1、 1 2020 高考数学押题专项练习双曲线篇 1 （2020 安徽高三月考 （文） ） 设双曲线:C 22 4640xy的焦点为 12 FF， 点P为C上一点， 1 6PF ， 则 2 PF为（ ） A13 B14 C15 D17 【答案】B 【解析】 【分析】化简双曲线方程,求出a,由双曲线的定义知 12 2PFPFa,把 1 6PF 代入求解即可. 【详解】 由题意可得， 双曲线C的方程为 22 1 1664 yx ， 所以4a,由双曲线的定义可得 12 2PFPFa， 因为 1 6PF ,所以可得 2 68PF,解得 2 14PF .故选: B 【点睛】本题主要考查双曲线的定义和标准方程
2、;属于基础题. 2 （2020 河南高三期末（文） ）记双曲线 1 C： 22 22 1 xy ab （0a，0b）与双曲线 2 C： 22 1 162 yx 无 交点，则双曲线 1 C的离心率的取值范围是( ) A 3 2 , 4 B 3 2 1, 4 C3, D1,3 【答案】D 【解析】 【分析】先求双曲线 2 C渐近线方程，再结合图象确定双曲线 1 C确定渐近线渐近线斜率范围，解得结果. 【详解】双曲线 2 C： 22 1 162 yx 的渐近线方程为2 2yx ，由题意可知2 2 b a ，则 2 2 11,3 cb e aa .故选：D 【点睛】本题考查双曲线渐近线与离心率，考查基
3、本分析求解能力，属基础题. 3.（2020 甘肃高三期末（文） ）已知 1, F 2 F分别是双曲线 22 22 :1 xy C ab (0,0)ab 的左、右焦点，直线 2 l 过 1 F，且 l 与一条渐近线平行，若 2 F到 l 的距离大于 a，则双曲线 C 的离心率的取值范围为（ ） A( 5,) B(1, 5) C 5 , 2 D 5 1, 2 【答案】C 【解析】 【分析】设直线 l：() b yxc a ，由 2 F到 l 的距离大于 a，得出 b a 的范围，再由 2 1 ( ) b e a 计算即可. 【详解】设过 1 F与渐近线 b yx a 平行的直线 l 为() b y
4、xc a ，由题知 2 F到直线 l 的距离d a， 即 22 |bcbc d ba 2ba，可得 1 2 b a ，所以离心率 2 5 1 ( ) 2 b e a .故选：C. 【点睛】本题考查计算双曲线离心率的范围，熟知公式 2 1 ( ) b e a 可使计算变得简便，属于常考题. 4 （2020 云南昆明一中高三期末（理） ）已知 12 ,F F是双曲线 22 (0)xym m的两个焦点，点P为该双 曲线上一点，若 12 PFPF，且 12 2 3PFPF，则m（ ） A1 B 2 C3 D3 【答案】A 【解析】 【分析】将双曲线的方程化为标准方程并表示出, ,a b c.并结合双曲
5、线的定义、双曲线的几何性质、 12 PFPF和 12 2 3PFPF,即可求得m的值. 【详解】双曲线 22 (0)xym m，化为标准方程可得 22 1 xy mm ，即,2am bm cm 由双曲线定义可知 12 2PFPFm,所以 22 1122 24PFPFPFPFm,又因为 12 2 3PFPF,所以 22 1122 212PFPFPFPF,由以上两式可得 22 12 26PFPFm, 由 12 PFPF得 22 2 12 48PFPFcm,所以826mm,解得1m,故选:A. 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及几何性质的应用,根据等量关系求参数值,属于基础题. 3 5 （2020
6、 江西高三期末（文） ）已知双曲线 2 2 2 :4(0) y Cxa a 的一条渐近线经过圆 22 :2440P xyxy 的圆心，则C的离心率为（ ） A 5 2 B 5 C10 D 10 2 【答案】A 【解析】 【分析】由题可知，先求出双曲线的标准形式 22 2 1 44 yx a ，进而得出渐近线方程，带入圆心(1,2)，求出 , ,a b c，带入离心率公式即可得结果. 【详解】 因为双曲线 2 2 2 :4(0) y Cxa a ， 所以 22 2 1 44 yx a ， 即焦点在y轴上的双曲线， 2 ,2aa b ， 则渐近线方程 a yxax b ， 圆 22 :2440P
