1、14 设计设计IIR滤波器的双线性变换法滤波器的双线性变换法设计思想设计思想设计方法设计方法频率预畸变频率预畸变典型例题典型例题版权所有版权所有 违者必究违者必究第五章第五章 第第2 2讲讲2l设计思想设计思想1、脉冲响应不变法的主要缺点：、脉冲响应不变法的主要缺点：对时域的采样会造成频域的“混叠效应混叠效应”，故有可能使所设计数字滤波器的频率响应与原来模拟滤波器的频率响应相差很大，而且不能用来设计高通和带阻滤波器。原因原因：从S平面到Z平面的映射是多值映射关系脉冲响应不变法的映射过程图示脉冲响应不变法的映射过程图示 版权所有版权所有 违者必究违者必究第五章第五章 第第2 2讲讲3TT，2、双
2、线性变换法的改进：、双线性变换法的改进：为避免频率的“混叠效应混叠效应”，分两步完成S平面到Z平面的映射。将将S S平面压缩到某一中介的平面压缩到某一中介的S S1 1平面的一条横带域平面的一条横带域 ；通过标准的变换将此横带域映射到整个通过标准的变换将此横带域映射到整个Z Z平面上去。平面上去。双线性变换的映射过程图示双线性变换的映射过程图示 版权所有版权所有 违者必究违者必究第五章第五章 第第2 2讲讲43、双线性变换法的基本思路：、双线性变换法的基本思路：从频率响应出发，直接使数字滤波器的频率响应 ，逼近模拟滤波器的频率响应 ,进而求得H(z)。)(jH)(jeHl“双线性变换法双线性变
3、换法”设计方法设计方法 通过Z变换：将1映射到Z平面的单位圆上。Tsez1TjTj,)2(1Ttg 通过正切变换：将S平面的j轴压缩到S1平面的j1轴上的 内。TsTseeTstgs1111)2(1版权所有版权所有 违者必究违者必究第五章第五章 第第2 2讲讲5 将S1平面按 映射到Z平面得到：Tsez1szz1111ssz11或l“双线性变换法双线性变换法”可行性的论证可行性的论证,jez 令szz1111带入jjtgeesjj)2(11映射必须满足的条件：S S平面的虚轴映射到平面的虚轴映射到Z Z平面的单位圆上；平面的单位圆上；位于位于S S左半平面的极点应映射到左半平面的极点应映射到Z
4、 Z平面的单位圆内。平面的单位圆内。说明S平面的虚轴映射成了Z平面的单位圆版权所有版权所有 违者必究违者必究第五章第五章 第第2 2讲讲6sj令 ,带入 得：zss11jjz112222)1()1(z当 时，01z此式表明此式表明：S平面的左半平面轴映射到了Z平面的单位圆内，可保证系统函数经映射后稳定性不变。版权所有版权所有 违者必究违者必究第五章第五章 第第2 2讲讲7l双线性变换的频率对应关系双线性变换的频率对应关系模拟频率与数字频率为一种非线性的关系情形。即：)2(tg可见：模拟滤波器与数字滤波器的响应在对应的频率关系上发生了“畸变畸变”，也造成了相位的非线性变化，这是双线性变换法的主要
5、缺点。具体而言，在上刻度为均匀的频率点映射到上时变成了非均匀的点，而且随频率增加越来越密。双线性变换法除了不能用于线性相位滤波器设计外，仍然是应用最为广泛的设计IIR数字滤波器的方法。版权所有版权所有 违者必究违者必究第五章第五章 第第2 2讲讲8l频率预畸变频率预畸变为了保证各边界频率点为预先指定的频率，在确定模拟低通滤波器系统函数之前必须按式 进行频率预畸变频率预畸变；然后将预畸变后的频率代入归一化低通原型Ha(s)确定 ；最后求得数字系统函数：cct g()2H sHsac()(/)1111)()(zzssHzH11111)(zzsacsH频率预畸变示意图频率预畸变示意图l用双线性变换法
6、设计用双线性变换法设计IIR滤波器的过程总结滤波器的过程总结)()()()(zHsHjHeHj双线性变换频率预畸变版权所有版权所有 违者必究违者必究第五章第五章 第第2 2讲讲9返回返回版权所有版权所有 违者必究违者必究第五章第五章 第第2 2讲讲10l有关双线性变换公式的说明有关双线性变换公式的说明11112zzTs)11(11zzs先前为：抽样间隔抽样间隔T T的选取：的选取：的系数差别两式存在T/2 只要保证将模拟频率在带限之间，不会产生因多值映只要保证将模拟频率在带限之间，不会产生因多值映射产生频率混迭现象即可。射产生频率混迭现象即可。Ts满足：满足：的任意的任意T值。值。版权所有版权
