1、第第4 4章章 曲线和曲面曲线和曲面 4.1 4.1 曲线和曲面基础曲线和曲面基础4.2 4.2 二次插值样条曲线二次插值样条曲线4.3 4.3 三次插值样条曲线三次插值样条曲线4.4 Bezier4.4 Bezier曲线和曲面曲线和曲面4.5 B4.5 B样条曲线样条曲线l 曲线或曲面分为两大类：曲线或曲面分为两大类：规则曲线或曲面：规则曲线或曲面：可以用一个确切的曲线或曲面方程式可以用一个确切的曲线或曲面方程式来表示。来表示。比如，圆和球面、椭圆和椭球面、抛物线和抛物比如，圆和球面、椭圆和椭球面、抛物线和抛物面、正弦曲线、摆线、螺线等。面、正弦曲线、摆线、螺线等。不规则曲线或曲面：不规则曲
2、线或曲面：不能确切给出描述整个曲线或曲面不能确切给出描述整个曲线或曲面的方程，是由实际测量中得到的一系列离散数据点用拟合方的方程，是由实际测量中得到的一系列离散数据点用拟合方法来逼近的。一般采用分段的多项式参数方程来表示，由此法来逼近的。一般采用分段的多项式参数方程来表示，由此形成一条光滑连续的曲线或曲面，称为形成一条光滑连续的曲线或曲面，称为样条曲线或曲面样条曲线或曲面。比。比如如HermiteHermite样条曲线或曲面、样条曲线或曲面、BezierBezier样条曲线或曲面、样条曲线或曲面、B B样条样条曲线或曲面等。曲线或曲面等。4.1 4.1 曲线和曲面基曲线和曲面基础础 一、直角坐
3、标表示直角坐标表示1 1、显式：、显式：y y=f f(x x)，如，如y y=sin(sin(x x)。2 2、隐式：、隐式：f f(x x,y y)=0 0，如，如 x x2 2 +y y2 2=1 1。3 3、转换成参数坐标表示：、转换成参数坐标表示：一般形式：一般形式：x x=x x(t t)y y=y y(t t)显式表示显式表示y y=f f(x x)的曲线转换成参数坐标表示：的曲线转换成参数坐标表示：x x=x x y y=f f(x x)4.1.1 4.1.1 规则曲线或曲面的表示法规则曲线或曲面的表示法 隐式表示隐式表示f f(x x,y y)=0 0的曲线转换成参数坐标表示
4、：的曲线转换成参数坐标表示：常用的重要曲线基本上都能用参数坐标表示。例如，星形线常用的重要曲线基本上都能用参数坐标表示。例如，星形线的直角坐标表示（隐式）：的直角坐标表示（隐式）：x x2 2/3 3+y y2 2/3 3 =R R2 2/3 3 （R R正正常数）常数）写成参数坐标表示：写成参数坐标表示：x x=R Rcoscos3 3 y y=R Rsinsin3 3 （0 02 2）4.1.1 4.1.1 规则曲线或曲面的表示法规则曲线或曲面的表示法 二、极坐标表示二、极坐标表示对任意极坐标曲线对任意极坐标曲线=()，可利用极坐标与直角坐标变，可利用极坐标与直角坐标变换关系式：换关系式：
5、x x=coscos y y=sinsin 将此曲线转换成参数坐标表示为：将此曲线转换成参数坐标表示为：x x=()cos)cos y y=()sin)sin4.1.1 4.1.1 规则曲线或曲面的表示法规则曲线或曲面的表示法 极坐标与直角坐标变换关系式为：极坐标与直角坐标变换关系式为：x x=coscos y y=sinsin 将将=a=a代入上面两式，阿基米德螺线用参数坐标表示为：代入上面两式，阿基米德螺线用参数坐标表示为：x x=aacoscos y y=aasinsin 例如，重要曲线阿基米德螺线的极坐标表示：例如，重要曲线阿基米德螺线的极坐标表示：=a a （a a正常数）正常数）4
6、.1.1 4.1.1 规则曲线或曲面的表示法规则曲线或曲面的表示法 三、参数坐标表示三、参数坐标表示曲线的参数坐标一般表示为：曲线的参数坐标一般表示为：x x=x x(t t)y y=y y(t t)例如，弹道曲线：例如，弹道曲线：x x=V V0 0t tcoscos y y =V V0 0t ts i ns i n g t g t2 2/2 2 （0 0tt2 2V V0 0SinSin/g/g）式中式中V V0 0、g g、均为常数，均为常数，t t 为参数变量。为参数变量。4.1.1 4.1.1 规则曲线或曲面的表示法规则曲线或曲面的表示法 4.1.2 4.1.2 参数样条曲线或曲面的
