1、第五讲第五讲 联立方程模型初步联立方程模型初步一一 什么是联立方程模型什么是联立方程模型二二 联立性偏误联立性偏误三三 联立方程模型的识别联立方程模型的识别四四 联立方程模型的估计联立方程模型的估计什么是联立方程模型什么是联立方程模型例题例题5.1：需求与供给模型：需求与供给模型TYPQQQQvTPQuYPQSDSDtttStttDtttt、外生变量：外生变量：、内生变量：内生变量：（恒等式）（恒等式）（结构方程）（结构方程）（结构方程）（结构方程）210210 什么是联立方程模型什么是联立方程模型例题例题5.2：IS模型模型GrITYYCGICYTYYwYTvrIuYCdttttttdttt
2、tttttdtt外生变量：外生变量：、内生变量：内生变量：（恒等式）（恒等式）（恒等式）（恒等式）（结构方程）（结构方程）（结构方程）（结构方程）（结构方程）（结构方程）101010 什么是联立方程模型什么是联立方程模型例题例题5.3：犯罪率与警察部门规模：犯罪率与警察部门规模EduPoliceCrimevCrimePoliceuEduPoliceCrimettttttt外生变量：外生变量：、内生变量：内生变量：（结构方程）（结构方程）（结构方程）（结构方程）10210 参看课本例题参看课本例题15.1、15.2什么是联立方程模型什么是联立方程模型几个概念几个概念联立方程模型（联立方程模型（s
3、imultaneous equation model,SEM）内生变量（内生变量（endogenous variable）外生变量（外生变量（exogenous variable）结构方程结构方程/行为方程（行为方程（structural/behavioral equation）恒等式（恒等式（identity）结构系数（结构系数（structural coefficient）前定变量（前定变量（predetermined variable）外生变量外生变量滞后内生变量滞后内生变量联立性偏误联立性偏误联立性偏误联立性偏误如果忽略解释变量的内生性而使用如果忽略解释变量的内生性而使用OLS估计，会
4、得到系数估计，会得到系数的有偏非一致估计量，称为的有偏非一致估计量，称为联立性偏误（联立性偏误（simultaneity bias）出现偏误的根本原因是解释变量是随机变量，并且与误差出现偏误的根本原因是解释变量是随机变量，并且与误差项是相关的项是相关的联立性偏误联立性偏误联立性偏误：内生变量与误差项相关联立性偏误：内生变量与误差项相关0111111111111212111110 )u(E)u(Eu)Y(EYE)u,Ycov(u)Y(EY)I)()Y(E)uI)(YICYuYCttttttttttttttttttttt联立性偏误联立性偏误联立性偏误：联立性偏误：OLS估计量的有偏性估计量的有偏性
5、112112121014 )(En)uu)(YY()u,Ycov()YY()uu)(YY(E)(E)YY(u)YY()YY()YY)(CC(ttttttttttttt样本协方差样本协方差误的证明误的证明讲有关序列相关估计偏讲有关序列相关估计偏详细证明参见第详细证明参见第联立性偏误联立性偏误联立性偏误：联立性偏误：OLS估计量的非一致性估计量的非一致性112121111 )Yvar()u,Ycov()n/()YY()n/()uu)(YY(limp)YY(u)YY(limp)lim(p)lim(pttttttttt联立方程模型的识别联立方程模型的识别定义定义不可识别（不可识别（unidentifi
6、ed/under-identified）的方程：联的方程：联立方程模型中无法估计出结构系数的结构方程立方程模型中无法估计出结构系数的结构方程恰可识别（恰可识别（exactly identified）的方程）的方程：联立方程模型中：联立方程模型中能够唯一地估计出结构系数的结构方程能够唯一地估计出结构系数的结构方程过度识别（过度识别（over-identified）的方程）的方程：联立方程模型中可：联立方程模型中可以估计出一组结构系数的结构方程以估计出一组结构系数的结构方程可识别的联立方程模型可识别的联立方程模型：每一个结构方程都可识别的联立：每一个结构方程都可识别的联立方程模型方程模型不可识别的
