1、行列式行列式determinant 行列式的定义行列式的定义 行列式的性质行列式的性质 行列式的计算行列式的计算 行列式的展开行列式的展开计算平行四边形的面积(a,b)(c,d)计算平行四边形的面积(a,b)(c,d)计算平行四边形的面积(a,b)(c,d)acdb计算平行四边形的面积(a,b)(c,d)计算平行四边形的面积(a,b)(c,d)计算平行四边形的面积(a,b)(c,d)abdc计算平行四边形的面积(a,b)(c,d)abdccdab(a,b)(c,d)abdccdabcd/2cd/2ab/2ab/2bcbc(a,b)(c,d)abdccdabcd/2cd/2ab/2ab/2bcb
2、c平行四边形面积平行四边形面积=(a+c)(b+d)-2bc-cd-ab=ad-bc.平行四边形的面积=ad-bc(a,b)(c,d)2阶行列式函数 f 定义为：.),(bcaddcbaf函数 f 有4个变量。.bcaddcba将 f 记作下述两行两列的形式：函数 f 定义为：2112221122211211),(aaaaaaaaf 函数 f 有4个变量。例例.133)1(25)2,3,1,5(f2112221122211211aaaaaaaa 通常我们把 f 记作下述两行两列的形式：二阶行列式二阶行列式：主对角线主对角线副对角线副对角线元素元素2112221122211211aaaaaaaa
3、 例例2315 3)1(25 13 定义：三阶行列式定义：三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaa322311332112312213213213312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa332112312213322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa例例601504321 403)1(5260158 501642)1(03计算三阶行列式的例子：计算三阶行列式的例子：333231232221131211aaaaaaaaa322311332112312213213213312312332211aaaaaaaaa
4、aaaaaaaaa 行列式的记号最早由英国数学家行列式的记号最早由英国数学家Cayley提出，提出，发表于发表于 Cambridge Mathematical Journal,Vol.II(1841),p.267-271 解解例例 的充要条件是什么？的充要条件是什么？01140101 aa111401012 aaa1|a0 计算三阶行列式的例子：计算三阶行列式的例子：333231232221131211aaaaaaaaa322311332112312213213213312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa三阶行列式的几何意义三阶行列式的几何意义三阶行列式的几何意义(a1,
5、a2,a3)(b1,b2,b3)(c1,c2,c3)321321321cccbbbaaa0平行平行6面体的体积面体的体积=补充：补充：1 1 阶行列式阶行列式1111|aa 1 1 阶行列式就是那个数本身，注意在阶行列式就是那个数本身，注意在 1 1 阶行列式中阶行列式中的记号，的记号，|x|不是不是 数数 x 的绝对值。的绝对值。如果上下文中既有如果上下文中既有1 1阶行列式，也有数的绝对值，那阶行列式，也有数的绝对值，那么我们在使用这些记号时就需要特别声明该记号到底么我们在使用这些记号时就需要特别声明该记号到底是行列式呢，还是绝对值，以避免混淆。是行列式呢，还是绝对值，以避免混淆。通常我们
6、并不会遇到通常我们并不会遇到 1 1 阶行列式。如果没有特别说阶行列式。如果没有特别说明，明，|a|表示数表示数 a 的绝对值。的绝对值。nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 nnnniii iiiii iaaa21212121)()1(n 阶行列式阶行列式-定义定义方阵的行列式 设设 A 为为 n 阶方阵，则可以对阶方阵，则可以对 A 取行列式，记取行列式，记作作|A|或者或者 det(A).例例.24641|)det(,600540321AAA则 矩阵与行列式是不同的数学对象。矩阵与行列式是不同的数学对象。行列式是一个数，而矩阵是一个表。行列式是一个数，而矩阵是一个表。
7、例例,800530321600540321 矩阵：.80053032124600540321 行列式：nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 n 阶行列式阶行列式-定义定义主对角线主对角线副对角线副对角线在没有特别说明的情形下，对角线就是指主对角线。在没有特别说明的情形下，对角线就是指主对角线。记号10032110011211)1(aaaaaaaaaiiinnii 记号的因子是24nna4321aaaa241286aaaannnnnnaaaaaaaaaD212222111211 n阶行列式阶行列式-定义定义第第1行行第第2行行一共一共 n 行。行。nnnnnnaaaaaaaa