7、常用术参数样条曲线或曲面的常用术语语 l 常用的二次或三次参数样条曲线或曲面形式如下：常用的二次或三次参数样条曲线或曲面形式如下：二次参数样条曲线：二次参数样条曲线：P P(t t)=)=A A0 0 +A A1 1t t+A A2 2t t2 2三次参数样条曲线：三次参数样条曲线：P P(t t)=)=A A0 0 +A A1 1t t+A A2 2t t2 2 +A A3 3t t3 3 1 1型值点：型值点：是指通过测量或计算得到的曲线或曲面上少量描述其几何形是指通过测量或计算得到的曲线或曲面上少量描述其几何形状的数据点。状的数据点。2 2控制点：控制点：是指用来控制或调整曲线或曲面形状
8、的特殊点，曲线或曲面是指用来控制或调整曲线或曲面形状的特殊点，曲线或曲面本身不一定通过该控制点。本身不一定通过该控制点。3 3插值与逼近插值与逼近插值方法要求建立的曲线或曲面数学模型，严格通过已知的插值方法要求建立的曲线或曲面数学模型，严格通过已知的每一个型值点。而逼近方法建立的曲线或曲面数学模型只是每一个型值点。而逼近方法建立的曲线或曲面数学模型只是近似地接近已知的型值点。近似地接近已知的型值点。4.1.2 4.1.2 参数样条曲线或曲面的常用术参数样条曲线或曲面的常用术语语 4 4拟合拟合是指在曲线或曲面的设计过程中，用插值或逼近的方法使生是指在曲线或曲面的设计过程中，用插值或逼近的方法使
9、生成的曲线或曲面达到某些设计要求，如在允许的范围内贴近成的曲线或曲面达到某些设计要求，如在允许的范围内贴近原始的型值点或控制点序列，或曲线看上去很光滑等。拟合原始的型值点或控制点序列，或曲线看上去很光滑等。拟合是插值与逼近两种设计方法的统称。是插值与逼近两种设计方法的统称。5 5参数连续性与几何连续性参数连续性与几何连续性设计一条复杂曲线时，经常通过多段曲线组合而成，这需要设计一条复杂曲线时，经常通过多段曲线组合而成，这需要解决曲线段之间光滑连接的问题。为保证分段参数曲线从一解决曲线段之间光滑连接的问题。为保证分段参数曲线从一段到另一段平滑过渡，可以在连接点处要求各种参数连续性段到另一段平滑过
10、渡，可以在连接点处要求各种参数连续性条件。条件。4.1.2 4.1.2 参数样条曲线或曲面的常用术参数样条曲线或曲面的常用术语语 0 0阶参数连续性：记作阶参数连续性：记作C C0 0连续，是指曲线相连，即前一个连续，是指曲线相连，即前一个曲线段的终点与后一个曲线段的起点相同。曲线段的终点与后一个曲线段的起点相同。P(1)=Q(0)P(1)=Q(0)一阶参数连续性：记作一阶参数连续性：记作C C1 1连续，是指两个相邻曲线段在连连续，是指两个相邻曲线段在连接点处有相同的一阶导数。接点处有相同的一阶导数。P(1)=Q(0)P(1)=Q(0)二阶参数连续性：记作二阶参数连续性：记作C C2 2连续
11、，是指两个相邻曲线段在连连续，是指两个相邻曲线段在连接点处有相同的一阶和二阶导数。接点处有相同的一阶和二阶导数。P(1)=Q(0)P(1)=Q(0)且且P(1)=Q(0)P(1)=Q(0)4.1.2 4.1.2 参数样条曲线或曲面的常用术参数样条曲线或曲面的常用术语语 连接两个相邻曲线段的另一个方法是指定几何连续性条件。连接两个相邻曲线段的另一个方法是指定几何连续性条件。这种情况下，只需相邻两个曲线段在连接点处的参数导数成这种情况下，只需相邻两个曲线段在连接点处的参数导数成比例而不是相等。比例而不是相等。0 0阶几何连续性：记为阶几何连续性：记为G G0 0连续，与连续，与C C0 0连续相同
12、，即前一个曲连续相同，即前一个曲线段的终点与后一个曲线段的起点相同。线段的终点与后一个曲线段的起点相同。P(1)=Q(0)P(1)=Q(0)4.1.2 4.1.2 参数样条曲线或曲面的常用术参数样条曲线或曲面的常用术语语 一阶几何连续性：记为一阶几何连续性：记为G G1 1连续，指两个相邻曲线段在连接连续，指两个相邻曲线段在连接点处的一阶导数成比例但不一定相等。点处的一阶导数成比例但不一定相等。P(1)=P(1)=Q(0)Q(0)(0)0)二阶几何连续性：记为二阶几何连续性：记为G G2 2连续，指两个相邻曲线段在连接连续，指两个相邻曲线段在连接点处的一阶导数和二阶导数均成比例但不一定相等。点
13、处的一阶导数和二阶导数均成比例但不一定相等。P(1)=P(1)=Q(0)Q(0)且且P(1)=P(1)=Q(0)(Q(0)(00，0)0)4.1.2 4.1.2 参数样条曲线或曲面的常用术参数样条曲线或曲面的常用术语语 4.2 4.2 二次插值样条曲线二次插值样条曲线 在拟合生成样条曲线的众多方法中，首先来讨论用插值方在拟合生成样条曲线的众多方法中，首先来讨论用插值方法生成通过给定离散型值点的二次样条曲线，即抛物样条法生成通过给定离散型值点的二次样条曲线，即抛物样条曲线。曲线。l 二次插值样条曲线的数学表达式二次插值样条曲线的数学表达式l 二次插值样条曲线的加权合成二次插值样条曲线的加权合成l
