1、应 用 举 例(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016成都模拟)如图所示,为了利用余弦定理得到隧道口AB的宽度,给定下列四组数据,计算时最应当用数据()A.,a,bB.a,C.a,b,D.,b【解析】选C.因为AB的长度无法测量,所以可以测量三角形的边AC,BC的长度b,a及角C.2.(2016深圳模拟)一架直升飞机在200m高度处进行测绘,测得一塔顶与塔底的俯角分别是30和60,则塔高为()A.mB.mC.mD.m【解析】选A.如图所示.在RtACD中可得CD=BE,在ABE中,由正弦定理得=AB=,所以DE=BC=200-=(m).3.(2016洛阳模拟)在ABC
2、中,AC=,BC=2,B=60,则BC边上的高等于()A.B.C.D.【解析】选B.在ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB,化简得AB2-2AB-3=0,解得AB=3,所以BC边上的高等于ABsinB=.【加固训练】(2016太原模拟)已知ABC的三条边长分别为AB=21,AC=10,BC=17,则它的面积为.【解析】因为AB=21,AC=10,BC=17,所以由余弦定理得cosC=-,所以sinC=,所以ABC的面积S=1017=84.答案:84【一题多解】本题还可以采用如下解法:方法一:由公式S=得S=84.方法二:cosA=,过点C作AB边上的高CD,则AD=
3、6,BD=15,CD=8,所以ABC的面积S=68+158=84.答案:844.(2016郑州模拟)在四边形ABCD中,B=C=120,AB=4,BC=CD=2,则该四边形的面积等于()A.7B.6C.5D.【解析】选C.如图,取AB中点G,连接DG,则DGBC,AGD=120.分别过B,C作DG的垂线,可求得BE=CF=,DG=4,所以四边形面积S=SAGD+S四边形GBCD=AGDGsin120+(DG+BC)BE=5.【一题多解】本题还可以采用如下解法:选C.连接BD,在DBC中,BC=CD=2,BCD=120,所以BD=2,ABBD,所以四边形ABCD的面积为SABD+SCBD=42+
4、22=5.5.(2016长沙模拟)地面上有两座塔AB,CD,相距120米,一人分别在两塔底测得一塔顶的仰角是另一塔顶仰角的2倍,在两塔底连线的中点O处测得塔顶的仰角互为余角,则两塔的高度分别为()A.50米,100米B.40米,90米C.40米,50米D.30米,40米【解析】选B.设高塔高H,矮塔高h,在矮塔下望高塔仰角为,在O点望高塔仰角为.分别在两塔底部测得一塔顶仰角是另一塔顶仰角的两倍,所以在高塔下望矮塔仰角为,即tan=,tan=,根据倍角公式有=,在塔底连线的中点O测得两塔顶的仰角互为余角,所以在O点望矮塔仰角为-,即tan=,tan=,根据诱导公式有=,联立得H=90,h=40.
5、即两座塔的高度为40米,90米.二、填空题(每小题5分,共15分)6.如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点,从A点测得M点的仰角MAN=60,C点的仰角CAB=45以及MAC=75;从C点测得MCA=60.已知山高BC=100m,则山高MN=m.【解析】在RtABC中,CAB=45,BC=100m,所以AC=100m.在AMC中,MAC=75,MCA=60,从而AMC=45,由正弦定理,得=,因此AM=100m.在RtMNA中,AM=100m,MAN=60,由=sin 60,得MN=100=150(m).答案:1507.两灯塔A,B与海洋观察站C的距离都等于2km,灯塔A
6、在C北偏东45处,灯塔B在C南偏东15处,则A,B之间的距离为.【解析】根据图形,在ABC中,ACB=120,AC=BC=2km,由余弦定理,得AB=2(km).答案:2km8.(2016广州模拟)海上有A,B两个小岛相距10n mile,从A岛望C岛和B岛成60的视角,从B岛望C岛和A岛成75的视角,那么B岛和C岛间的距离是n mile.【解析】如图,在ABC中,AB=10,A=60,B=75,C=45,由正弦定理,得=,所以BC=5(n mile).答案:5【加固训练】已知:如图所示的一块三角形绿地ABC中,AB边长为20m,由点C看AB的张角为30,在AC边上D处看AB的张角为60,且A
7、D=2DC.则这块绿地的面积为m2(精确到1m2,取1.732).【解析】由已知DBC=30,所以BD=DC=AD.又cos60=,所以ADcos60=BD,故ABD=90,A=30,所以AB=BC=20,ABC=120,所以SABC=(20)2sin120=400()2=300520(m2).答案:520三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2016合肥模拟)某登山队在山脚测得山顶的仰角是35,沿着倾斜角20的斜坡前进1000m后,又测得山顶的仰角是65,求山高.【解析】如图,A是山脚的一点,B为山顶,S是倾斜角20的斜坡上的一点,且AS=1000m.在RtBSD中,因为BSD=65,则
8、SBD=25.在RtABC中,因为BAC=35,则ABC=55,所以ABS=ABC-SBD=55-25=30.在ASB中,因为BAS=35-20=15,ABS=30,所以ASB=135.由正弦定理得=,所以AB=1000(m),在ABC中,BC=ABsin35=1000sin3510001.4140.5736811(m).答:山高约为811m.10.(2016石家庄模拟)如图,某公司要在A,B两地连线上的定点C处建造广告牌CD,其中D为顶端,AC长35米,CB长80米,设A,B在同一水平面上,从A和B看D的仰角分别为和.(1)设计中CD是铅垂方向,若要求2,问CD的长至多为多少(结果精确到0.