7、xyxy， 得 22 (1)(2)1xy， 圆心为(1,2)， 半径为 1，由于渐近线经过圆的圆心(1,2)，圆心在第一象限，带入y ax 得2,4a a ，又因为： 222 cab，得2 5c ，离心率 2 55 42 c e a .故选:A. 【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及渐近线方程，离心率等，运用双曲线的相关性质特点，同时还 考查圆的一般方程化为标准方程，圆的圆心和半径. 6.（2020 内蒙古高三（理） ）已知双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的右顶点为A，以A为圆心，b为半 径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若30MNA，则C的离心率为(
8、) A3 B3 C2 D 2 【答案】C 【解析】双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的右顶点为 A(a,0)，以 A 为圆心，b 为半径做圆 A， 圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M、N 两点若30MNA,可得 A 到渐近线 bx+ay=0 的 4 距离为：sin30 2 b b，可得： 22 2 abb ab ,即 22222 3,3,2 c bacaae a . 7 （2020 河北衡水中学高三月考（理） ）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Mab ab 的一条渐近线与y轴 所形成的锐角为30，则双曲线M的离心率为（ ） A 2 3 3 B 3 C2
9、D 2 3 3 或 2 【答案】C 【解析】 【分析】转化条件得3 b a ，再利用 22 2 ab e a 即可得解. 【详解】由题意可知双曲线的渐近线为 b yx a ，又 渐近线与y轴所形成的锐角为30， tan603 b a o ，双曲线离心率 22 2 2 ab e a .故选：C. 【点睛】本题考查了双曲线的性质，属于基础题. 8.（2020 河南南阳中学高三月考（文） ）过双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的左焦点作倾斜角为30的直线 l，若l与y轴的交点坐标为0,b，则该双曲线的离心率为（ ） A 6 2 B 5 2 C 2 D3 【答案】A 【解析】 【分析】求
10、出双曲线的左焦点，设出直线 l 的方程为 3 3 yxc，可得l与y轴的交点坐标，得到 3 3 cb ，结合 222 acb计算即可 【详解】由题意设直线l的方程为 3 3 yxc，令0x，得 3 3 yc，因为 3 3 cb，所以 5 222222 32acbbbb，所以 2 2 6 1 2 b e a .故选：A 【点睛】本题考查双曲线的离心率的问题，考查了基本量的关系，属于基础题 9.（2020 天津高三期末）双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左右焦点分别为 1 F、 2 F，渐近线为 12 ,l l，点P在 第一象限内且在 1 l上，若 2122 ,lPF lPF则
11、双曲线的离心率为（ ） A3 B2 C5 D 2 【答案】B 【解析】 分析：分别求得双曲线的两条渐近线的方程，设出点 P 的坐标，根据直线的斜率公式，求得直线 1 PF的斜 率及直线 2 PF的斜率，根据直线平行及垂直的关系，即可求得, a b的关系，根据双曲线的离心率公式，即 可求得双曲线的离心率. 详解：设双曲线渐近线 1 l的方程为 b yx a ， 2 l的方程为 b yx a ，则设P点坐标为( ,) b xx a ， 则直线 1 PF的斜率 1 0 () b x bx a k xca xc ，直线 2 PF的斜率 2 0 () b x bx a k xca xc ，由 21 lP
12、F，则 ()1 () bxb a xca ，即 2 2 1 () b x axc （1）由 22 lPF，则 () bxb a xca ，解得 2 c x （2） ， 联立（1） （2） ，整理得： 2 2 3 b a ，由双曲线的离心率 2 2 12 cb e aa ，所以双曲线的离心率为 2. 点睛：该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题，在解题的过程中，需要先设出点 P 的坐标，利用两 点斜率坐标公式，将对应的直线的斜率写出，再利用两直线平行垂直的条件，得到, a b的关系，之后借助于 双曲线中, ,a b c的关系以及离心率的公式求得结果. 10 （2020 河北高三期末 （理） ）