7、联立方程模型不可识别的联立方程模型：至少有一个结构方程不可识别：至少有一个结构方程不可识别的联立方程模型的联立方程模型联立方程模型的识别联立方程模型的识别例题例题5.4：恰可识别：恰可识别1222212122212222111222231223122213222212222112112221122223131222131212222111112232221113121122322211131211 uuv,uuv,vTYQvTYPQQuTPQuYPQSDtttStttDtttt联立方程模型的识别联立方程模型的识别例题例题5.4：恰可识别：恰可识别个结构系数个结构系数确定确定个简化系数可以唯一地
8、个简化系数可以唯一地再计算结构系数。而且再计算结构系数。而且，可以先估计出简化系数可以先估计出简化系数简化模型。在本例中，简化模型。在本例中，为为简化方程，整个模型称简化方程，整个模型称和误差项的函数，称为和误差项的函数，称为定变量定变量都把内生变量表示为前都把内生变量表示为前在上式中，每一个方程在上式中，每一个方程6622322211131211 vTYQvTYP 联立方程模型的识别联立方程模型的识别例题例题5.5：过度识别：过度识别12222121222122221112222312241222221423122213222212222112112221122223141222141312
9、22131212222111112242322211141312112232221114131211 uuv,uuv,vTWYQvTWYPQQuTPQuWYPQSDtttSttttDtttt联立方程模型的识别联立方程模型的识别例题例题5.5：过度识别的模型：过度识别的模型在本例中，有在本例中，有7个待估结构系数，却有个待估结构系数，却有8个简化系数，个简化系数，无法确定唯一的结构系数无法确定唯一的结构系数联立方程模型的识别联立方程模型的识别例题例题5.6：不可识别：不可识别个个简简化化方方程程只只有有个个待待估估的的结结构构系系数数，但但有有24122221212221222211122221
10、1211222112222111112211112222111211 uuv,uuv,vQvPQQQuPQuPQSDttSttDtttt联立方程模型的识别联立方程模型的识别例题例题5.7：不可识别：不可识别1222212122212222111222132222122221121122211222131212222111112222111211222211131211 uuv,uuv,vYQvYPQQuPQuYPQSDttStttDtttt联立方程模型的识别联立方程模型的识别例题例题5.7：不可识别：不可识别别别的，而需求方程不可识的，而需求方程不可识因此供给方程是可识别因此供给方程是可识别，
11、。但是，可以证明：。但是，可以证明：因而模型是不可识别的因而模型是不可识别的个简化方程。个简化方程。有有个待估结构系数，但只个待估结构系数，但只在本例中，有在本例中，有1122212112222245 v关于识别问题的直观说明，参看课本关于识别问题的直观说明，参看课本p316v进一步的分析参看古扎拉蒂（进一步的分析参看古扎拉蒂（1995）、伍德里奇（）、伍德里奇（2000）联立方程模型的识别联立方程模型的识别识别规则识别规则判断判断SEM中的结构方程是否可识别需利用秩条件和阶条件，中的结构方程是否可识别需利用秩条件和阶条件，其中秩条件是充分必要条件，而阶条件是必要条件。但秩其中秩条件是充分必要