8、aD212222111211 n n阶行列式阶行列式-定义定义第第1列列 第第2列列一共一共 n 列。列。nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 特点：特点：n 阶行列式是阶行列式是 n!项的代数和，项的代数和，是一个数是一个数，正、，正、负负 项各占一半，即都是项各占一半，即都是 n!/2 项。项。每一项的每一项的 n 个元素取自个元素取自不同行不同列，即每行不同行不同列，即每行每列必需且只需取一个元素。每列必需且只需取一个元素。n 阶行列式中有阶行列式中有 个元素。个元素。2nnnnniii iiiii iaaa21212121)()1(nnnnnnaaaaaaaaaD2
9、12222111211 n 阶行列式是阶行列式是 n!项的代数和，项的代数和，是一个数是一个数，正、，正、负项各占负项各占n!/2.2 阶行列式的表达式有阶行列式的表达式有 2=2！项，！项，1正正1负。负。nnnniii iiiii iaaa21212121)()1(3 阶行列式的表达式有阶行列式的表达式有 6=3！项，！项，3正正3负。负。4 阶行列式的表达式有阶行列式的表达式有 24=4！项，！项，12正正12负。负。nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 n 阶行列式是阶行列式是n!项的代数和。项的代数和。n!有多大？有多大？nnnniii iiiii iaaa212
10、12121)()1(nennn2!其中其中 371828.2ennnnnnaaaaaaaaaD212222111211 n 阶行列式是阶行列式是 n!项的代数和。项的代数和。当当 n 较大时，较大时，n!是一个非常大的数字，因而按是一个非常大的数字，因而按照定义来计算行列式就要作很多次运算。行列照定义来计算行列式就要作很多次运算。行列式中每一项都是式中每一项都是 n 个数的乘积，也就是说要做个数的乘积，也就是说要做 (n-1)次乘法，那么行列式的计算一般来说总共次乘法，那么行列式的计算一般来说总共要做要做(n-1)n!次乘法。次乘法。nnnniii iiiii iaaa21212121)()1
11、(nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 n 阶行列式是阶行列式是 n!项的代数和项的代数和nnnniii iiiii iaaa21212121)()1(物理学家认为宇宙中粒子的总数大约为物理学家认为宇宙中粒子的总数大约为10010!100 79102.2按照定义直接计算一个按照定义直接计算一个 100 阶的行列式是不可能的。阶的行列式是不可能的。n 阶行列式阶行列式-定义定义是一个非负整数。是一个非负整数。)(21nii i)(21nii i是一个是一个 n 阶排列。阶排列。nii i21其中其中为该为该 n 阶排列的逆序数。阶排列的逆序数。nnnniii iiiii ia
12、aa21212121)()1(n 阶行列式阶行列式-排列排列n 阶排列总共有阶排列总共有 n!个。个。全部全部 3 阶排列，共阶排列，共 6 个：个：123,231,312,132,321,213.全部全部 4 阶排列，共阶排列，共 24 个：个：1234,1243,1324,1342,1423,1432,2134,2143,2314,2341,2413,2431,3124,3142,3214,3241,3412,3421,4123,4132,4213,4231,4312,4321.对于数码对于数码 is 和和 it：逆序数逆序数：一个排列中逆序的个数，一个排列中逆序的个数，计算逆序数的方法：
13、计算逆序数的方法：从排列的第一个数起，找出后面从排列的第一个数起，找出后面比此数小的数的个数，累加起来，则得比此数小的数的个数，累加起来，则得逆序数。逆序数。例例 求求 132、436512 的逆序数。的逆序数。解解n 阶排列阶排列：ntsiiiii21)132()436512(排列与逆序排列与逆序)(tsii 大前大前小后小后叫叫逆序逆序)(21nii i记为记为0 1 1 0232 3 10 例例 排列排列 (123n)的逆序数为的逆序数为 0.所有的数都按照自所有的数都按照自然顺序排列着。然顺序排列着。全部的逆序为全部的逆序为43,41,42,31,32,65,61,62,51,52.逆
14、序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列，132 是奇排列，是奇排列，436512 是偶排列。是偶排列。但但 312是偶排列，是偶排列，634512、436521是奇排列。是奇排列。排列与逆序排列与逆序逆序数为奇数的称为逆序数为奇数的称为奇排列奇排列。可见：可见：交换任何两个元素（对换）改变了排列的奇偶性。交换任何两个元素（对换）改变了排列的奇偶性。定理定理 对换改变排列的奇偶性。对换改变排列的奇偶性。定理定理 当当 n2 时时,在全部在全部 n!个个 n 阶排列中，奇偶排阶排列中，奇偶排列的个数相同，列的个数相同，都有都有 n!/2 个。个。证明：证明：令令 X 表示全部偶排列