14、 二次插值样条曲线的端点条件二次插值样条曲线的端点条件l 二次插值样条曲线的性质二次插值样条曲线的性质4.2.1 4.2.1 二次插值样条曲线的数学表达式二次插值样条曲线的数学表达式 l 已知不在同一直线上的三点已知不在同一直线上的三点P P1 1、P P2 2、P P3 3，要求通过给定，要求通过给定的这三点定义一条抛物线。的这三点定义一条抛物线。P1P2P3l 二次样条曲线的参数化表达式为：二次样条曲线的参数化表达式为：P P(t t)=)=A A1 1 +A A2 2t t+A A3 3t t2 2 (0(0tt1)1)(4-1)(4-1)A A1 1、A A2 2、A A3 3为表达式
15、的系数，且是向量形式。若是二维平面为表达式的系数，且是向量形式。若是二维平面曲线，则为二维向量；若是三维空间曲线，则为三维向量。曲线，则为二维向量；若是三维空间曲线，则为三维向量。l 确定系数确定系数A A1 1、A A2 2、A A3 3的三个独立条件：的三个独立条件：该曲线过该曲线过P P1 1、P P2 2、P P3 3三个点，并且：三个点，并且：曲线段以曲线段以P P1 1点为始点。即当参变量点为始点。即当参变量t t=0=0时，曲线过时，曲线过P P1 1点；点；曲线段以曲线段以P P3 3点为终点。即当参变量点为终点。即当参变量t t=1=1时，曲线过时，曲线过P P3 3点；点；
16、当参变量当参变量t t=0.5=0.5时，曲线过时，曲线过P P2 2点，且切矢量等于点，且切矢量等于P P3 3P P1 1。P1P2P3QAP2t=0t=0.5t=14.2.1 4.2.1 二次插值样条曲线的数学表达式二次插值样条曲线的数学表达式 l 根据以上设定的三个独立条件，可以列出方程组：根据以上设定的三个独立条件，可以列出方程组：t t=0 0：P P(0)=(0)=A A1 1 =P P1 1 t t=1 1：P P(1)=(1)=A A1 1+A A2 2+A A3 3 =P P3 3 (4-2)(4-2)t t=0 0.5 5：P P(0(0.5)=5)=A A1 1+0+0
17、.5 5A A2 2+0+0.2525A A3 3 =P P2 2 解得三个系数解得三个系数A A1 1、A A2 2、A A3 3分别为：分别为：4.2.1 4.2.1 二次插值样条曲线的数学表达式二次插值样条曲线的数学表达式 A A1 1 =P P1 1 A A2 2 =4 4P P2 2 P P3 3 3 3P P1 1 (4-3)(4-3)A A3 3 =2 2P P1 1+2+2P P3 3 4 4P P2 2l 把求出的三个系数代入到式把求出的三个系数代入到式(4-1)(4-1)中，可得：中，可得：P P(t t)=)=A A1 1 +A A2 2t t+A A3 3t t2 2
18、=P P1 1 +(4+(4P P2 2 P P3 3 3 3P P1 1)t t+(2(2P P1 1+2+2P P3 3 4 4P P2 2)t t2 2 (0(0tt1)1)=(2(2t t2 2 3 3t t+1)1)P P1 1 +(+(4 4t t2 2+4 4t t)P P2 2 +(2(2t t2 2 t t)P P3 3 (4-4)(4-4)l 把式把式(4-4)(4-4)改写成矩阵形式为：改写成矩阵形式为：001143242321PPP P(t)=t2 t 1(4-5)4.2.1 4.2.1 二次插值样条曲线的数学表达式二次插值样条曲线的数学表达式 l 式式(4-5)(4-
19、5)中的中的P P(t t)是一个点向量，在二维平面上它包含是一个点向量，在二维平面上它包含了两个坐标值了两个坐标值 x x(t t),),y y(t t)，故式，故式(4-5)(4-5)的直观形式可以写的直观形式可以写成如下形式：成如下形式：001143242321321yyyxxx x(t)y(t)=t2 t 1(4-6)4.2.1 4.2.1 二次插值样条曲线的数学表达式二次插值样条曲线的数学表达式 l 例题：已知平面三点例题：已知平面三点P P1 1(10,5)(10,5)，P P2 2(20,20)(20,20)，P P3 3(40,15)(40,15)，求这求这3 3点确定的二次插