7、所有 违者必究违者必究第五章第五章 第第2 2讲讲11例：例：设计参数设计参数：通带数字截止频率 ，通带内最大衰减 ，阻带数字截止率 ，阻带内最小衰减 。dBAp5.0dBAs1525.0p55.0s解：解：0.4142136tg0.125)2(pptg1.1708496tg0.275)2(sstgsp、进行频率预畸变，求 。确定巴特沃斯型数字低通滤波器的阶次。2.66)/lg()110/()110lg(21)/lg()/lg(1.01.0psAApspsN 取滤波器阶次 N=3 版权所有版权所有 违者必究违者必究第五章第五章 第第2 2讲讲12典典 型型 例例 题题 查表得3阶巴特沃斯低通滤
8、波器原型的系统函数。)1)(1(1)(2ssssHa 求 3 dB 截止频率 。c588148.010)/(11|)(|1.022 cANcpppjH求得由反归一化得：)345918.0588148.0)(588148.0(203451.0)/()(2ssssHsHca版权所有版权所有 违者必究违者必究第五章第五章 第第2 2讲讲13典典 型型 例例 题题 用双线性变换式求得H(z)。1111)()(zzssHzH)3917468.06762858.01)(259328.01()1(0662272.021131zzzz滤波器的幅度响应与相位响滤波器的幅度响应与相位响应应版权所有版权所有 违者必
9、究违者必究第五章第五章 第第2 2讲讲145 设计设计IIR数字滤波器的频率变换法数字滤波器的频率变换法l频率变换的两种基本方法频率变换的两种基本方法法一：法一：从归一化模拟低通原型出发，先在模拟域内经频率频率变换变换成为所需类型的模拟滤波器；然后进行双线性变换，由S域变换到Z域，而得到所需类型的数字滤波器。法二：法二：先进行双线性变换，将模拟低通原型滤波器变换成数字低通滤波器；然后在Z域内经数字频率变换数字频率变换为所需类型的数字滤波器。又称为“模拟域频率变换模拟域频率变换法法”又称为“数字域频率变换数字域频率变换法法”版权所有版权所有 违者必究违者必究第五章第五章 第第2 2讲讲15l模拟
10、域频率变换法模拟域频率变换法1、归一化模拟低通原型到数字高通滤波器的频率变换、归一化模拟低通原型到数字高通滤波器的频率变换 设归一化模拟低通原型滤波器的系统函数为 ，p为模拟域内的拉氏变量。)(pHaL反归一化。即以 带入上式，得到反归一化后的高通滤波器的传输函数H(s)。csp)()()(sHsHsHcaLcaH双线性变换，得数字高通滤波器的系统函数H(z)。11111111)()()(zzpaLzzscpHsHzHHpHpaHaL()(/)1在模拟域内从低通到高通变换：即以 p-1代替 p。版权所有版权所有 违者必究违者必究第五章第五章 第第2 2讲讲16cc1111zzpc直接由归一化低
11、通原型变换成数字高通滤波器时：2cctg22ccctg变换关系：变换关系：cjp/由 可得模拟滤波器与数字滤波器的频率以及3dB截频 与 之间的关系：l典型例题典型例题例例1：设计一个 3 阶巴特沃思型数字高通滤波器，3dB数字截频为0.2弧度，求滤波器的系统函数。解：解：3 3阶巴特沃思型归一化模拟低通原型的系统函数为：阶巴特沃思型归一化模拟低通原型的系统函数为：HppppaL()122132版权所有版权所有 违者必究违者必究第五章第五章 第第2 2讲讲17 频率预畸变频率预畸变/s)0.3249(rad)tg(0.12cctg 数字高通滤波器的系统函数为：数字高通滤波器的系统函数为：111