9、01米)?(2)施工完成后,CD与铅垂方向有偏差,现在实测得=38.12,=18.45,求CD的长(结果精确到0.01米).【解题提示】(1)在RtADC,RtBDC中,根据边角关系可得tan,tan,根据2,可得tantan2,解此三角形不等式可得结论.(2)在ADB中,根据正弦定理可把DB的长度求出,在BCD中,根据余弦定理可把DC的长度求出.【解析】(1)设CD的长为x米,则tan=,tan=.因为20,所以tantan2,所以tan,所以=,解得:0x2028.28,所以CD的长至多为28.28米.(2)设DB=a米,DC=m米,ADB=180-=123.43,则=,解得a=85.06
10、(米),所以m=26.93(米).答:CD的长约为26.93米.(20分钟40分)1.(5分)(2016池州模拟)如图,为了测量河对岸A,B两点间的距离,某课外小组的同学在岸边选取C,D两点,测得CD=200m,ADC=105,BDC=15,BCD=120,ACD=30,则A,B两点间的距离是()A.200mB.200mC.100mD.100(1+)m【解析】选A.在ACD中,由正弦定理有=,解得AC=100(+1)m,在BCD中,由正弦定理解得BC=100(-1)(m),BCA=BCD-ACD=90,所以在RtACB中,AB=200(m).2.(5分)(2016长沙模拟)如图,在海中一孤岛D
11、的周围有2个观察站A,C,已知观察站A在岛D的正北5n mile处,观察站C在岛D的正西方,现在海面上有一船B,在A点测得其在南偏西60方向4n mile处,在C点测得其在北偏西30,则两观测点A与C的距离为n mile.【解析】由题意可得E=30,ABC=90,在RtADE中,AE=10n mile,所以EB=AE-AB=6n mile.在RtEBC中,BC=BEtan30=2n mile,在RtABC中,AC=2(n mile).答案:23.(5分)(2016唐山模拟)某升旗仪式上,如图,在坡度为15的观礼台上,某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上,在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶
12、端的仰角分别为60和30,且第一排和最后一排的距离为10米,则旗杆的高度为米.【解析】如图所示:在三角形ABC中,可得CAB=45,ABC=105,ACB=30.利用正弦定理可求出BC=20米,则在直角三角形BDC中,CD=BCsin60=30米.答案:30【加固训练】已知锐角三角形的边长分别为2,4,x,则x的取值范围是()A.1xB.xC.1x2D.2x2【解析】选D.由题得边长为2,4,x,可构成三角形时有2x6,又此三角形为锐角三角形,则当2x0,解得x2;当4x0,解得x2;综上当三角形为锐角三角形时x的取值范围是2x2.4.(12分)(2016福州模拟)如图,在等腰直角OPQ中,P
13、OQ=90,OP=2,点M在线段PQ上.(1)若OM=,求PM的长.(2)若点N在线段MQ上,且MON=30,问:当POM取何值时,OMN的面积最小?并求出面积的最小值.【解析】(1)在OMP中,OPM=45,OM=,OP=2,由余弦定理得,OM2=OP2+MP2-2OPMPcos45,得MP2-4MP+3=0,解得MP=1或MP=3.(2)设POM=,060,在OMP中,由正弦定理,得=,所以OM=,同理ON=,故SOMN=OMONsinMON=,因为060,302+30150,所以当=30时,sin(2+30)的最大值为1,此时OMN的面积取到最小值.即POM=30时,OMN的面积的最小值
14、为8-4.5.(13分)(2016武汉模拟)如图,在海岛A上有一座海拔1千米的山,山顶设有一个观察站P,上午11时,测得一轮船在岛北偏东30,俯角为30的B处,到11时10分又测得该船在岛北偏西60,俯角为60的C处.(1)求船的航行速度是每小时多少千米?(2)又经过一段时间后,船到达海岛的正西方向的D处,问此时船距岛A有多远?【解析】(1)在RtPAB中,APB=60,PA=1,所以AB=.在RtPAC中,APC=30,所以AC=.在ACB中,CAB=30+60=90,所以BC=,则船的航行速度为=2(千米/时).(2)在ACD中,DAC=90-60=30,sinDCA=sin(180-ACB)=sinACB=,sinCDA=sin(ACB-30)=sinACBcos30-cosACBsin30=-=.由正弦定理得=.所以AD=.故此时船距岛A有千米.