20、值样条曲线。点确定的二次插值样条曲线。解：曲线方程为：解：曲线方程为：即：即：(0 t 1)4.2.2 4.2.2 二次插值样条曲线的加权合成二次插值样条曲线的加权合成 l 设有一个离散型值点列设有一个离散型值点列P Pi i(i i=1,2,=1,2,n n)，可以按式，可以按式(4-5)(4-5)每经过相邻三点作一段抛物线，由于有每经过相邻三点作一段抛物线，由于有n n个型值点，个型值点，所以像这样的抛物线段一共可以作出所以像这样的抛物线段一共可以作出n n22条。条。P1P2P3P4P5Pn-2Pn-1Pn产生产生n2条抛物线条抛物线段段l 第第i i条抛物线段经过条抛物线段经过P Pi
21、 i、P Pi i+1+1、P Pi i+2+2三点，其表达式为：三点，其表达式为：S Si i(t ti i)=(2)=(2t ti i2 233t ti i+1)+1)P Pi i+(4+(4t ti i44t ti i2 2)P Pi i+1+1+(2+(2t ti i2 2t ti i)P Pi i+2+2 (0(0tti i1)1)(4-7)(4-7)l 第第i i+1+1条抛物线段经过条抛物线段经过P Pi i+1+1、P Pi i+2+2、P Pi i+3+3三点，其表达式为：三点，其表达式为：S Si i+1+1(t ti i+1+1)=(2)=(2t ti i+1+12 23
22、3t ti i+1+1+1)+1)P Pi i+1+1+(4+(4t ti i+1+144t ti i+1+12 2)P Pi i+2+2+(2+(2t ti i+1+12 2t ti i+1+1)P Pi i+3+3 (0(0tti i+1+11)(4-8)1)(4-8)经过四点所画出的两条抛物线段经过四点所画出的两条抛物线段Si(ti)和和Si+1(ti+1)的图形的图形PiPi+1Pi+2Pi+3SiSi+14.2.2 4.2.2 二次插值样条曲线的加权合成二次插值样条曲线的加权合成 l 一般来说，每两段曲线之间的搭接区间，两条抛物线是一般来说，每两段曲线之间的搭接区间，两条抛物线是不可
23、能重合的。不可能重合的。S Si i和和S Si i+1+1两条抛物线在两条抛物线在P Pi i+1+1和和P Pi i+2+2两点之间为两点之间为搭接区间，在该区间内，搭接区间，在该区间内，S Si i和和S Si i+1+1不太可能自然地重合成一不太可能自然地重合成一条曲线。条曲线。l 对于拟合曲线来说，整个型值点列必须只能用一条光滑对于拟合曲线来说，整个型值点列必须只能用一条光滑曲线连接起来。因此，在曲线连接起来。因此，在S Si i和和S Si i+1+1两条曲线的搭接区间内，两条曲线的搭接区间内，必须有一个方法能够让它们按照一定的法则结合成一条曲必须有一个方法能够让它们按照一定的法则
24、结合成一条曲线，这样结合的方法就是线，这样结合的方法就是加权合成加权合成。4.2.2 4.2.2 二次插值样条曲线的加权合成二次插值样条曲线的加权合成 PiPi+1Pi+2Pi+3SiSi+1l 在加权合成过程中，首先要选择两个合适的权函数。这在加权合成过程中，首先要选择两个合适的权函数。这里选择的两个权函数分别设为里选择的两个权函数分别设为f f(T T)和和g g(T T)，加权合成后的，加权合成后的曲线用曲线用P Pi i+1+1(t t)表示，则：表示，则：P Pi i+1+1(t t)=f f(T)(T)SSi i(t ti i)+)+g g(T T)SSi i+1+1(t ti i
25、+1+1)(4-9)(4-9)4.2.2 4.2.2 二次插值样条曲线的加权合成二次插值样条曲线的加权合成 l 在抛物样条曲线中，权函数在抛物样条曲线中，权函数f f(T T)和和g g(T T)都是简单的一次都是简单的一次函数，且它们之间存在互补性。它们分别为：函数，且它们之间存在互补性。它们分别为：f f(T T)=1)=1T T g g(T T)=)=T T (0(0T T1)1)l 这样，式这样，式(4-9)(4-9)可改写为：可改写为：P Pi i+1+1(t t)=(1)=(1T T)S Si i(t ti i)+T TS Si i+1+1(t ti i+1+1)(4-10)(4-