13、 知双曲线 C： 22 22 1 xy ab （0a，0b） ， 点 0,2Bb，O为原点， 以OB 为直径的圆与圆： 2222 xyab相交于点 J， K.若JKOB， 则双曲线 C 的渐近线方程为 （ ） A 1 2 y By x C2yx D3yx 【答案】B 6 【解析】 【分析】求出圆的方程，根据两圆求解出直线JK的方程，设直线JK与y轴的交点为M，从而在 Rt OMK中得出方程 222 () 2 c bc b ，解出 b a 的值，从而解出渐近线的方程. 【详解】圆： 222 ()xybb，即 22 20xyby，圆： 2222 xyab，即 222 xyc， 故直线JK： 2 2
14、 c y b ，设直线JK与y轴的交点为M，则 2 2 c OM b ，因为JK OB，所以MKb， 在Rt OMK中， 可得 222 OMMKOK， 即 2 2 22 2 c bc b ， 即 2 2 222 2 c cba b ， 所以 2 2 c a b ， 所以 222 2cabab，所以 2 ()0ab，解得ab，所以双曲线 C 的渐近线方程为 b yxx a . 【点睛】本题考查双曲线渐近线的问题，其本质是求解a与b的关系，此类问题的解题关键是根据已知条件 得出a与b的等式或者不等式，从而求解，考查逻辑思维能力和运算能力，属于高考常考题型. 11 （2020 安徽高三（理） ）已知
15、双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点为(4,0)F，点(0, 3)Q，P为双 曲线左支上的动点，且PQF周长的最小值为 16，则双曲线的离心率为（ ） A2 B 4 3 C 3 2 D 5 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，利用两点间线段最短，结合已知直接求解即可. 【详解】设双曲线的左焦点坐标为 1(4,0) F，因此有 1 5QFQF由双曲线的定义可知： 11 22PFPFaPFPFa，所以PQF周长为 1 25PQPFFQPFaPQ，当P在线 段 1 FQ上时， 1 PFPQ有最小值，最小值为 5，因此有2 5 5 163aa ，所以离心率为：
16、4 3 e .故选：B 【点睛】本题考查了双曲线离心率的求法，考查了双曲线的定义，考查了数学运算能力. 12、 （2020 湖南高三月考（文） ）已知双曲线 C： 22 22 1 xy ab （0a，0b）的右焦点为 ,0F c，点 A、 B分别在直线 2 a x c 和双曲线C的右支上， 若四边形OABF（其中O为坐标原点） 为菱形且其面积为3 15， 7 则a( ) A3 B5 C2 D 6 【答案】A 【解析】 【分析】设点 2 , a At c ，0t ，因为OFABc，则 2 , a Bc t c ，根据点B在双曲线上可得一 个关于, ,a b c方程，根据面积又可得一个关于, ,a
17、 b c的方程，在加上 222 cab，列方程求解即可. 【详解】如图：设点 2 , a At c ，0t ，因为OFABc，则 2 , a Bc t c ，又OBAF，则 22 1 tt aa cc cc ，化简得 2 22 2 (1) a tb c ， 22 2 ,1 aa Bc b cc ， 2 2 2 2 2 2 2 (1) 1 a a c b c c ab ，又 2 2 13 15 1 22 a c b c ， 222 cab，由得3,3,2 3abc .故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的性质的应用，考查学生计算能力，根据条件列方程是本题的关键，是中档题. 13.（2020 江苏高
18、三期末）双曲线 22 :1 43 xy C的左右顶点为,A B，以AB为直径作圆O，P为双曲线右 支上不同于顶点B的任一点，连接PA交圆O于点Q，设直线,PB QB的斜率分别为 12 ,k k，若 12 kk， 则_. 【答案】 3 4 【解析】 【分析】根据双曲线上的点的坐标关系得 2 000 2 000 3 2424 PAPB yyy xx k k x ，PA交圆O于点Q，所以 PAQB ，建立等式 1 PAQB kk ，两式作商即可得解. 【详解】设 00 ,2,02,0P x yAB， 22 00 1 43 xy ， 2 220 00 3 314 44 x yx 8 2 000 2 0
19、00 3 2424 PAPB yyy xx k k x ，PA交圆O于点Q，所以PAQB 易知: 3 3 4 4 1 PAPB PB QB PAQB k k k k kk ，即 1 2 3 4 k k .故答案为： 3 4 【点睛】此题考查根据双曲线上的点的坐标关系求解斜率关系，涉及双曲线中的部分定值结论，若能熟记 常见二级结论，此题可以简化计算. 14.（2020 辽宁高三期末（理） ）设F为双曲线C： 22 22 10,0 xy ab ab 的右焦点，O为坐标原点， 以OF为直径的圆与圆 222 xya交于P，Q两点，若PQOF，则C的渐近线方程为_. 【答案】y x 【解析】 【分析】
