1、静电场中的导体和介质习题课静电场中的导体和介质习题课【基本概念和规律基本概念和规律】：一、导体静电平衡条件一、导体静电平衡条件 导体内部场强为零。导体是等势体，导体表面是等势面。导体内部场强为零。导体是等势体，导体表面是等势面。导体表面附近场强垂直于表面。导体表面附近场强垂直于表面。二、导体静电平衡时导体上电荷的分布二、导体静电平衡时导体上电荷的分布 导体上的电荷分布在外表面。导体表面附近场强为导体上的电荷分布在外表面。导体表面附近场强为/0。导体表面曲率半径大，表面上电荷面密度小。导体表面曲率导体表面曲率半径大，表面上电荷面密度小。导体表面曲率半径小，表面上电荷面密度大。半径小，表面上电荷面
2、密度大。三、电容和电容器三、电容和电容器UQC UQC静电场中的导体和介质习题课静电场中的导体和介质习题课孤立导体球的电容孤立导体球的电容RC04真空中平行板电容器的电容真空中平行板电容器的电容dSC0真空中球形电容器的电容真空中球形电容器的电容ABBARRRRC04电容器的串联电容器的串联NCCCC111121电容器的并联电容器的并联NCCCC21静电场中的导体和介质习题课静电场中的导体和介质习题课四、电介质四、电介质E EE EE E00E EE E均匀介质中的场强均匀介质中的场强rEE0加均匀介质的电容器的电容加均匀介质的电容器的电容0CCr电位移矢量电位移矢量EEDr0有介质的高斯定理
3、有介质的高斯定理qSDd静电场中的导体和介质习题课静电场中的导体和介质习题课五、电场的能量五、电场的能量22212121CUQUCQWVwWEDDEEwrd21212120电容器电场的能量电容器电场的能量电场的能量密度电场的能量密度电场的能量电场的能量静电场中的导体和介质习题课静电场中的导体和介质习题课【解题指导解题指导】：一、静电场中的导体问题一、静电场中的导体问题基本依据：导体静电平衡条件；电荷守恒；高斯定理。基本依据：导体静电平衡条件；电荷守恒；高斯定理。1、均匀带电导体球（壳）内外一点的场强和电势、均匀带电导体球（壳）内外一点的场强和电势导体球内（不论空心还是实心）导体球内（不论空心还
4、是实心）:电场电场E为零。为零。电势电势U不为零，导体是等势体，球内一点电势等于球表面的电不为零，导体是等势体，球内一点电势等于球表面的电势。势。导体球外：导体球外：rqUrqE0204 ,4RqU04静电场中的导体和介质习题课静电场中的导体和介质习题课例例:习题习题10.4 求：求：(1)球内各点电势球内各点电势(2)若把金属球壳接地，球上的感应电荷若把金属球壳接地，球上的感应电荷q。lqqRlqUUUiqo0004d414 )1(qRlqUUUiqod414 )2(00解：解：aqlRqRqlq 04400静电场中的导体和介质习题课静电场中的导体和介质习题课例：习题例：习题10.6,（1）
5、求求两球的电势两球的电势U1和和 U2；（；（2）若用导线连接球和球壳，）若用导线连接球和球壳，求求电势；（电势；（3）若（）若（1）的情形下将内球接）的情形下将内球接地，求地，求U1和和 U2。解：解：（1）由静电感应，球壳内表面带电由静电感应，球壳内表面带电-q，外表面电荷为外表面电荷为Qq。由叠加原理，。由叠加原理，1014RqUrqU024内球：取球心内球：取球心外球：取球壳中一点外球：取球壳中一点2、同心导体球套球壳场中一点的电势用叠加法。、同心导体球套球壳场中一点的电势用叠加法。204Rq304RqQrq04304RqQ304RqQ静电场中的导体和介质习题课静电场中的导体和介质习题