12、条件，而阶条件是必要条件。但秩条件需运用线性代数的知识，过于复杂，因而我们只讨论条件需运用线性代数的知识，过于复杂，因而我们只讨论阶条件阶条件结构方程识别的阶条件结构方程识别的阶条件，方程过度识别，方程过度识别若若，方程恰可识别，方程恰可识别若若，方程不可识别，方程不可识别若若前定变量）前定变量）变量个数（包括内生和变量个数（包括内生和：不包括在该方程中的：不包括在该方程中的数数：模型中内生变量的个：模型中内生变量的个111 mkmkmkkm联立方程模型的识别联立方程模型的识别阶条件的另一种描述阶条件的另一种描述，方方程程过过度度识识别别若若，方方程程恰恰可可识识别别若若，方方程程不不可可识识
13、别别若若数数：模模型型中中前前定定变变量量的的个个个个数数：该该方方程程中中前前定定变变量量的的个个数数：该该方方程程中中内内生生变变量量的的111 iiiiiiiimkKmkKmkKKkmv根据例题根据例题5.4-5.7判断每个方程是否可识别判断每个方程是否可识别联立方程模型的估计联立方程模型的估计估计方法估计方法1.单方程估计法：对模型中每一个可识别的方程逐一单独进单方程估计法：对模型中每一个可识别的方程逐一单独进行估计，最后获得整个模型的结构系数行估计，最后获得整个模型的结构系数a.间接最小二乘法（间接最小二乘法（ILS）b.两阶段最小二乘法（两阶段最小二乘法（2SLS）c.有限信息最大
14、似然法（有限信息最大似然法（LIML）2.系统估计法：对整个模型的所有结构方程同时进行估计系统估计法：对整个模型的所有结构方程同时进行估计a.三阶段最小二乘法（三阶段最小二乘法（3SLS）b.完全信息最大似然法（完全信息最大似然法（FIML）联立方程模型的估计联立方程模型的估计恰可识别方程的估计恰可识别方程的估计间接最小二乘法间接最小二乘法对于恰可识别的方程，可先将结构方程转化为简化方程，对于恰可识别的方程，可先将结构方程转化为简化方程，用用OLS估计出简化系数，再解出结构系数。称为估计出简化系数，再解出结构系数。称为间接最小间接最小二乘法（二乘法（indirect least square,
15、ILS）利用利用ILS，可以得到结构系数的有偏一致估计量（证明见古，可以得到结构系数的有偏一致估计量（证明见古扎拉蒂（扎拉蒂（1995）例题例题5.8：课本：课本p314-315联立方程模型的估计联立方程模型的估计过度识别方程的估计过度识别方程的估计两阶段最小二乘法两阶段最小二乘法对于过度识别的模型，无法用间接最小二乘法。由于使用对于过度识别的模型，无法用间接最小二乘法。由于使用OLS方法估计结构系数产生偏误的原因是内生解释变量与方法估计结构系数产生偏误的原因是内生解释变量与误差项相关，因此，可以考虑找到一个与该内生变量高度误差项相关，因此，可以考虑找到一个与该内生变量高度相关但与误差项不相关
16、的相关但与误差项不相关的工具变量（工具变量（instrument variable），然后再用这个工具变量作为解释变量来求解，然后再用这个工具变量作为解释变量来求解结构系数。这种方法需要进行两次结构系数。这种方法需要进行两次OLS估计，称为估计，称为两阶段两阶段最小二乘法（最小二乘法（two-stage least square,2SLS）I.阶段阶段1：以过度识别方程中的内生解释变量为因变量，模：以过度识别方程中的内生解释变量为因变量，模型中所有的前定变量为自变量，进行型中所有的前定变量为自变量，进行OLS估计，得到该内估计，得到该内生解释变量的估计值，作为工具变量生解释变量的估计值，作为工具变量II.阶段阶段2：以工具变量替代过度识别方程中的内生解释变量，：以工具变量替代过度识别方程中的内生解释变量，进行进行OLS估计，得到该方程结构系数的估计估计，得到该方程结构系数的估计联立方程模型的估计联立方程模型的估计过度识别方程的估计过度识别方程的估计两阶段最小二乘法两阶段最小二乘法例题例题5.9：课本：课本p321-323两点说明两点说明利用利用2SLS，可以得到结构系数的有偏一致估计量，可以得到结构系数的有偏一致估计量对于恰可识别的方程，对于恰可识别的方程，ILS和和2SLS的估计量完全相同的估计量完全相同