26、10)l 式式(4-10)(4-10)中包含了三个参变量中包含了三个参变量T T、t ti i、t ti i+1+1，必须要统一这，必须要统一这三个参变量：三个参变量：4.2.2 4.2.2 二次插值样条曲线的加权合成二次插值样条曲线的加权合成 参变量参变量取值范围取值范围搭接处取值范围搭接处取值范围ti0,10.5,1ti+10,10,0.5T0,10,1l 这里选择这里选择 t t 作为统一后的参变量，把原有的三个参变量作为统一后的参变量，把原有的三个参变量T T、t ti i、t ti i+1+1都化成唯一含有都化成唯一含有t t的形式，并给的形式，并给t t 规定一个合适规定一个合适的
27、取值范围。假设的取值范围。假设t t的取值范围为：的取值范围为：00t t0.50.5，则三个参变，则三个参变量可统一形式为：量可统一形式为：4.2.2 4.2.2 二次插值样条曲线的加权合成二次插值样条曲线的加权合成 T T=2=2t t t ti i=0.5+=0.5+t t 00t t0.50.5 t ti i+1+1=t tl 则式则式(4-10)(4-10)可根据新的参变量可根据新的参变量t t 改写成如下形式：改写成如下形式：P Pi i+1+1(t t)=(12)=(12t t)S Si i(t t+0.5)+0.5)+2 2t tS Si i+1+1(t t)(4-11)(4-
28、11)其中：其中：S Si i(t t+0.5)=(2+0.5)=(2t t2 2t t)P Pi i+(14+(14t t2 2)P Pi i+1+1+(2+(2t t2 2+t t)P Pi i+2+2S Si i+1+1(t t)=(2)=(2t t2 233t t+1)+1)P Pi i+1+1+(4+(4t t44t t2 2)P Pi i+2+2+(2+(2t t2 2t t)P Pi i+3+3 4.2.2 4.2.2 二次插值样条曲线的加权合成二次插值样条曲线的加权合成 把以上两式代入式把以上两式代入式(4-11)(4-11)，展开、整理后可得：，展开、整理后可得：P Pi i
29、+1+1(t t)=(4)=(4t t3 3+4+4t t2 2 t t)P Pi i+(12+(12t t3 31010t t2 2+1)+1)P Pi i+1+1 +(12+(12t t3 3+8+8t t2 2+t t)P Pi i+2+2+(4+(4t t3 3 2 2t t2 2)P Pi i+3+3 (i i=1=1，2 2，n n3)3)(0(0t t0.5)(4-12)0.5)(4-12)PiPi+1Pi+2Pi+3Pi+1(t)每相邻的四个点可以决定中间的一段抛物样条曲线每相邻的四个点可以决定中间的一段抛物样条曲线l 假如一个离散点列假如一个离散点列P Pi i具有具有n n
30、个型值点，即个型值点，即i i=1=1，2 2，n n。那么根据式那么根据式(4-12)(4-12)，加权合成后可以生成，加权合成后可以生成n n33段抛物样条曲段抛物样条曲线。即式线。即式(4-12)(4-12)中的中的i i的取值范围为：的取值范围为：i i=1=1n n33。4.2.2 4.2.2 二次插值样条曲线的加权合成二次插值样条曲线的加权合成 4.2.3 4.2.3 二次插值样条曲线的端点条件二次插值样条曲线的端点条件 l 根据式根据式(4-12)(4-12)，在全部型值点列，在全部型值点列 P Pi i(i i=1=1，2 2，n n)中，中，只能得到只能得到n n33段曲线。
31、但段曲线。但n n个型值点之间应该有个型值点之间应该有n n11个区段。个区段。主要是因为点列的首、尾两段曲线主要是因为点列的首、尾两段曲线P P1 1P P2 2和和P Pn n11P Pn n段，由于缺乏段，由于缺乏连续相邻的四点这样的条件而无法产生。连续相邻的四点这样的条件而无法产生。l 为了要产生首尾两段曲线，可以在原点列的两端各增加一为了要产生首尾两段曲线，可以在原点列的两端各增加一个辅助点个辅助点P P0 0和和P Pn n+1+1。P0P1P2Pn-1PnPn+1增加点增加点Pn+1可以画出可以画出Pn-1Pn段段增加点增加点P0可以画出可以画出P1P2段段l 增加点增加点P P