12、1113249.023111221)()(zzpzzpaLppppHzHc3213157016.0241976.23358.3859208.1)1(zzzz版权所有版权所有 违者必究违者必究第五章第五章 第第2 2讲讲18例例2：设计一个巴特沃思型数字高通滤波器，3dB数字截频为 0.2弧度，阻带下边频 0.05弧度，阻带衰减 As48dB，求数字滤波器的系统函数。cs解：解：确定低通滤波器的阶次确定低通滤波器的阶次 N N 3.8976)/lg()110lg(211.0csAsN 取取 N 4cs/s)0.3249(rad)tg(0.12cctgad/s)1.341267(r 22scsct
13、g 频率预畸变求模拟低通的截频频率预畸变求模拟低通的截频 和阻带下边频和阻带下边频 版权所有版权所有 违者必究违者必究第五章第五章 第第2 2讲讲19 利用直接变换关系求数字滤波器的系统函数利用直接变换关系求数字滤波器的系统函数H H(z z)1111)()(zzpaLcpHzH4321414324.04366.2346.54743.53103.2)1(zzzzz 查表得查表得N=4N=4时巴特沃思低通原型滤波器的系统函数时巴特沃思低通原型滤波器的系统函数HpppppaL()(.)(.)107654118478122 所设计的高通滤波器的幅度特性与相位特性图示所设计的高通滤波器的幅度特性与相位
14、特性图示版权所有版权所有 违者必究违者必究第五章第五章 第第2 2讲讲20版权所有版权所有 违者必究违者必究第五章第五章 第第2 2讲讲212、归一化模拟低通原型到数字带通滤波器的频率变换、归一化模拟低通原型到数字带通滤波器的频率变换 方法：直接寻求从模拟低通到数字带通之间的映射关系 低通幅度响应低通幅度响应带通幅度响应带通幅度响应0sb：模拟的阻带下边频模拟的阻带下边频 l,u：下边频和上边频：下边频和上边频 sl：下阻带上边频：下阻带上边频 su：上阻带下边频：上阻带下边频 0：中心频率：中心频率0000sezjjsz1,0映射关系映射关系（零点）（零点）（极点）（极点）版权所有版权所有
15、违者必究违者必究第五章第五章 第第2 2讲讲22满足以上映射关系的变换式推导过程：满足以上映射关系的变换式推导过程：11cos2)1)(1()()(20200zzzzzezezzssjj是稳定的是稳定的 S S平面稳定的函数变换到平面稳定的函数变换到Z Z平面也是稳定的。平面也是稳定的。特别地，设特别地，设 0 z=r 10 z=r 1,则有则有：01)cos1(2)1(11cos2202202rrrrrrs此式表明：此式表明：Z Z平面单位圆内的极点变到了平面单位圆内的极点变到了S S平面的左半平面平面的左半平面 jez 再令再令 代入上式代入上式 ，得：，得：jjeeesjjjsincos
16、cos11cos20202此式表明：此式表明：Z Z平面单位圆变换到了平面单位圆变换到了S S平面的虚轴平面的虚轴 版权所有版权所有 违者必究违者必究第五章第五章 第第2 2讲讲23模拟低通与数字带通的频率变换关系：模拟低通与数字带通的频率变换关系：,sincoscos0uuc,sincoscos0sususb)2cos()2cos(cos0luul1c当当 时，反归一化处理：时，反归一化处理：)1(1cos2202zzzspcc版权所有版权所有 违者必究违者必究第五章第五章 第第2 2讲讲24例例:设计一个3阶巴特沃思数字带通滤波器，并求阻带的最小衰减。设计指标：对模拟信号滤波，下上边带的3
