1、昌平区20152016学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（理科） （满分150分，考试时间 120分钟）2016.1考生须知：1 本试卷共6页，分第卷选择题和第卷非选择题两部分.2 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写.3 答题卡上第I卷(选择题)必须用2B铅笔作答，第II卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B铅笔.请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分.4 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液.保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损.不得在答题卡上做任何标记.5
2、 考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存.第卷（选择题 共40分）一、 选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)（1）若集合，则A BC D 【考点】集合的运算【试题解析】 所以【答案】B(2) 下列函数中，在区间上为增函数的是A B. C. D. 【考点】函数的单调性与最值【试题解析】结合函数的图像与单调性易知：只有在区间上为增函数。【答案】A(3) 已知两点，以线段为直径的圆的方程是 A B C D【考点】圆的标准方程与一般方程【试题解析】以线段为直径的圆的圆心为OA的中点（-1，0），半径为故所求圆的方程为：。【
3、答案】D(4) 在中，则A19 B7 C D【考点】余弦定理【试题解析】由余弦定理得：所以。【答案】D 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥四个面的面积中最大的是 A. B. 3 C. D.【考点】空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图【试题解析】该几何体的底面面积为侧面面积分别为：其中最大的为：。【答案】C（6）已知函数f (x) 的部分对应值如表所示. 数列满足且对任意，点都在函数的图象上，则的值为12343124A . 1 B.2 C. 3 D. 4【考点】函数综合【试题解析】由题知：所以数列以3为周期循环，故【答案】B 若满足且的最大值为4，则的值为A B C D 【考点】
4、线性规划【试题解析】作可行域：A(-3，0)，B()，C(0，3)，因为显然目标函数在B点取得最大值，【答案】A（8）某大学进行自主招生时，需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如下图所示： 下列叙述一定正确的是A甲同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前B乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前C甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前D乙同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前【考点】函数图象【试题解析】由图知：甲同学的逻辑思维成绩排
5、名很靠前但总排名靠后，说明阅读表达成绩排名靠后，故A错；乙同学的逻辑思维成绩排名适中但总排名靠前，说明阅读表达成绩排名靠前，故B错；显然甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前，故C正确。【答案】C第卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9）在的展开式中，常数项是 （用数字作答）.【考点】二项式定理与性质【试题解析】的通项公式为：，令【答案】60 （10）双曲线的渐近线方程为_；某抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则此抛物线的标准方程为_.【考点】抛物线双曲线【试题解析】因为双曲线的交点在x轴，且所以a=3，b=4，c=5所以双曲线的渐近线
6、为：又双曲线的右焦点为（5，0），即抛物线的焦点为（5，0），所以所以抛物线方程为：答案（11）执行如图所示的程序框图，输出的值为_.【考点】算法和程序框图【试题解析】s=5，n=4，是;n=3，s=是;n=2，s=是;n=1，s=否，故输出的S值为。【答案】（12）将序号为1，2，3，4的四张电影票全部分给3人，每人至少一张. 要求分给同一人的两张电影票连号，那么不同的分法种数为_.（用数字作答）【考点】排列组合综合应用【试题解析】四张电影票连号的两张可能是12，23，34三种情况，所以把电影票按要求分给三个人的分法种数为： 【答案】18 （13）如图，在矩形中，若则_;_. 【考点】平面向
7、量的几何运算平面向量基本定理【试题解析】因为由题知，所以 所以故【答案】（14）已知函数若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围是_ 【考点】分段函数，抽象函数与复合函数【试题解析】若方程恰有4个互异的实数根，即令所以作函数f(x)的图像，g(x)恒过定点（-1，0）。当时，显然不符合题意；当时，若若二者相交，则有4个交点，此时令有两个实根，所以或结合图像知：0a1时， 若x3，则有两个交点，则x9综上可知：实数a的取值范围是：。【答案】 三、解答题(本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) （15）（本小题满分13分） 已知函数（I） 求函数的最小正周期；（II）
8、求函数的单调递减区间【考点】三角函数的图像与性质恒等变换综合【试题解析】（I）所以 最小正周期 (II) 由得 所以函数的单调递减区间是【答案】见解析(16)（本小题满分13分）小王为了锻炼身体，每天坚持“健步走”, 并用计步器进行统计.小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图（图1）及相应的消耗能量数据表（表1）如下. 图1 表1 （）求小王这8天 “健步走”步数的平均数； （）从步数为16千步，17千步，18千步的几天中任选2天，设小王这2天通过健步走消耗的“能量和”为，求的分布列.【考点】随机变量的分布列样本的数据特征【试题解析】(I) 小王这8天 “健步走”步数的平均数为 （千步）.