32、0 0和点和点P Pn+1n+1的三种方法：的三种方法：已知两端的切矢已知两端的切矢PP1 1和和PPn n在由在由P P1 1、P P2 2、P P3 3三点所确定的抛物线中，过三点所确定的抛物线中，过P P2 2点曲线的切矢点曲线的切矢 PP 2 2 =P P3 3P P1 1 即：即：P P1 1=P P3 3PP 2 2根据上面的原理可得：根据上面的原理可得：PP1 1=P P2 2P P0 0 P P0 0=P P2 2PP1 1 PPn n =P Pn n+1+1P Pn n11 P Pn n+1+1=P Pn n11+PPn n这种端点情况，一般适用于所求的曲线要和已经存在的曲线
33、这种端点情况，一般适用于所求的曲线要和已经存在的曲线或直线相连接。或直线相连接。4.2.3 4.2.3 二次插值样条曲线的端点条件二次插值样条曲线的端点条件 自由端条件自由端条件让补点让补点P P0 0 和和P Pn n+1+1与原两端点与原两端点P P1 1 和和P Pn n分别重合，即：分别重合，即：P P0 0=P P1 1 P Pn n+1+1=P Pn n 这种补点方法称为自由端条件，该方法一般适用于对曲线的这种补点方法称为自由端条件，该方法一般适用于对曲线的两端没有特殊要求。两端没有特殊要求。4.2.3 4.2.3 二次插值样条曲线的端点条件二次插值样条曲线的端点条件 形成封闭曲线
34、形成封闭曲线在在n n个型值点之间形成封闭曲线，要生成个型值点之间形成封闭曲线，要生成n n个曲线段，而不个曲线段，而不是原来的是原来的n n11段。所以在补点中要段。所以在补点中要增增加加3 3个点，首先让首尾个点，首先让首尾两点重合，然后各向前后延长一点，即：两点重合，然后各向前后延长一点，即：P Pn n+1+1=P P1 1 P P0 0=P Pn n P Pn n+2+2=P P2 2 4.2.3 4.2.3 二次插值样条曲线的端点条件二次插值样条曲线的端点条件 P0P1P2Pn-1PnPn+14.2.4 4.2.4 二次插值样条曲线的性质二次插值样条曲线的性质 l 二次插值样条曲线
35、的连续性问题：二次插值样条曲线的连续性问题：1 1、相邻两曲线段、相邻两曲线段P Pi i+1+1(t)(t)和和P Pi i+2+2(t)(t)在型值点在型值点P P处相连。并且处相连。并且P Pi i+1+1(t t)在在P P点处的参变量点处的参变量t t=0.5=0.5，而，而P Pi i+2+2(t t)在在P P点处的参变量点处的参变量t t=0=0。2 2、满足、满足C C1 1连续，即连续，即P Pi i+1+1(0.5)=(0.5)=P Pi i+2+2(0)=(0)=P Pi+3i+3-P Pi+1i+1Pi+1(t)PPi+2(t)4.2.4 4.2.4 二次插值样条曲线
36、的性质二次插值样条曲线的性质 P Pi i+1+1(t t)=(-4)=(-4t t3 3+4+4t t2 2 t t)P Pi i+(12+(12t t3 3 10 10t t2 2+1)+1)P Pi i+1+1 +(-12+(-12t t3 3+8+8t t2 2+t t)P Pi i+2+2+(4+(4t t3 3 2 2t t2 2)P Pi i+3 +3 (0(0t t0.5)0.5)P Pi i+1+1(t t)=(-12)=(-12t t2 2+8+8t t 1)1)P Pi i+(36+(36t t2 2 20 20t t)P Pi i+1+1 +(-36+(-36t t2
37、2+16+16t t+1)+1)P Pi i+2+2+(12+(12t t2 2 4 4t t)P Pi i+3+3当当t t=0.5=0.5时：时：P Pi i+1+1(0.5)(0.5)=P Pi i+3+3 P Pi i+1+1P Pi i+2+2(t t)=(-12)=(-12t t2 2+8+8t t 1)1)P Pi i+1+1+(36+(36t t2 2 2020t t)P Pi i+2+2 +(-36+(-36t t2 2+16+16t t+1)+1)P Pi i+3+3+(12+(12t t2 2 4 4t t)P Pi i+4+4当当t t=0=0时：时：P Pi i+2+
38、2(0)(0)=P Pi i+3+3 P Pi i+1+1因此得出因此得出P Pi i+1+1(0.5)=(0.5)=P Pi i+2+2(0)(0)，说明可以达到，说明可以达到C C1 1连续。连续。4.3 4.3 三次插值样条曲线三次插值样条曲线 三次插值样条曲线在灵活性和计算速度之间进行了合理的折三次插值样条曲线在灵活性和计算速度之间进行了合理的折中。与更高次样条相比，三次插值样条只需较少的计算和存中。与更高次样条相比，三次插值样条只需较少的计算和存储，且较稳定。与二次插值样条相比，三次插值样条在模拟储，且较稳定。与二次插值样条相比，三次插值样条在模拟任意形状时显得更灵活。任意形状时显得