17、dB截止频率为 =12.5kHz，=37.5kHz，阻带边频 =45.125 kHz,采样频率为 =100kHz。f21fsufsf解解:确定数字中心频率确定数字中心频率0)2cos()2cos(cos212105.00radffs25.010/105.122/25322 确定上下边带的确定上下边带的3dB3dB数字截止频率及上阻带下边频数字截止频率及上阻带下边频 radffs75.010/105.372/25311radffssuu925.010/10125.452/253版权所有版权所有 违者必究违者必究第五章第五章 第第2 2讲讲25 求模拟低通截止频率和阻带下边频求模拟低通截止频率和阻
18、带下边频 c1011050750751coscossincos.cos.sin.16.4)925.0sin()925.0cos()5.0cos(sincoscos0uus 求求 。当。当 时时,3,3 阶巴氏低通滤波器的传输函数为阶巴氏低通滤波器的传输函数为:Hsa()1c1221)(23ssssHa 求求H H(z z)。将。将 代入上式得：代入上式得：szzzzz2022221111cos464211333121)()(22zzzzsHzHzzsa版权所有版权所有 违者必究违者必究第五章第五章 第第2 2讲讲26fs2 求相对求相对 =45.125kHz=45.125kHz处的阻带的最小衰
19、减处的阻带的最小衰减sANcssjH1.02210)/(11|)(|)/(11log10210NcssA代入代入 和和 及及N=3N=3，求得，求得:csdBAs18.37 带通滤波器的幅度响应与相位响应带通滤波器的幅度响应与相位响应版权所有版权所有 违者必究违者必究第五章第五章 第第2 2讲讲27l数字域频率变换法数字域频率变换法已知的数字已知的数字低通滤波器低通滤波器所需类型的所需类型的数字滤波器数字滤波器Z Z域内的数字频域变换域内的数字频域变换设变换前的平面为z平面，变换后的为Z平面，即将z平面的系统函数 映射成Z平面的系统函数 。假设从z到Z的映射关系为：)(zHL)(ZHd)(11
20、ZGz)(11|)()(ZGzLdzHZH，则有：变换函数变换函数 必须满足以下三个条件：必须满足以下三个条件：)(1ZG 为满足一定的频率响应要求，为满足一定的频率响应要求，z 域的频率必须变换成域的频率必须变换成 Z 域的频率，域的频率，即即 z 平面的单位圆必须映射到平面的单位圆必须映射到 Z 平面的单位圆上；平面的单位圆上；为保证由因果稳定的系统变换得到的系统也是因果稳定的，要求为保证由因果稳定的系统变换得到的系统也是因果稳定的，要求z 平面的单位圆内部必须映射到平面的单位圆内部必须映射到 Z Z 平面的单位圆内部；平面的单位圆内部；版权所有版权所有 违者必究违者必究第五章第五章 第第
21、2 2讲讲28 由于由于 是是 z-1 的有理函数，为了保证变换后的的有理函数，为了保证变换后的 也是也是Z Z-1-1的有理函数，要求变换函数的有理函数，要求变换函数 必须是必须是 Z Z -1-1 的有理函数。的有理函数。)(zHL)(ZHd)(1ZG设 和 分别为 z 平面和 Z 平面的数字频率变量，即：jez jeZ:)(11得带入ZGz)(arg|)(|)(jeGjjjjeeGeGe)(arg1|)(|jjeGeG该式表明该式表明：函数 在单位圆上的幅度必须恒等于1全通函数全通函数。)(1ZGNiiiZZZG11*111)(任何全通函数全通函数都可以表示为：为确保变换后稳定性不变，必
22、须极点在单位圆内，即：1|i零点都是其极点的共轭倒数)/1(*i版权所有版权所有 违者必究违者必究第五章第五章 第第2 2讲讲291、数字低通、数字低通 数字低通数字低通)(zHL)(ZHd 和 都是低通系统函数，只是截止频率不同。)(zHL)(ZHd变换函数为：变换函数为：11111)(ZZZGz由截频为由截频为 的的 得到截频为得到截频为 的的 变换关系为：变换关系为：cc)(zHL)(ZHd1111|)()(ZzzLdzHZH2sin2sincccc参数变换公式为：参数变换公式为：版权所有版权所有 违者必究违者必究第五章第五章 第第2 2讲讲302、数字低通、数字低通 数字高通数字高通变