20、根据双曲线的几何性质,圆的几何性质,得出其中的线段的关系 222 |OPPFOF,可得 22 ab , 可得出双曲线的渐近线的方程. 【详解】由题意得下图：由双曲线C的性质得(c,0)F，又以OF为直 径的圆与圆 222 xya交于P，Q两点，且| |PQOF，所以PQ为 以OF为直径的圆的直径，OPa，PFOP，所以 222 |OPPFOF，则 222 aac， 22 2ac ,所以 22 ab , 所以C的渐近线方程为y x.故答案为: yx. 【点睛】本题主要考查双曲线与圆的几何性质,关键在于由其几何性质,得出线段的关系,并且与双曲线的 , ,a b c建立联系,属于中档题. 15.（2
21、020 山西高三月考（文） ）已知点P是双曲线 2 2 1 3 y x 右支上一动点， 12 ,F F是双曲线的左、右焦 点，动点Q满足下列条件： 12 2 12 | 0 | PFPF QF PFPF ， 12 12 0 | PFPF QP PFPF ，则点Q的轨 迹方程为_. 【答案】 22 1(0)xyy 【解析】 9 【分析】设动点Q的坐标为( , ) x y，延长 2 F Q交 1 PF于点A，根据向量的加法法则及数量积为 0，可得 2 QFPQ，利用双曲线的定义可得 1 1 |1 2 OQAF，即可得答案. 【详解】设动点Q的坐标为( , ) x y，延长 2 F Q交 1 PF于点
22、A，由条件 知点Q在 12 FPF的角平分线上，结合条件知 2 QFPQ，所以 在 2 PF A中， 2 PQF A.又PQ平分 2 APF，所以 2 PF A为等腰 三角形，即 2 |PAPF， 2 |AQQF.因为点P为双曲线上的点，所 以 12 2PFPF，即 12 |2PAAFPF，所以 1 2AF .又在 12 F AF中，Q为 2 AF的中点，O为 12 FF的中点，所以 1 1 |1 2 OQAF，所以点Q的轨迹是以O为圆心，半径为 1 的圆，所以点Q的轨迹 方程为 22 1(0)xyy.故答案为： 22 1(0)xyy. 【点睛】本题考查单位向量、向量的数量积、向量的加法法则的
23、几何意义、双曲线的定义、轨迹方程的求 解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时 注意平面几何知识的应用. 16 （2020 山东枣庄八中高三月考）已知一族双曲线 22 : 2019 n n Exy（ * nN，且2019n） ，设直 线2x与 n E在第一象限内的交点为 n A，点 n A在 n E的两条渐近线上的射影分别为 n B， n C.记 nnn A B C的 面积为 n a，则 1232019 aaaa_. 【答案】 505 2 【解析】 【分析】设点坐标 00 , n Axy，表示出 nnn A B C的面积，得到 n a的通项，
24、然后对其求前 2019 项的和. 【详解】设 00 , n Axy，双曲线 22 : 2019 n n Exy的渐近线为0,0xyxy，互相垂直. 点 00 , n Axy在两条渐近线上的射影为 , nn B C，则 0000 , 22 nnnn xyxy A BA C ，易知 nnn A B C为直 角三角形， 22 0000 00 1 = 242019 422 nnn A B C xyxyxyn S ，即 2019 4 n n a 为等差数列，其前 10 2019 项的和为 12019 2019 12019 2019 2019505 2019 42019 4 = 222 aa S 【点睛】
25、本题利用三角形的面积将双曲线相关内容与数列相结合，综合性较强的题目，属于难题. 17 （2020 新疆高三 （理） ） 已知双曲线 22 22 1 xy ab （0a，0b） 的两条渐近线互相垂直， 焦距为6 2， 则该双曲线的实轴长为（ ） A3 B6 C9 D12 【答案】B 【解析】 【分析】根据渐近线垂直，可得, a b的关系，结合焦距的长度，列方程组，即可求得结果. 【详解】因为两条渐近线互相垂直，故可得 2 1 b a ，又因为焦距为6 2，故可得2 6 2c ，结合 222 abc，解得3,3,3 2abc，故实轴长26a .故选：B. 【点睛】本题考查双曲线方程的求解，属基础题
