1、 高三数学（理科）三诊试题第 1 页（共 20 页） 遂宁市高中 2020 届三诊考试 数学（理科）试题 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。总分 150 分。考试时间 120 分钟。 第卷（选择题，满分 60 分） 注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡 上。并检查条形码粘贴是否正确。 2选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用 0.5 毫米黑色墨水 签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 3考试结束后，将答题卡收回。 一、选择题：本
2、大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给 出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1设 ,m nR，则“nm ”是“1 2 1 nm ”的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 2若复数 1i 1i a 为纯虚数（i为虚数单位,a为实数） ，则 2 a的值为 A4 B9 C 4 1 D1 3某人口大县举行“ 只争朝夕，决战决胜脱贫攻坚扶贫知识政策答题 比赛” ，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于 90 分的具 有复赛资格，某校有 1000 名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在 高三数学（理科）三诊试题第 2 页（共 20
3、 页） 区间（30，150内，其频率分布直方图如图所示，则获得复赛资格 的人数为 A650 B660 C680 D700 4. 已知满足 3 1 ) 2 cos( ，则cos2 A 7 9 B 12 7 C 7 9 D 7 18 5. 方程02)4( 22 yxyx表示的曲线的大致形状是（图中实 线部分） A B C D 6 周髀算经有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、 雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影 长减等寸，雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺，前七个节 气日影之和为七丈三尺五寸，问谷雨日影长为 A七尺五寸 B六尺五寸 C五尺五寸 D四尺五寸
4、 高三数学（理科）三诊试题第 3 页（共 20 页） 7. 设 ( )f x 是定义在R上恒不为零的函数，对任意实数, x y R ，都有 ( ) ( )()f x f yf xy ，若 1 1 2 a ，( )() n af n nN ，则数列 n a 的前n项和 n S的取值范围是 A. 2 , 3 1 B. 1 , 3 1 C. 2 , 2 1 D. 1 ,1 2 8. 2019年庆祝中华人民共和国成立 70周年阅兵式彰显了中华民族从站 起来、富起来迈向强起来的雄心壮志.阅兵式规模之大、类型之全均 创历史之最，编组之新、要素之全彰显强军成就.装备方阵堪称“强军 利刃” “强国之盾” ，见
5、证着人民军队迈向世界一流军队的坚定步伐，其 中空中梯队编有 12 个梯队，在领队机梯队、预警指挥机梯队、轰炸 机梯队、舰载机梯队、歼击机梯队、陆航突击梯队这 6 个梯队中， 某学校为宣传的需要，要求甲同学需从中选 3 个梯队了解其组成情 况，其中舰载机梯队、歼击机梯队两个梯队中至少选择一个，则不同 的选法种数为 A12 种 B16 种 C18 种 D20 种 9. 设函数 0,3 0,3 )( x x xf x x ， 若 2 1 l o g 5 af ，)2 . 4(log2fb ， )2( 7 . 0 fc ，则, , a b c的大小关系为 Aabc Bbac Ccab Dcba 10.