6、课用电势定义计算用电势定义计算内球：取内球外表面一点内球：取内球外表面一点321ddd1RRRrErErEU外内外球：取球壳外表面一点外球：取球壳外表面一点30024d4dd33RQqrrQqrErEURR外3021020204)11(4d4d4321RQqRRqrrQqrrqRRR静电场中的导体和介质习题课静电场中的导体和介质习题课（2）连接后电荷）连接后电荷Qq全部分布在外表面。全部分布在外表面。30214RqQUU（3）内球接地，）内球接地，U10。内球带电。内球带电q，外球壳内表面，外球壳内表面 q，外表面外表面Q q，1212210122024)(d4dRRRRRRRRqrrqrEU
7、04443020101RqQRqRqU)(1232121RRRRRQRRq静电场中的导体和介质习题课静电场中的导体和介质习题课练习：两同心导体球壳的内球壳半径为练习：两同心导体球壳的内球壳半径为a，外球壳半径为，外球壳半径为b。设球壳极薄，若使内球壳带电设球壳极薄，若使内球壳带电Q，求，求（1）外球壳内表面和外外球壳内表面和外表面上的电荷如何分布？（表面上的电荷如何分布？（2）要使内球壳电势为零，则外球）要使内球壳电势为零，则外球壳必须带多少电量？壳必须带多少电量？练习：一无限大的导体平板置于电场强度为练习：一无限大的导体平板置于电场强度为E0 的均匀电场中。的均匀电场中。求平板上感应电荷的面
8、密度。求平板上感应电荷的面密度。E0AB静电场中的导体和介质习题课静电场中的导体和介质习题课二、静电场中的介质问题二、静电场中的介质问题求电介质中的场强，一般用有介质时的高斯定理先求求电介质中的场强，一般用有介质时的高斯定理先求D，再求，再求E。三、电容和电容器三、电容和电容器电容器充满介质后，其电容为真空时的电容器充满介质后，其电容为真空时的r倍。倍。四、电场能量四、电场能量先考虑能否将问题看成电容器的能量问题，用电容器能量公先考虑能否将问题看成电容器的能量问题，用电容器能量公式求解。若不行，再考虑用电场能量密度积分计算能量。式求解。若不行，再考虑用电场能量密度积分计算能量。静电场中的导体和
9、介质习题课静电场中的导体和介质习题课例：计算机键盘的键结构如图。按键连有一可移动的金属片。例：计算机键盘的键结构如图。按键连有一可移动的金属片。下面是一固定的金属片，中间是软的绝缘介质（下面是一固定的金属片，中间是软的绝缘介质（r2）。两块）。两块金属片就构成一个平板电容器。当键按下时，电容器的电容发金属片就构成一个平板电容器。当键按下时，电容器的电容发生变化，与之相连的电路就能检测出哪一个键被按下，从而给生变化，与之相连的电路就能检测出哪一个键被按下，从而给出相应的信号。设金属片面积为出相应的信号。设金属片面积为50mm2，两金属片间距，两金属片间距0.6mm。如果电路能检测出的电容的变化是
10、如果电路能检测出的电容的变化是0.25pF，那么需要将键按下，那么需要将键按下多大的距离才能给出必要的信号？多大的距离才能给出必要的信号？解：按键前电容解：按键前电容dSCr01按键后电容按键后电容ddSCr02dSddSCrr00静电场中的导体和介质习题课静电场中的导体和介质习题课CdSddr01静电场中的导体和介质习题课静电场中的导体和介质习题课【例题例题】两个半径分别为两个半径分别为 R 和和 r 的球形导体（的球形导体（R r），用），用一根很长的细导线连接起来，使这个导体组带电，电势为一根很长的细导线连接起来，使这个导体组带电，电势为U，求两球表面电荷与曲率的关系？，求两球表面电荷与
11、曲率的关系？rQqRrQqR解解：由于两球由导线连接，两球电势相等：rqRQU004141得：rRqQ可见，大球所带电量Q比小球q多。两球的面电荷密度分别为：静电场中的导体和介质习题课静电场中的导体和介质习题课24 RQR24 rqr所以：RrqRQrrR22结论：两球电荷面密度与曲率半径成反比，即结论：两球电荷面密度与曲率半径成反比，即与曲率成正比。与曲率成正比。静电场中的导体和介质习题课静电场中的导体和介质习题课【例题例题】一个半径为一个半径为R R的电介质球被均匀极化后，已知的电介质球被均匀极化后，已知电极化强度为电极化强度为P P，求：电介质球表面上极化面电荷的求：电介质球表面上极化面