39、更灵活。l 三次插值样条曲线由分段的三次多项式来描述。设其参变三次插值样条曲线由分段的三次多项式来描述。设其参变量为量为t t，则分段三次插值样条曲线表达式的一般形式为：，则分段三次插值样条曲线表达式的一般形式为：P P(t t)=)=B B1 1 +B B2 2t t +B B3 3t t2 2 +B+B4 4t t3 3 (0(0ttttm m)(4-13)(4-13)其中，其中，P P(t ti i)=x x(t ti i)y y(t ti i)z z(t ti i)可以看作三次插值样可以看作三次插值样条曲线上某一点的位置向量，条曲线上某一点的位置向量，t ti i是该点的参变量，是该点
40、的参变量，x x(t ti i)、y y(t ti i)、z z(t ti i)可以看作是该点的坐标值。可以看作是该点的坐标值。式式(4-13)(4-13)中的中的B B1 1、B B2 2、B B3 3、B B4 4为四个待定系数。必须确定这为四个待定系数。必须确定这四个系数，这需要设定四个独立条件。四个系数，这需要设定四个独立条件。l n n+1+1个型值点产生个型值点产生n n 段曲线，每段曲线都需要确定四个系段曲线，每段曲线都需要确定四个系数。确定系数的不同方法导致不同的三次插值样条曲线：数。确定系数的不同方法导致不同的三次插值样条曲线：三次自然样条曲线三次自然样条曲线 Hermite
41、Hermite样条曲线样条曲线 CardinalCardinal样条曲线样条曲线4.3 4.3 三次插值样条曲线三次插值样条曲线 4.3.1 4.3.1 三次自然样条曲线三次自然样条曲线 l 三次自然样条曲线是最早用于图形应用的三次插值样条曲三次自然样条曲线是最早用于图形应用的三次插值样条曲线。线。l 三次自然样条曲线具有三次自然样条曲线具有C C2 2连续性。连续性。l n n+1+1个型值点（个型值点（P P0 0、P P1 1、P P2 2P Pn n）插值产生）插值产生n n段曲线，每段曲线，每段曲线有段曲线有4 4个系数，共有个系数，共有4 4n n个多项式系数需要确定。个多项式系数
42、需要确定。4.3.1 4.3.1 三次自然样条曲线三次自然样条曲线 l 4 4n n个多项式系数的确定：个多项式系数的确定：对于每个内型值点对于每个内型值点(P P1 1、P P2 2P Pn-1n-1，共，共n n-1-1个个)有有4 4个边界个边界条件：在该型值点两侧的两个相邻曲线段在该点处具有相同条件：在该型值点两侧的两个相邻曲线段在该点处具有相同的一阶和二阶导数，并且两个曲线段都要通过该点。的一阶和二阶导数，并且两个曲线段都要通过该点。4(4(n n-1)-1)个方程个方程 曲线起点为第一个型值点曲线起点为第一个型值点P P0 0，曲线终点为最后一个型值，曲线终点为最后一个型值点点P
43、Pn n。22个方程个方程 在在P P0 0 和和 P Pn n两点处设二阶导数为两点处设二阶导数为0 0。22个方程个方程l 三次自然样条曲线能够做到曲线通过所有型值点。三次自然样条曲线能够做到曲线通过所有型值点。l 缺点：缺点：必须解方程组。必须解方程组。整条曲线受所有型值点控制，如果型值点中有任何一个整条曲线受所有型值点控制，如果型值点中有任何一个改动，则整条曲线都受影响。因此，不允许改动，则整条曲线都受影响。因此，不允许“局部控制局部控制”。在实际应用中很少采用三次自然样条曲线。在实际应用中很少采用三次自然样条曲线。4.3.1 4.3.1 三次自然样条曲线三次自然样条曲线 4.3.2
44、Hermite4.3.2 Hermite样条曲线样条曲线 l Hermite Hermite样条曲线是以法国数学家样条曲线是以法国数学家Charles HermiteCharles Hermite命名命名的，它是一个分段三次多项式，并且在每个型值点处有给的，它是一个分段三次多项式，并且在每个型值点处有给定的切线。定的切线。l 与三次自然样条曲线不同，与三次自然样条曲线不同，HermiteHermite样条曲线可以局部调样条曲线可以局部调整，因为每个曲线段仅依赖于端点约束。整，因为每个曲线段仅依赖于端点约束。l 整条曲线通过所有的型值点，对于每个曲线段来说，它整条曲线通过所有的型值点，对于每个曲