6、 已知正三棱柱 111 ABCABC 的底面边长为6， 且该三棱柱外接球 高三数学（理科）三诊试题第 4 页（共 20 页） 的表面积为14， 若P为底面 111 ABC的中心， 则PA与平面ABC所 成角的大小为 A 3 B 4 C 6 D 5 12 11. 已知 1 F， 2 F是双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的左、右焦点，若 双曲线上存在点P满足 2 12 2aPFPF， 则双曲线离心率的最小 值为 A6 B5 C3 D 2 12. 已知函数,ln(2)ln ,f x yxaxyxy若存在 ,(0,)x y使 得,0f x y ，则实数a的最大值为 A 1 e B 1
7、2e C 1 3e D 2 e 第卷（非选择题，满分 90 分） 注意事项： 1请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。 2试卷中横线及框内注有“”的地方，是需要你在第卷答题卡上作答。 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题至第 21 题为必考题，每 个试题考生都作答；第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。 13. 曲线2ln2 2 xxxy在点(1,1)处的切线的倾斜角为 。 高三数学（理科）三诊试题第 5 页（共 20 页） 14已知两个单位向量 1 e、 2 e的夹角为60，向量 21 23e
8、em ，则 m 。 15已知点)2 , 0(M，过抛物线xy4 2 的焦点F的直线AB交抛物线 于A，B两点，若0FMAM，则点B的纵坐标为 。 16. 如图，平行六面体 1111 DCBAABCD中， 5AB，3AD，7 1 AA， 3 BAD， 4 11 DAABAA，则 1 AC的长为 。 三、解答题：本大题共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。 17 （本小题满分 12 分） 函数 ( )sin()(0,0,0)f xAxA 的部分图象 如图所示，又函数 ( ) 8 g xfx （1）求函数 )(xg 的单调增区间； （2） 设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b
9、，c， 又 3c ， 且锐角C满足 1)(Cg ，若sin2sinBA，M为AC边的中点，求 BMC的周长。 高三数学（理科）三诊试题第 6 页（共 20 页） 18.（本小题满分 12 分） 如图，在长方体HKLEABCD中，底面ABCD是边长为3的正 方形，对角线AC与BD相交于点O， 点F在线段AH上，且02 HFAF， BE与底面ABCD所成角为 3 。 （1）求证：ACBE； （2）求二面角FBED的余弦值； （3）设点M在线段BD上，且AM平面BEF，求DM的长。 19. （本小题满分 12 分） 某中学举行“新冠肺炎”防控知识闭卷考试比赛，总分获得一等奖、 二等奖、三等奖的代表队
10、人数情况如下表，其中一等奖代表队比三等奖 代表队多 10 人。该校政教处为使颁奖仪式有序进行，气氛活跃，在颁 奖过程中穿插抽奖活动。 并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取 16 高三数学（理科）三诊试题第 7 页（共 20 页） 人在前排就坐，其中二等奖代表队有 5 人（同队内男女生仍采用分层抽 样） 名次 性别 一等奖 代表队 二等奖 代表队 三等奖 代表队 男生 ？ 30 女生 30 20 30 （1）从前排就坐的一等奖代表队中随机抽取3人上台领奖，用X表 示女生上台领奖的人数，求X的分布列和数学期望)(XE。 （2） 抽奖活动中， 代表队员通 过操作按键，使电脑自动产生 2 , 2内的
11、两个均匀随机数x， y， 随后电脑自动运行如图所示的 程序框图的相应程序。 若电脑显示 “中奖” ，则代表队员获相应奖品； 若电脑显示“谢谢” ，则不中奖。求代表队队员获得奖品的概率。 20.（本小题满分 12 分） 已知函数xxxxfcossin)(. （1）判断函数)(xf在区间)2 , 0(上零点的个数，并说明理由。 （2）当 x0时， 比较1x与xln的大小关系，并说明理由； 高三数学（理科）三诊试题第 8 页（共 20 页） 证明：xxfexf x cos)(1)(ln cos 。 21.（本小题满分 12 分） 如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅助 圆” 。