12、电荷的分布；极化面电荷在电介质球心处所激发的场强？分布；极化面电荷在电介质球心处所激发的场强？enAoPxcosP,2,20,2,0或解解：由于在右半球，为正，在左半球，为负，在两球分界面上，在轴线两端绝对值最大。静电场中的导体和介质习题课静电场中的导体和介质习题课d在球面上之间的环带上的极化电荷为；dEd OPx此电荷在球心处所激发的场强：dcossin2cos4dd2020PRqE方向沿X轴的负方向。整个球面上的极化电荷在球心处所激发的总场强为；00203dcossin2dPPEEdcossin2dsin2d22RPRq静电场中的导体和介质习题课静电场中的导体和介质习题课【例题例题】平行板
13、电容器两极板面积平行板电容器两极板面积S S，充有两层电介质，充有两层电介质，电容率分别为电容率分别为1 1、2 2，厚度分别为，厚度分别为d d1 1、d d2 2,电容器两极电容器两极板上自由电荷面密度为板上自由电荷面密度为。求：（。求：（1 1）在各层电介质内）在各层电介质内的电位移和场强，（的电位移和场强，（2 2）电容器的电容？）电容器的电容？解：解：（1 1）在两交界面处做高斯闭合面S10d211SDSDsDS所以21DD 由于222111EDED所以:121221rrEES212S1D1E2E1D2BAd2d1-静电场中的导体和介质习题课静电场中的导体和介质习题课SSDsDS12
14、d1D代入上面式子，可求得：0111rE0222rED、E 方向均向右。在介质与金属板内做一高斯闭合面S2，有高斯定理可得：S212S1D1E2E1D2BAd2d1-静电场中的导体和介质习题课静电场中的导体和介质习题课221122112211ddSqdddEdEUUBA按电容的定义式：2211ddSUUqCBA上面结果可推广到多层介质的情况。（2 2）正负两极板A、B的电势差为：静电场中的导体和介质习题课静电场中的导体和介质习题课【例题例题】平行板电容器的极板是边长为平行板电容器的极板是边长为 a a的正方形，间的正方形，间距为距为 d d，两板带电，两板带电Q Q。如图所示，把厚度为。如图所
15、示，把厚度为d d、相对介、相对介电常量为电常量为r r的电介质板插入一半。试求电介质板所受的电介质板插入一半。试求电介质板所受电场力的大小及方向。电场力的大小及方向。解：选取坐标系OX，如图所示。当介质极插入x距离时，电容器的电容为oxXdr)1()()(000 xadadxadaxaxCrr静电场中的导体和介质习题课静电场中的导体和介质习题课此时，电容器的储能为)1(22)(022xaadQCQxWr而电介质未插入时，电容器的储能为2022022adQCQW当电介质插入x时，电场力F 对电介质板所作的功等于电容器储能的增量,有202)1(2)1()(xaadQxxWFrr静电场中的导体和介
16、质习题课静电场中的导体和介质习题课插入一半时，x=a/2,则2302)1()1(2)2(rradQaFF(a/2)的方向沿图中X轴的正方向。注释：由结果可知，r1，电场力F是指向电容器内部的，这是由于在电场中电介质被极化，其表面上产生束缚电荷。在平行极电容器的边缘，由于边缘效应，电场是不均匀的，场强E 对电介质中正负电荷的作用力都有一个沿板面向右的分量，因此电介质将受到一个向右的合力，所以电介质板是被吸入的。静电场中的导体和介质习题课静电场中的导体和介质习题课例例7 7：计算半径为：计算半径为R R，电荷为，电荷为q导体球壳电场中的总导体球壳电场中的总电势能。设球壳外真空。电势能。设球壳外真空。RrrqE204RrE 0rrrqVEURVed4)4(21d2122200202021Eue电场能量密度电场能量密度解：解：Rq028Rq体积元体积元 dV=4 r2dr能量储存在导体能量储存在导体球壳外的空间中球壳外的空间中
