）求数列an的通项公式 an； （）记 Sn为数列an的前 n 项和，求 的最小值 【分析】（）直接利用递推关系式求出数列的通项公式 （）利用（）的结论，进一步利用函数的单调性求出最小值 解：（）由已知 a3+a484a5，a836 所以：a428， 由 ， 得 ， 即数列数列an的通项公式 an22+2（n1）2n+20 （）由（1）得， ， 所以： ， 令 ， 则 f（n）在（0，2 ）上单调递减，在（2 ，+）上单调递增， 所以当 n4 或 5 时，f（n）取到最小值 30，即 的最小值
22、为 30 18已知某企业的近 3 年的前 7 个月的月利润（单位：百万元）如下面的折线图所示： （1）试问这 3 年的前 7 个月中哪个月的月平均利润较高？ （2）通过计算判断这 3 年的前 7 个月的总利润的发展趋势； （3）试以第 3 年的前 4 个月的数据（如表），用线性回归的拟合模式估测第 3 年 8 月份 的利润 月份 x 1 2 3 4 利润 y （单 位：百万 元） 4 4 6 6 相关公式： ， x 【分析】（1）结合图象读出结论即可；（2）根据图象累加判断结论即可；（3）分别求 出对应的系数 ， 的值，代入回归方程即可 解：（1）由折线图可知 5 月和 6 月的平均利润最高
23、（2）第 1 年前 7 个月的总利润为 1+2+3+5+6+7+428（百万元）， 第 2 年前 7 个月的总利润为 2+5+5+4+5+5+531（百万元）， 第 3 年前 7 个月的总利润为 4+4+6+6+7+6+841 百万元）， 所以这 3 年的前 7 个月的总利润呈上升趋势 （3） ， ， ，14+24+36+4654， ， ， ， 当 x8 时， （百万元）， 估计 8 月份的利润为 940 万元 19如图，三棱锥 BACD 的三条侧棱两两垂直，BCBD2，E，F，G 分别是棱 CD， AD，AB 的中点 （1）证明：平面 ABE平面 ACD； （2）若四面体 BEFG 的体积为
24、 ，且 F 在平面 ABE 内的正投影为 M，求线段 CM 的长 【分析】 （1） 根据 CDBE， CDAB 可得 CD平面 ABE， 故而平面 ABE平面 ACD； （2）M 为 AE 的中点，根据四面体 BEFG 的体积计算 BG，利用勾股定理计算 CM 【解答】（1）证明：BCBD，E 是 CD 的中点， BECD， 三棱锥 BACD 的三条侧棱两两垂直，BCBDB， AB平面 BCD，又 CD平面 BCD， ABCD，又 ABBEB， CD平面 ABE， 又 CD平面 ACD， 平面 ABE平面 ACD （2）解：由（1）知 CD平面 ABE，又 FM平面 ABE， FMCD，又 F
25、 是 AD 的中点， M 是 AE 的中点， BE ，MF DE ， VFBEG ， BG3， AB2BG6，AE ， ME AE ， CM 20设抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，准线为 l，AB 为过焦点 F 且垂直于 x 轴的 抛物线 C 的弦，已知以 AB 为直径的圆经过点（1，0） （1）求 p 的值及该圆的方程； （2）设 M 为 l 上任意一点，过点 M 作 C 的切线，切点为 N，证明：MFNF 【分析】（1）易知 A（ ，p），所以 p ，即可解得 p 的值，得到圆心坐标 为（1，0），半径为 2，从而求出改圆的方程； （2）设 M（1，y0），MN 的方程为 yk
26、（x+1）+y0，与抛物线方程联立，由0 可 得令0 可得 ，所以 ，与抛物线方程联立可求出 N 点的坐标，从而得 到 0，故 MFNF 解：（1）易知 A 点的坐标为（ ，p）， 所以 p ，解得 p2， 又圆的圆心为 F（1，0）， 所以圆的方程为（x1）2+y4； （2）证明：易知直线 MN 的斜率存在且不为 0， 设 M（1，y0），MN 的方程为 yk（x+1）+y0，代入 C 的方程得 ky24y+4（y0+k） 0， 令1616k（y0+k）0得 ， 所以 ky24y+4（y0+k） 0，解得 ， 将 代入 C 的方程，得 x ，即 N 点的坐标为（ ， ）， 所以 （2，y0）