12、 过椭圆第四象限内一点M作x轴的垂线交其“辅助圆”于点N， 当点 N在点M的下方时，称点N为点M的“下辅助点”。已知椭圆 22 22 :10 xy Eab ab 上的点) 2 2 , 1 ( 的下辅助点为1, 1。 （1）求椭圆E的方程； （2）若OMN的面积等于 8 632 ，求下辅助点N的坐标； （3）已知直线l： 0xmyt 与椭圆 E交于不同的A，B两点，若椭圆E上存在 点P，使得四边形OAPB是对边平行且相等 的四边形。求直线l与坐标轴围成的三角形面 积最小时的 22 tm 的值。 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分。 高三数学（理科）三诊试
13、题第 9 页（共 20 页） 22 （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，将曲线方程1 4 )2( 16 )2( 22 yx ， 先向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到曲线C。 （1）点),(yxM为曲线C上任意一点，写出曲线C的参数方程，并 求出yx3 2 1 的最大值； （2）设直线l的参数方程为 ty tx 2 2 ， （t为参数） ，又直线l与曲 线C的交点为E，F，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐 标系，求过线段EF的中点且与l垂直的直线的极坐标方程。 23 （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知函数32)(xx
14、f，baxxg 2)( （1）解不等式 2 ( )f xx； （2）当0a，0b时，若 )()()(xgxfxF 的值域为, 5， 求证： 3 2 2 1 2 1 ba 。 遂 宁 市 高 中 2020 届 三 诊 考 试 数学（理科）试题参考答案及评分意见 高三数学（理科）三诊试题第 10 页（共 20 页） 一、选择题（125=60 分） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 C D A A B C D B A A C B 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。 13. 4 3 14.7 15.1 16.25698（选 修 2-1P
15、98第 3 题） 三、解答题：本大题共 70 分。 17 （本小题满分 12 分） 【解析】 （1） 由函数( )sin()(0,0,0)f xAxA的 部分图象可得 2A, 5 288 T ,即T,则 2 2 T ，又函数图像过点 ,2 8 ， 则22 82 k ， 即2, 4 kkZ ，又0，即 4 ， （, ,A 每个 值 1 分） 即( )2sin(2) 4 f xx ，则 ( )2sin2()2cos2 84 g xxx 4 分 由kxk222，Zk， 得 kxk 2 ，Zk， 所以函数)(xg的单调增区间为Zkkk , 2 6 分 高三数学（理科）三诊试题第 11 页（共 20 页
16、） （少Zk扣 1 分） （2）由1)(Cg，得 2 1 2cosC，因为 2 0 C，所以 C20， 所以 3 2 2 C， 3 C ， 又sin2sinBA，由正弦定理得2 b a 8 分 由余弦定理， 得 222 2cos 3 cabab ， 即 22 3abab 由解得1a ， 2b 10 分 又3c，所以 222 bca，所以ABC为直角三角形，且 角B为直角。 故1 2 1 2 1 bACBM，所以BMC的周长为 3111CBMCBM。 12 分 18 （本小题满分 12 分） 【解析】 （1）因为在长方体HKLEABCD中，有DE 平面ABCD， 所以DEAC， 因为四边形ABC
17、D是正方形，所以ACBD，又 DDEBD从而AC 平面BDE而BE平面BDE，所 以BEAC 。 4 分 （2） 因为在长方体HKLEABCD中， 有DA，DC，DE两两垂直， 所以建立空间直角坐标系Dxyz如图所示 由(1)知DBE为直线BE与平面ABCD所成的角 又因为BE与平面ABCD所成角为 3 ， 所以 3 DBE， 高三数学（理科）三诊试题第 12 页（共 20 页） 所以3 ED DB 由 3AD可知3 6DE ， 所以63AH，又 02 HFAF ， 即AHAF 3 1 ，故 6AF ， 则3,0,0A，3,0, 6F，0,0,3 6E，3,3,0B， 0,3,0C， 所以0,