23、换函数为：变换函数为：)1()(1111ZZZGz2cos2coscccc参数变换公式为：参数变换公式为：3、数字低通、数字低通 数字带通数字带通变换函数为：变换函数为：)1()(1122111111221ZZZZzkkkkkkkk0cos参数变换公式为：参数变换公式为：220)(tgctgklu版权所有版权所有 违者必究违者必究第五章第五章 第第2 2讲讲31变换函数为：变换函数为：)1()(1122111111221ZZZZzkkkkkk0cos参数变换公式为：参数变换公式为：220)(tgtgklu3、数字低通、数字低通 数字带阻数字带阻版权所有版权所有 违者必究违者必究第五章第五章 第
24、第2 2讲讲326 数字陷波器设计数字陷波器设计l基本概念基本概念也被称为点阻滤波器点阻滤波器。它是一种特殊的带阻滤波器，其阻带在理想情况下只有一个频率点；主要用于消除某个特殊的频率干扰（例如在各种测量仪器和数据采集系统中用于消除电源干扰的工频陷波器）；一般为IIR滤波器。l设计方法设计方法w 双线性变换法双线性变换法 w 零极点累试法零极点累试法版权所有版权所有 违者必究违者必究第五章第五章 第第2 2讲讲33l陷波器的频率特性陷波器的频率特性设信号为 ，其中 为干扰频率,需要将其滤掉，则要求滤波器的传输函数为:x ts tAt()()sin00|()|H j1000数字域的传输函数为:|(
25、)|H ej1000/fTs其中数字陷波器的频率响应数字陷波器的频率响应 版权所有版权所有 违者必究违者必究第五章第五章 第第2 2讲讲34l利用双线性变换设计数字陷波器利用双线性变换设计数字陷波器12B为3dB带宽设二阶模拟陷波器传输函数为：202202)(BssssH 其幅度响应为：22220220)(|)(|BjH分别为陷波频率的上边频和下边频12、用双线性变换，可得二阶数字陷波器传输函数为：1111|)()(zzssHzH2201202022012020)1()1(2)1()1()1(2)1(zBzBzz版权所有版权所有 违者必究违者必究第五章第五章 第第2 2讲讲352121)1(1
26、)1()1(2)1(21)(zzzzzHBB202011202011改写上式：其中：)2/tan(1)2/tan(1BB0cos陷波频率陷波频率 ，数字数字3dB带宽带宽 与 之间的关系012B、版权所有版权所有 违者必究违者必究第五章第五章 第第2 2讲讲36例：例：设计一个二阶数字陷波器（求数字传输函数），其模拟陷波频率为60Hz，3dB带宽为6Hz，采样频率为400Hz。解：解：数字传输函数数字传输函数2121881618.0105987.11940809.0105987.1940809.0zzzz2121)1(1)1()1(2)1(21)(zzzzzH3.0)400/60(2003.0
27、)400/6(2B0.8816186)2/tan(1)2/tan(1BB0.587785cos0 求数字陷波频率、数字求数字陷波频率、数字3dB3dB带宽、变换参数带宽、变换参数版权所有版权所有 违者必究违者必究第五章第五章 第第2 2讲讲37l零极点累试设计法零极点累试设计法IIR滤波器的系统函数可表示为：H zb za zc zd zkNkkNkrMrkNk()()()01111111111若系统为二阶，设：H zz ez ezpzpijjii()()()()()*1111111100传输函数在 处具有无限大的衰减，为了保证在 时,信号无衰减,必须在 附近配置上两个极点，使 000|()|H z 1其中零极点其中零极点共轭成对共轭成对版权所有版权所有 违者必究违者必究第五章第五章 第第2 2讲讲38若一个二阶系统不能满足要求,可采用多个二阶系统的级联 二阶系统的零极点 分布：3个零点在 ，极点分布在以为半径,以 为圆心的圆弧上，以保证 0jez 0jez|()|H z 1