26、. 18（2020 广东高三月考 （文） ） 若双曲线 22 22 1 xy ab （0a，0b） 的焦距为2 5， 且渐近线经过点(1, 2) ， 则此双曲线的方程为（ ） A 2 2 1 4 x y B 2 2 1 4 y x C 22 1 416 xy D 22 1 164 xy 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到22 5c ，2 b a ，解得答案. 【详解】双曲线 22 22 1 xy ab （0a，0b）的焦距为2 5，故22 5c ，5c . 且渐近线经过点(1, 2)，故2 b a ，故1,2ab，双曲线方程为： 2 2 1 4 y x .故选：B. 【点睛】本题考查了
27、双曲线方程，意在考查学生对于双曲线基本知识的掌握情况. 11 19 （2018 黑龙江高三期末（理） ）已知双曲线的标准方程为 22 22 xy ab 1（a0，b0） ，若渐近线方程为 y 3x，则双曲线的离心率为（ ） A 2 3 3 B2 C 2 D4 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的渐近线方程是3yx ，可得3 b a ，利用双曲线的离心率 2 1 ( ) cb e aa ，即可得出结论 【详解】双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的渐近线方程是3yx ，3 b a ，双曲线的离心率 2 1 ( )2 cb e aa
28、 故选：B 【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，确定3 b a 是关键 20 （2020 黑龙江高三（文） ）已知双曲线 2 2 1 3 y x 的左右焦点分别为 1 F， 2 F，点P在双曲线上，且 12 120FPF， 12 FPF的面积为（ ） A2 3 B3 C2 5 D5 【答案】B 【解析】 【分析】先根据双曲线方程得到1,3,2abc,设 12 ,PFm PFn可得,22mna. 由 12 120FPF,在 12 FPF根据余弦定理可得: 222 121212 2cos120FFPFPFPF PF ,即可求得答 案. 【详解】 2 2 1 3 y x ,1,3,
29、2abc,P在双曲线上,设 12 ,PFm PFn, 22mna 由 12 120FPF,在 12 FPF根据余弦定理可得: 12 222 121212 2cos120FFPFPFPF PF ,故 22 1 162 2 mnmn 即: 22 16mnmn , 由可得 4mn 直角 12 FPF的面积 12 1212 sinsin120 11 2 3 2 F PF SmnPFPFFPF ,故选:B. 【点睛】本题考查求椭圆中三角形面积问题,解题关键是掌握椭圆定义和椭圆中三角形面积求法,考查了分析 能力和计算能力,属于中档题. 21 （2020 山西高三月考（理） ）已知双曲线 C1： 22 16
30、4 xy =1，双曲线 C2： 22 22 xy ab =1（a0，b0）的左、 右焦点分别为 F1，F2，M 是双曲线 C2 一条渐近线上的点，且 OMMF2，若OMF2的面积为 16，且双曲 线 C1，C2的离心率相同，则双曲线 C2的实轴长为（ ） A4 B8 C16 D32 【答案】C 【解析】双曲线 22 1: 1 164 xy C的离心率为 2 15 11 42 cb e aa ，设 2 ,0F c，双曲线 2 C 一条渐近线方程为 b yx a ，可得 2 22 bcbc F Mb c ab ，即有 22 OMcba，由 2 OMF的面 积为16，可得 1 16 2 ab ，即3
31、2ab，又 222 abc，且 5 2 c a ，解得8,4,4 5abc，既有双曲 线的实轴长为16 ，故选 C. 22.（2020 湖北高三期末（文） ）设双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的右焦点与抛物线 2 8yx的焦点相 同，双曲线C的一条渐近线方程为30xy，则双曲线C的方程为（ ） A 2 2 1 3 x y B 2 2 1 3 y x C 22 1 412 xy D 22 1 124 xy 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线与抛物线的基本量求解即可. 13 【详解】抛物线 2 8yx的焦点为2,0,故双曲线2c .又渐近线为30xy,即3yx , 故3
32、b a ,故 22 1 3 3 4 b a a b ab ,故双曲线方程为 2 2 1 3 y x .故选：B 【点睛】本题主要考查了双曲线与抛物线中的基本量求解,属于基础题. 23 （2020 云南高三（文） ）如图， 12 FF、分别是双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点，过 1 F 的直线l与C的左、右两 支分别交于点A B、若 2 ABF为等边三角形，则双曲线C的离心率为（ ） A4 B 7 C 2 3 3 D 3 【答案】B 【解析】 2 ABF为等边三角形， 不妨设 22 ABBFAFm,A为双曲线上一点， 1211 2FA F AFA ABFBa