18、 3, 6BF ，3,0, 2 6EF 设平面BEF的法向量为, ,x y zn，则 0 0 BF EF n n ， 即 360 32 60 yz xz ，令6z ，则 4,2, 6n 7 分 因为AC 平面BDE，所以CA为平面BDE的法向量， 3, 3,0CA， 所以 613 cos 13263 2 CA CA CA n n n 因为二面角为锐角，所以二面角FBED的余弦值为 13 13 9 分 （3）点M是线段BD上一个动点，设, ,0M t t,则 3, ,0AMtt， 因为AM平面BEF，所以 0AM n ， 即4320tt，解得2t 高三数学（理科）三诊试题第 13 页（共 20
19、页） 此时，点M坐标为2,2,0，22 3 2 BDDM，符合题 意 12 分 19 （本小题满分 12 分） 【解析】(1)设代表队共有n人，则 n 50 16 5 ，所以160n，设一等奖 代表队男生人数为x，则 16030)10(302030xx，解得30x，则一等奖 代表队的男生人数为30，故前排就坐的一等奖代表队有 3 男 3 女，共 6 人。2 分 则X的可能取值为0，1，2，3。 则 20 1 )0( 3 6 3 3 0 3 C CC XP, 20 9 ) 1( 3 6 2 3 1 3 C CC XP, 20 9 )2( 3 6 1 3 2 3 C CC XP， 20 1 ) 3
20、( 3 6 0 3 3 3 C CC XP， 所以X的 分布列 X 0 1 2 3 P 20 1 20 9 20 9 20 1 5 分 2 3 20 1 3 20 9 2 20 9 1 20 1 0)(XE 6 分 (2) 试验的全部结果所构成的区域为 22, 22,yxyx， 面积为 1644 S， 8 分 事 件A表 示 代 表 队 队 员 获 得 奖 品 ， 所 构 成 的 区 域 为 高三数学（理科）三诊试题第 14 页（共 20 页） 2 1 22 22 , yx yx y x yxA， 如图阴影部分的面积为 2 19 33 2 1 22 2 1 44 A S，10 分 这是一个几何
21、概型，所以 32 19 16 2 19 )( S S AP A 。 即代表队队员获得奖品的概率为 32 19 。 12 分 20 （本小题满分 12 分） 【解析】 ： （1）因为xxxxfcossin)(，所以 xxxxxxxfsin)sin(coscos)( / ， 当0x，时，0sinx，0)( / xf， )(xf 在0（， ） 上单调递增，0)0()( fxf，)(xf在0，上无零 点； 3 分 当,2x时，0sinx，0)( / xf， )(xf 在2 （ ， ） 上单调递减，0)(f，02)2(f，)(xf在 2 （ ， ）上有唯一零点； 综上，函数)(xf在区间2 , 0上有唯
22、一一个零 点。 5 分 （2） xxln1， 6 分 证明过程如下： 高三数学（理科）三诊试题第 15 页（共 20 页） 设函数 1 lnln1g xxxxx，则 )0( 1 )( / x x x xg， 令0)( / xg，得01x；令0)( / xg，得 x1.所以， 函数 yg x在区间0,1上单调递减，在区间, 1上单调递 增. 则函数 yg x在1x 处取得极小值，亦即最小值，即 min 10g xg， 即ln1 0xx ； 综上xxln1成 立 9 分 证明xxfexf x cos)(1)(ln cos 成立，即证明 1cos)cos(sin)cosln(sin cos xexx
23、xxxx x 成立， 因为)(xf在0（， ）上单调递增，( )(0)0f xf， 即0cossinxxx，所以0)cos(sin cos x exxx， 由知xxln1，即有xxln1， 有)cosln(sin1)cos(sin coscosxx exxxexxx成立，当 2 x时， ) 2 cos 22 ln(sin1) 2 cos 22 (sin 2 cos 2 cos ee ， 此时 能取等号。 即xxxxexxx x cos)cosln(sin1)cos(sin cos ， 即xxfexf x cos)(1)(ln cos 成 立 12 分 高三数学（理科）三诊试题第 16 页（共