27、， （ ， ）， 所以 2 y 0 2 （ ） 0 故 MFNF 21已知函数 f（x）exa（x1） （1）证明：当 a1 时，f（x）2 恒成立； （2）若函数 f（x）在一、选择题上只有一个零点，求 a 的取值范围 【分析】（1）求得 a1 时 f（x）的导数，可得 f（x）在 x0 处取得最小值 f（0）2 即可； （2）由题意可得 f（x）0 有且只有一个正实数根，当 a0 时，f（x）ex0 恒成 立，无零点，当 a0 时，f（x）exa，可得 f（x）在 xlna 处取得最小值，只需 f （lna）aa（lna1）a（2lna）0 即可 【解答】（1）证明：f（x）ex1 令 f
28、（x）ex10可得 x0， 当 x0 时，f（x）0，f（x）单调递减 当 x0 时，f（x）0，f（x）单调递增 f（x）在 x0 处取得最小值 f（0）2 f（x）f（0）2 （2）解：当 a0 时，f（x）ex0 恒成立，无零点，与题意不符 当 a0 时，f（x）exa0，f（x）在 R 上单调递增 x 时 f（ ）e a（ 1）e 1+a11+a0 x1 时 f（1）e0 根据零点存在性定理，f（x）在 R 上有唯一零点 当 a0 时，f（x）exa， 令 f（x）0，xlna x（，lna），f（x）0，f（x）单减， x（lna，+）f（x）0，f（x）单增， f（x）在 xlna
29、 处取得最小值， f（lna）aa（lna1）a（2lna）0， lna2，ae2， 当 a0 或 ae2时，f（x）在 R 上有唯一的零点 选做题：共 10 分.请考生在第 22，23 题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计 分.选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 4cos （1）将 C1的方程化为普通方程，将 C2的方程化为直角坐标方程； （2）已知直线 l 的参数方程为 （ ，t 为参数，且 t0），l 与 C1交 于点 A，l 与 C
30、2交于点 B，且|AB| ，求 的值 【分析】（1）利用参数方程与极坐标方程化简为普通方程即可 （2） 曲线 l 的参数方程为 （ ， t 为参数， 且 t0） ， 化为 yxtan 由 题意可得：|OA|12cos，|OB|24cos，利用|AB| ，即可得出 解： （1）曲线 C1的参数方程为 （ 为参数），可得普通方程为： （x1） 2+y21， 以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C2的极坐标方程为 4cos， 可得：x2+y24x （2）曲线 l 的参数方程为 （ ，t 为参数，且 t0），化为 yxtan 由题意可得：|OA|12cos，|OB|24cos
31、， |AB| ， |OA|OB|2cos ，即 cos 又 ， 选修 4-5：不等式选讲 23设函数 f（x）|x |+|xa|，（a0） （1）若 f（2）a+1，求 a 的取值范围； （2）若对a（0，+），f（x）m 恒成立，求实数 m 的取值范围 【分析】（1）原不等式等价于等价于 或 ，解 得即可 （2） 由条件利用绝对值三角不等式求得 f （x） |a|+| |， 再利用基本不等式证得 a 2， 从而证得结论 解：（1）f（2）|2 |+|2a|a+1， 2 |2a|a+1， 等价于 或 ， 解得 a2 或 a2， 故 a 的取值范围为（ ，+） （2）a0，f（x）|x |+|xa|（x ）（xa）| a| a a0 时，a 2 2，当且仅当 a1 时取等号， a（0，+），f（x）m 恒成立， m2