33、B为双曲线上一点, 21212 2 ,4 ,2BFBFa BFa FFc,由 212 60 ,120ABFFBF,在 12 FBF中 运用余弦定理得： 222 44162 24cos120caaaa , 22 7ca , 2 7e , 7e .故答案选B 点睛：根据双曲线的定义算出各边长，由等边三角形求得内角120，再利用余弦定理计算出离心率 24. （2020 河北高三月考 （文） ） 已知直线0ykx k与双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 交于 ,A B两点， 以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若ABF的面积为 2 4a，则双曲线的离心率为 A 2 B3 C2 D 5
34、 【答案】D 【解析】 【分析】通过双曲线和圆的对称性，将ABF的面积转化为FBF的面积；利用焦点三角形面积公式可以 建立a与b的关系，从而推导出离心率. 14 【详解】由题意可得图像如下图所示： F 为双曲线的左焦点 ABQ为圆的直径 9 0AFB ,根据双曲线、圆的对称性可知：四边形AFBF为矩形 1 2 ABFAFBFFBF SSS ,又 2 22 4 tan45 FBF b Sba ，可得： 22 5ca , 2 5e5e 本题正确选项：D 【点睛】本题考查双曲线的离心率求解，离心率问题的求解关键在于构造出关于 , a c的齐次方程，从而配凑 出离心率的形式. 25 （2020 江西省
35、宁都中学高三月考（理） ）设 1 F， 2 F分别为双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的左、右焦 点，双曲线上存在一点P使得 12 3PFPFb， 12 9 4 PF PFab，则该双曲线的离心率为（ ） A 4 3 B 5 3 C 9 4 D3 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的几何意义与题中所给的条件进行化简求解,从而得到 4 3 b a ,进而求得离心率即可. 【详解】因为P是双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 上一点,所以 12 2PFPFa,又 12 3PFPFb,所 以 22 22 1212 94PFPFPFPFba,所以 22 12 494PFP
36、Fba.又因为 12 9 4 PFPFab, 所以有 22 994abba ,即 2 9940 bb aa ,即解得： 1 3 b a （舍去）,或 4 3 b a ,所以 2 2 2 2 22 2 2 425 11 39 bcab e aaa ,所以 5 3 e ,故选：B. 【点睛】本题主要考查了根据双曲线的定义求解基本量之间的关系,进而求得离心率的方法,重点在于根据题 中所给的条件列出等式进行化简,属于中等题型. 15 26.（2020 宜宾市叙州区第二中学校高三月考（文） ）过双曲线 2 2 1 3 y x 的右支上一点P分别向圆 1 C： 22 (2)4xy和圆 2 C： 22 (2
37、)1xy作切线， 切点分别为,M N， 则 22 |PMPN的最小值为 （ ） A5 B4 C3 D2 【答案】A 【解析】 【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线 2 2 1 3 y x 的左右焦点为 1( 2,0) F ， 2(2,0) F，连接 1 PF， 2 PF， 1 FM， 2 F N，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可 得到所求值 【详解】 圆 22 1:( 2)4Cxy的圆心为( 2,0)， 半径为 1 2r ； 圆 22 2:( 2)1Cxy的圆心为(2,0)， 半径为 2 1r ，设双曲线 2 2 1 3 y x 的左右焦点为 1( 2
38、,0) F ， 2(2,0) F，连接 1 PF， 2 PF， 1 FM， 2 F N， 可得 222222 1122 |(|)(|)PMPNPFrPFr 22 12 (|4)(|1)PFPF 22 121212 |3(|)(|)3PFPFPFPFPFPF 1212 2 (|32(|)3 2 232 435a PFPFPFPFc） 当且仅当P为右顶点时，取得等号， 即最小值 5故选A 【点睛】本题考查最值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的方程，考查三点共线的性质，以及运算 能力，属于中档题 27 （2020 黑龙江高三（理） ）已知双曲线 2 2 1 3 y x 的左，右焦点分别为 1 F、
