1、第一章第一章 向量与坐标向量与坐标 1.1 1.1 向量的概念向量的概念 1.2 1.2 向量的加法向量的加法 1.3 1.3 数量乘向量数量乘向量 1.4 1.4 向量的线性向量的线性 关系与分解关系与分解 1.5 1.5 标架与坐标标架与坐标1.6 1.6 向量在轴上的射影向量在轴上的射影1.7 1.7 两向量的数量积两向量的数量积1.8 1.8 两向量的向量积两向量的向量积1.9 1.9 三向量的混合积三向量的混合积1.10 1.10 三向量的双重向量积三向量的双重向量积1.9 1.9 三向量的混合积三向量的混合积 定义定义1.9.11.9.1 给定空间的三个向量给定空间的三个向量 ,如
2、如果先作前两个向量果先作前两个向量 的向量积的向量积,再作所得向再作所得向量与第三个向量量与第三个向量 的数量积的数量积,最后得到的这最后得到的这个数叫做三向量的混合积个数叫做三向量的混合积,记做记做 或或 或或 .注注:,a b c ,a b c()a bc(,)a b c ()abc()()()0.abbaababa混合积的性质混合积的性质 定理定理1.9.11.9.1 三个不共面的向量三个不共面的向量 的混合的混合积的绝对值等于以积的绝对值等于以 为棱的平行六面体的为棱的平行六面体的体积体积 ,并且当并且当 构成右手系时混合积是构成右手系时混合积是正数正数;当当 构成左手系时构成左手系时
3、,混合积是负数混合积是负数,也就是有也就是有 .当当 是右手系时是右手系时 ;当是当是 左手系时左手系时 .,a b c ,a b c ,a b c ,a b c ()abcVV,a b c 1,a b c 1 证明证明:由于由于 不共面不共面,将其归结到共同始点将其归结到共同始点 ,以以 为棱作平行六面体为棱作平行六面体,则以则以 为边的平行四边形为边的平行四边形的面积的面积 ,高高 ,则则 .由于由于其中其中 .OHabca b,a b c O,a b c ,a b|Sa b|OHhVSh()|cos|cos,a bca b cS c (,)a b c 当当 成右手系时成右手系时,所以所以
4、.当当 成左手系时成左手系时,这时这时所以所以 OHabca b;,O a b c 02()|cos.a bcS cV ;,O a b c 2()|cos.a bcS cV|cos()|cos,hcc 定理定理1.9.21.9.2 共面共面 证明证明:当当 共线共线,即即 或或 时时,结结论显然成立论显然成立.下证非上述情况也成立下证非上述情况也成立.若若 共面共面,由由 ,得得 若若 ,则则 .又又 ,所以所以 共面共面.,a b 0a b0c(),a b c ()0.abc,a b c ,a ba a bb a bc()0.a bc()()0abc a bca baa bb,a b c 定
5、理定理1.9.31.9.3 轮换混合积的三个因子轮换混合积的三个因子,并不并不改变它的值改变它的值,对调任何两个因子经改变积的对调任何两个因子经改变积的符号符号,即即 证明证明:当共面时当共面时,结论显然成立结论显然成立.当不共面时当不共面时,轮换或对调因子轮换或对调因子,混合积的绝混合积的绝对值都等于以为棱的平行六面体的体积对值都等于以为棱的平行六面体的体积.()()()()()().abcbcacabbaccbaacb 当轮换时当轮换时,不会把右手系变为左手系不会把右手系变为左手系,也不会也不会把左手系变为右手系把左手系变为右手系,因而混合积不变因而混合积不变;当对当对调任意两因子的位置时
6、调任意两因子的位置时,将右手系变为左手将右手系变为左手系或将左手系变为右手系系或将左手系变为右手系,所以混合积要改所以混合积要改变符号变符号.推论推论 证证:()().a bcab c()()()()().a bcabcbcab caab c 例例1 1 设设 满足满足 ,试证试证 共面共面.证明证明:由由 ,得得即即而而 所以所以 ,所以所以 共面共面.,a b c 0a bb cca ,a b c 0a bb cca ()0a bb ccacc ()()()0.a bcb cccac ()0a bc()()0,b cccac ,a b c 混合积的坐标运算混合积的坐标运算 定理定理1.9.
7、41.9.4 若若 ,则则 证明证明:由定理由定理1.8.61.8.6有有111222,aX iY jZ k bX iY jZ k 333cX iY jZ k111222333().XYZabcXYZXYZ111111222222,YZZXXYa bijkYZZXXY111111333222222()()YZZXXYabca bcXYZYZZXXY 111222333.XYZXYZXYZ 注注:由定理由定理1.9.2,1.9.2,即得即得 共面共面,a b c 1112223330.XYZXYZXYZ此即为定理此即为定理1.5.51.5.5结论结论.例例2 2 已知四面体已知四面体 的顶点坐标
8、的顶点坐标 ,求它的体积求它的体积.解解:由初等几何可知由初等几何可知,四面体四面体 的体的体积积 等于以等于以 为棱的平行六面体的为棱的平行六面体的体积的体积的 ,则则而而 ,(0,0,0),AABCD(6,0,6),(4,3,0),(2,1,3)BCDABCD,AB AC AD16V1|(,)|6VAB AC AD 6,0,6,4,3,0,2,1,3ABACAD 则则从而从而606(,)4306.213AB AC AD 1|(,)|1.6VAB AC AD 例例3 3 设设 不共面不共面,求求 对对 的分解式的分解式.解解:因为因为 不共面不共面,由定理由定理1.4.31.4.3有有上式两边与上式两边与 作数量积作数量积,则有则有而而 ,则则 .又又 不不共面共面,则则 .,a b c ,a b c d,a b c .dxaybzc b c()()()().dbcx abcy bbcz cbc()()0bbccbc()()dbcx abc,a b c ()0abc 所以有所以有同理有同理有().()dbcxabc(),()adcyabc().()abdzabc()()().()()()dbcadcabddabcabcabcabc 注注:这是克莱姆法则的几何表示这是克莱姆法则的几何表示.