15、构成的集合，表示全部偶排列构成的集合，Y 表示全部奇排列构成表示全部奇排列构成的集合。我们证明的集合。我们证明 X,Y 之间有一一对应关系，于是二者元素个数之间有一一对应关系，于是二者元素个数相同。相同。设设 i1i2i3in 为一个偶排列，将其映射为为一个偶排列，将其映射为i2i1i3in.这个映射实际上就是交换排列的前两个元素。这个映射实际上就是交换排列的前两个元素。容易证明如下几点：容易证明如下几点：1，这个映射将偶排列映射为奇排列。，这个映射将偶排列映射为奇排列。2，单射。即不同的偶排列映射为不同的奇排列。，单射。即不同的偶排列映射为不同的奇排列。3，满射。即任意奇排列都是某个偶排列的
16、像。，满射。即任意奇排列都是某个偶排列的像。定理定理 若集合若集合 X,Y 之间有一一对应，则集合之间有一一对应，则集合 X,Y 中中包含的元素个数相等包含的元素个数相等。某些原始社会的人，计数能力极为有限，最多可以数到某些原始社会的人，计数能力极为有限，最多可以数到 3，超过超过 3 就只能称为很多、太多、数不清了，等等。就只能称为很多、太多、数不清了，等等。一个随之而来的问题：如果两个原始人要进行一项交易，比一个随之而来的问题：如果两个原始人要进行一项交易，比如说，约定一头牛换一匹马，现在他们有很多牛和马要相互如说，约定一头牛换一匹马，现在他们有很多牛和马要相互交换，比如其中一个人有交换，
17、比如其中一个人有 6 头牛，但这个原始人自己不知道头牛，但这个原始人自己不知道到底是多少头牛。那么，他们就不能数出到底是多少头牛。那么，他们就不能数出 6 头牛和头牛和 6 匹马来匹马来作交易，因为他们不知道作交易，因为他们不知道 6 这个数字。但是交易仍然可以进这个数字。但是交易仍然可以进行。他们在每一头牛的前面放一匹马，这样行。他们在每一头牛的前面放一匹马，这样 6 头牛前就有了头牛前就有了 6 匹马。这些原始人不知道有几头牛、几匹马，但他们知道匹马。这些原始人不知道有几头牛、几匹马，但他们知道牛和马的数目是相同的。牛和马的数目是相同的。事实上，这些原始人是在牛和马之间建立了一个一一对应关
18、事实上，这些原始人是在牛和马之间建立了一个一一对应关系，于是知道二者数目相同。系，于是知道二者数目相同。n 阶行列式定义阶行列式定义2112221122211211aaaaaaaa 21212121)()1(jjjjjjNaa333231232221131211aaaaaaaaa312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 332121321321)()1(jjjjjjjjjNaaa nnnnnnaaaaaaaaa212222111211nnnnjjjjjjjjjNaaa 21212121)()1(2 阶：阶：3 阶：阶：n 阶：
19、阶：1 阶：阶：1111|aa|ijaD 记为：几种特殊行列式：几种特殊行列式：例例nnnnnaaaaaaD21222111 O解解 由定义由定义，nnnnjjjjjjjjjnaaaD21212121)()1(只有只有时，njjn,11,02121 nnjjjaaa,0)12()(21njjjn而nnnaaaD2211 故故nnaaa2211 下三角形行列式下三角形行列式上三角形行列式上三角形行列式等于等于对角线上元素之乘积对角线上元素之乘积类似可得：类似可得：nnnnnaaaaaaD 22211211特别：特别：对角形行列式对角形行列式等于等于对角线上元素之乘积对角线上元素之乘积nnaaa2
20、211 nnaaa2211 nnnaaaD2211 OO例例7000650034102381357511 例例120543215073904826003650002500001 历史上，对行列式的研究始于历史上，对行列式的研究始于18世纪中叶，早于世纪中叶，早于矩阵。矩阵矩阵。矩阵(matrix)这个词是英国数学家这个词是英国数学家 Sylvester 最早使用的，他在最早使用的，他在1850年的一个学术刊物上最先使年的一个学术刊物上最先使用了这个名词。行列式和矩阵在用了这个名词。行列式和矩阵在 19 世纪受到很大世纪受到很大的注意，有上千篇的关于这两个课题的文章，现在的注意，有上千篇的关于这两个课题的文章，现在成为了最基本的数学工具和语言之一。成为了最基本的数学工具和语言之一。333231232221131211aaaaaaaaa 行列式的书写方式并不是一开始就是行列式的书写方式并不是一开始就是我们现在看到的那样。两条竖线是由英我们现在看到的那样。两条竖线是由英国数学家国数学家 Cayley 在在 1841 年引进的。年引进的。接行列式的性质