39、2 F，点P在双曲线上，且 16 12 120FPF， 12 FPF的平分线交x轴于点A，则|PA （ ） A 5 5 B 2 5 5 C 3 5 5 D 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用双曲线的定义，及余弦定理，可求得 1 2 4rr ， 12 2 5rr，借助 1212 F PFF PAAPF SSS ， 可得 1 212 ()rrrrPA，即得解. 【详解】 不妨设P在双曲线的右支，且 112212 |,|,22PFrPFrrra ,由余弦定理： 222 121212 |2|cosFFPFPFPFPFP,由双曲线方程： 12 | 22 1 34FFc 代入可得： 222 121 2
40、121 21 2 16()34rrrrrrrrrr, 22 12121 2 21642 5rrrrrr 1212 1 212 111 sinsinsin 22222 F PFF PAAPF PP SrrPSSr PArPA ,代入可得： 1 212 ()rrrrPA 1 2 12 42 5 52 5 rr PA rr ,故选：B 【点睛】本题考查了双曲线的焦点三角形的面积问题，考查了学生转化划归，综合分析，数学运算的能力， 属于中档题. 28.（2020 湖北高三期末（文） ）已知 1 F， 2 F是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且 12 3 FPF ，椭圆的离心率为 1 e，
41、双曲线的离心率 2 e，则 22 12 13 ee （ ） A1 B 2 C2 D4 【答案】D 17 【解析】 【分析】设椭圆与双曲线的标准方程分别为： 22 22 11 1 xy ab ， 22 22 22 1 xy ab 11 ,0,1,2 ii a bab i， 22222 1122 ababc，0c ， 设 12 ,PFm PFn， 可得 12 2 ,2mna nma ， 12 3 FPF ， 在 12 FPF中，由余弦定理可得： 2 22 22cos 3 cmnmn ，化简整理由离心率公式即可得出. 【详解】如图所示： 设椭圆与双曲线的标准方程分别为： 22 22 11 1 xy
42、ab ， 22 22 22 1 xy ab 11 ,0,1,2 ii a bab i， 22222 1122 ababc，0c ，设 12 ,PFm PFn，则 12 2 ,2mna nma，解得 1212 ,maa naa由 12 3 FPF ， 在 12 FPF中， 由余弦定理可得： 2 22 22cos 3 cmnmn ， 22 2 12121212 4caaaaaaaa，化为 222 12 43caa，化为 2 22 1 31 4 ee .故选：D 【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的定义与性质，属于中档题. 29 （2020 湖北高三月考（理） ）已知以 x 2y =0 为渐近线的双曲线
43、经过点(4,1)，则该双曲线的标准方程为 _. 【答案】 2 2 1 123 y x 【解析】 【分析】设双曲线方程为 22 4xy，代入点(4,1)，计算得到答案. 【详解】双曲线渐近线为20xy，则设双曲线方程为： 22 4xy，代入点(4,1)，则12. 故双曲线方程为： 2 2 1 123 y x .故答案为： 2 2 1 123 y x . 18 【点睛】本题考查了根据渐近线求双曲线，设双曲线方程为 22 4xy是解题的关键. 30 （2020 浙江高三）若双曲线 2 2 1 x y m 的焦距为 4，则其渐近线方程为_. 【答案】 3 3 yx 【解析】 【分析】利用题设的焦距求解 m, 由题设，双曲线的焦点在 x 轴上，故渐近线方程为： b yx a 即得解. 【详解】双曲线 2 2 1 x y m 的焦距为 4，可得 m+14，所以 m3，由题设，双曲线的焦点在 x 轴上，故渐 近线方程为： b yx a ，所以双曲线的渐近线方程为：y 3 3 x 【点睛】本题考查了双曲线的方程及性质，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 31 （2020 榆树市第一高级中学校高三期末（文） ）已知双曲线 22 2