45、线段来说，它通过两个相邻的型值点。通过两个相邻的型值点。4.3.2 Hermite4.3.2 Hermite样条曲线样条曲线 l Hermite Hermite样条曲线段的确定：样条曲线段的确定：已知：设曲线段的起点和终点分别为已知：设曲线段的起点和终点分别为P P0 0和和P P1 1，并且曲线，并且曲线段在两端点处的切矢量分别为段在两端点处的切矢量分别为PP0 0和和PP1 1。参变量。参变量t t是在两个是在两个端点取值端点取值0 0和和1 1之间变化。之间变化。P0(t=0)P0P1(t=1)P1 对于每个三次曲线段，有了四个独立条件：两个端点的对于每个三次曲线段，有了四个独立条件：两
46、个端点的位置向量以及曲线段在两端点处的切矢量。根据这四个条件位置向量以及曲线段在两端点处的切矢量。根据这四个条件可以得到方程组，求出分段表达式可以得到方程组，求出分段表达式(4-13)(4-13)中的四个系数：中的四个系数：P P0 0=B B1 1+B B2 2t t+B B3 3t t2 2+B+B4 4t t3 3=B B1 1 (当当t t=0)=0)P P1 1=B B1 1+B B2 2t t+B B3 3t t2 2+B B4 4t t3 3=B B1 1+B B2 2+B B3 3+B B4 4 (当当t t=1)=1)PP0 0=B B2 2+2 2B B3 3t t+3 3
47、B B4 4t t2 2=B B2 2 (当当t t=0)(4-14)=0)(4-14)PP1 1=B B2 2+2 2B B3 3t t+3 3B B4 4t t2 2=B B2 2 +2+2B B3 3+3+3B B4 4 (当当t t=1)=1)4.3.2 Hermite4.3.2 Hermite样条曲线样条曲线 式式(4-14)(4-14)写成矩阵形式：写成矩阵形式：1010PPPP32100010111100014321BBBB (4-15)=求解上述方程组中的求解上述方程组中的B B1 1、B B2 2、B B3 3、B B4 4，可得，可得HermiteHermite样条样条曲线
48、的矩阵表达式：曲线的矩阵表达式：00010100123311221010PPPP (4-16)P(t)=t3 t2 t 14.3.2 Hermite4.3.2 Hermite样条曲线样条曲线 将式将式(4-16)(4-16)展开，得到第展开，得到第k k段段HermiteHermite样条曲线的表达式：样条曲线的表达式：P P(t t)=)=P Pk k(2(2t t3 3-3-3t t2 2+1)+1)+P Pk+1k+1(-2(-2t t3 3+3+3t t2 2)+)+P Pk k(t t3 3-2-2t t2 2+t t)+P Pk+1k+1(t t3 3-t t2 2)(4-17)(
49、4-17)l Hermite Hermite样条曲线能局部修改，对某些数字化应用有用。样条曲线能局部修改，对某些数字化应用有用。但对计算机图形学中的大部分问题而言，除了型值点坐标外，但对计算机图形学中的大部分问题而言，除了型值点坐标外，更好的做法是不需要输入曲线斜率值或其它几何信息就能生更好的做法是不需要输入曲线斜率值或其它几何信息就能生成样条曲线。因此，出现了成样条曲线。因此，出现了CardinalCardinal样条，它不需要输入控样条，它不需要输入控制点上的曲线导数值，而是采用控制点的坐标位置来计算导制点上的曲线导数值，而是采用控制点的坐标位置来计算导数。数。4.3.2 Hermite4
50、.3.2 Hermite样条曲线样条曲线 4.3.3 Cardinal4.3.3 Cardinal样条曲线样条曲线 l Cardinal Cardinal样条曲线也是分段三次插值曲线，并且每个曲线样条曲线也是分段三次插值曲线，并且每个曲线段端点处均指定切线，但不一定要给出端点处的切线值。段端点处均指定切线，但不一定要给出端点处的切线值。l 一个一个CardinalCardinal样条曲线段由四个连续控制点给出。中间两样条曲线段由四个连续控制点给出。中间两个控制点是曲线段的端点，另外两个控制点用来计算端点斜个控制点是曲线段的端点，另外两个控制点用来计算端点斜率。率。设设P P(t t)是两个控制