24、20 页） 21 （本小题满分 12 分） 【解析】 ： （1）椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 上的点) 2 2 , 1 ( 的下辅 助点为1, 1， 辅助圆的半径为 2) 1(1 22 R，椭圆长半轴为 2 Ra ， 将点) 2 2 , 1 ( 代入椭圆方程1 2 2 22 b yx 中，解得1b， 椭圆E的方程为 1 2 2 2 y x ； 4 分 （2）设点),( 00 yxN)0( 0 y，则点),( 10 yxM)0( 1 y，将两点坐标 分别代入辅助圆方程和椭圆方程可得，2 2 0 2 0 yx， 1 2 2 1 2 0 y x ，故 2 1 2 0 2yy，即
25、10 2yy ， 又 8 632 )( 2 1 010 yyxS OMN ，则 4 6 10 yx 将 4 6 10 yx与1 2 2 1 2 0 y x 联立可解得 2 6 2 2 0 0 y x 或 2 2 2 6 0 0 y x ， 高三数学（理科）三诊试题第 17 页（共 20 页） 下辅助点N的坐标为 ) 2 6 , 2 2 (或 ) 2 2 , 2 6 ( 7 分 （3）由题意可设 11 ,A x y， 22 ,B x y. 联立 2 2 1 2 x y xmyt 整理得 222 2220mymtyt， 则 22 820mt . 根据韦达定理得 12 2 2 12 2 2 2 2
26、2 mt yy m t y y m 8 分 因为四边形OAPB是对边平行且相等和容易变形的四边形，即四 边形OAPB恰好为平行四边形，所以OP OA OB .所以 12 2 2 2 P mt yyy m ， 121212 2 4 2 2 P t xxxmytmytm yyt m 因为点P在椭圆E上，所以 22 2 22 22 164 1 222 tm t mm ， 整理得 22 2 2 42 1 2 mt m ，即 22 42tm 10 分 在直线l：0xmyt 中，由于直线l与坐标轴围成三角形， 则0t ，0m. 高三数学（理科）三诊试题第 18 页（共 20 页） 令0x，得 t y m
27、，令0y ，得xt. 所以三角形面积为 2 1121212 | |2 2 28|8|84 tm Stm mmm 当且仅当 2 2m ， 2 1t 时，取等号，此时240.且有 3 22 tm， 故所求 22 tm 的值为 3. 12 分 22 （本小题满分 10 分） 【解析】 ： （1）将曲线方程1 4 )2( 16 )2( 22 yx ，先向左平移2个单 位 ， 再 向 上 平 移2个 单 位 ， 得 到 曲 线C的 方 程 为 1 4 )22( 16 )22( 22 yx ，也即1 416 22 yx ，故曲线C的参数 方程为 sin2 cos4 y x (为参 数） ； 2 分 又点)
28、,(yxM为曲线C上任意一点， 所以) 3 cos(4sin32cos23 2 1 yx， 所以yx3 2 1 的最大值为 4 5 分 （2）由（1）知曲线C的直角坐标方程为1 416 22 yx ，又直线l的参 高三数学（理科）三诊试题第 19 页（共 20 页） 数方程为 ty tx 2 2 ， （t为参数） ，所以直线l的普通方程为042yx， 所以有 1 416 042 22 yx yx 解得 0 4 y x 或 2 0 y x ， 8 分 所以线段EF的中点坐标为) 2 20 , 2 04 ( ， 即线段EF的中点坐 标为) 1 , 2(，直线l的斜率为 2 1 ，则与直线l垂直的直
29、线的斜率为2， 故所求直线的直角坐标方程为)2(21xy，即032 yx，将 cos ,sinxy代入，得其极坐标方程为 03sincos2 10 分 23 （本小题满分 10 分） 【解析】 ： （1）不等式 2 ( )f xx化为 2 32xx，即 2 3 2 2 xx， 等价于 2 3 2 23 x xx 或 2 3 2 32 x xx ， 由解得 3 2 x ，由解得3x或 高三数学（理科）三诊试题第 20 页（共 20 页） 3 1 2 x， 4 分 所以不等式 2 ( )f xx的解集为 31x xx 或 5 分 （2）根据绝对值三角不等式可知 )()()(xgxfxF baxxbaxx223232 33223bababaxx， 7分 因为)()()(xgxfxF的值域为, 5 所以2ba，则622ba， 故 ) 2 2 2 2 2( 6 1 ) 2 22 2 22 ( 6 1 2 1 2 1 b a a b b ba a ba ba 3 2 ) 2 2 2 2 22( 6 1 b a a b ，当且仅当 2 2 2 2 b a a b ，即 1ab时取等号时， 由基本不等式可得 3 2 2 1 2 1 ba 10分