9、 （II）的各种取值可能为800，840，880，920. , 的分布列为：800840880920【答案】见解析（17）（本小题满分14分） 在四棱锥中，平面平面，为等边三角形,点是的中点（I）求证:平面；（II）求二面角的余弦值；（III）在线段上是否存在点，使得平面？若存在,请求出的值；若不存在,请说明理由.【考点】平面法向量的求法空间的角垂直平行【试题解析】（）证明:取中点,连结. 因为 为中点 , 所以 .因为.所以且.所以四边形为平行四边形, 所以 .因为 , 平面, 所以平面. （） 取中点,连结因为 ,所以.因为 平面平面,平面平面,平面,所以.取中点,连结,则以为原点,如图建
10、立空间直角坐标系,设则 .平面的法向量,设平面的法向量,由得令，则. . 由图可知，二面角是锐二面角， 所以二面角的余弦值为. （） 不存在. 设点 ,且 , 则 所以. 则 所以, .若 ,则,即，此方程无解,所以在线段上不存在点,使得. 【答案】见解析（18）（本小题满分13分）已知函数. （）若函数在点处的切线方程为，求切点的坐标；（）求证：当时，；（其中）（）确定非负实数的取值范围，使得成立.【考点】导数的综合运用【试题解析】 （）解：定义域为，. 由题意，所以，即切点的坐标为 （）证明：当时，可转化为 当时，恒成立. 设， 所以原问题转化为当时，恒成立. 所以. 令，则（舍），. 所
11、以，变化如下：0+0-极大值 因为， 所以. 当时，成立. （）解：，可转化为 当时，恒成立. 设，所以.当时，对于任意的，所以在上为增函数，所以，所以命题成立.当时，令，则，当，即时，对于任意的，所以在上为增函数，所以，所以命题成立. 当，即时，则（舍），.所以，变化如下：0-0+极小值因为，所以，当时，命题不成立.综上，非负实数的取值范围为. 【答案】见解析 （19）（本小题满分13分） 已知椭圆C的离心率为,点在椭圆C上直线过点，且与椭圆C交于，两点，线段的中点为（I）求椭圆C的方程； （）点为坐标原点，延长线段与椭圆C交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求出此时直线的方程，若不能，说
12、明理由（I）由题意得 解得.所以椭圆的方程为 （）四边形能为平行四边形【考点】圆锥曲线综合椭圆【试题解析】法一：（1）当直线与轴垂直时，直线的方程为 满足题意；（2）当直线与轴不垂直时，设直线，显然.，将代入得，故，于是直线的斜率，即由直线，过点，得，因此的方程为设点的横坐标为由得，即四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即于是由，得满足所以直线的方程为时，四边形为平行四边形 综上所述：直线的方程为或 . 法二：（1）当直线与轴垂直时，直线的方程为 满足题意；（2）当直线与轴不垂直时，设直线，显然，将代入得，故，.四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即则. 由直线，过点，得.
13、则，则 .则 满足所以直线的方程为时，四边形为平行四边形 综上所述：直线的方程为或 . 【答案】见解析（20）（本小题满分14分）对于任意的，记集合，.若集合满足下列条件：；，且，不存在，使，则称具有性质.如当时，.，且，不存在，使，所以具有性质.() 写出集合中的元素个数，并判断是否具有性质.（）证明：不存在具有性质，且，使（）若存在具有性质，且，使，求的最大值.【考点】数列综合应用【试题解析】() 解：集合中的元素个数分别为9，23，不具有性质. （）证明：假设存在具有性质，且，使其中.因为，所以，不妨设因为，所以，同理，因为，这与具有性质矛盾所以假设不成立，即不存在具有性质，且，使.10分（）因为当时，由（）知，不存在具有性质，且，使若当时，取，则具有性质，且，使当时，集合中除整数外，其余的数组成集合为，令，则具有性质，且，使当时，集中除整数外，其余的数组成集合，令，则具有性质，且，使集合中的数均为无理数，它与中的任何其他数之和都不是整数，因此，令，则，且综上，所求的最大值为14. 【答案】见解析
