1、课题：基本不等式（第1课时）一、指导思想与理论依据布鲁姆将教育目标划分为认知领域、情感领域和操作领域三个领域，共同构成教育目标体系.认知目标又分类为：记忆、理解、应用、分析、评价、创造，每个层次的要求各不相同，因此教学目标的确定应结合课程内容和学生的实际情况，符合学生的认知规律学生是课堂中的主体，教学设计一定要从学生的认知水平出发，充分考虑学生的已有经验、学习基础、思维特点，立足于学生的“最近发展区”；用学生的眼光看数学，学生在理解的基础上，由浅入深，由感性到理性地设计问题，才能真正引导和帮助学生思考问题、分析问题和解决问题同时高中数学学科德育指导纲要指出，在高中数学教学中加强德育，对于全面推
2、进素质教育，培养社会主义的建设者和接班人具有重要意义.因此在教学中要关注学生的情感、态度和价值观，渗透德育内容教学活动是师生积极参与、交流互动、共同发展的过程有效的数学教学活动是学生学与教师教的统一普通高中数学课程标准（实验）指出：“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式”、“还应注重提高学生的数学思维能力”本节课从学生的最近发展区出发，通过典型具体例子的分析和学生自主地观察、探索活动，亲身经历、体验发现规律的过程，学会如何去研究问题的方法，体会蕴含在其中的数学思想方法，把数学的学术形态通过适当的方式转化为
3、学生易于接受的教育形态，培养学生交流合作的意识二、教学背景分析（一）教学内容分析本节课的内容是人教A版数学（必修5）第三章3.4基本不等式：的第1课时“基本不等式”在教学中安排3课时，第1课时的内容是基本不等式的形成、证明及其几何解释，正确把握基本不等式的结构和等号成立的条件；第2课时的内容是能用基本不等式求简单的最值问题，并理解其应用条件“正、定、等”；第3课时的内容是从实际问题中抽象出具体的基本不等式问题，并应用基本不等式处理最值问题，也就是将基本不等式作为处理优化问题的一种模型基本不等式反映了实数的两种基本运算（即加法和乘法）所引出的大小变化这一简单朴实、平易近人的本质，恰是这一不等式变
4、化多端、妙用无穷的源头，体现了运算带给数的巨大力量这一本质不仅可以从不等式的代数结构上得到表现，而且也有几何意义，由此而生发出的问题在训练学生的代数推理能力和几何直观能力上都发挥了良好的作用。因此，必须从基本不等式的代数结构和几何意义两方面入手，才能让学生深刻理解它的本质（二）学生情况分析1.知识方面本节课是在系统学习了不等式的性质的基础上展开的，并且学生之前已经通过具体实例学习了一元二次不等式、二元一次不等式（组）两种模型，初步体会了两种模型在解决简单的优化问题中的作用基本不等式作为又一种模型，在解决最值问题中有重要应用“利用基本不等式求简单的最值问题”是3.4节的重点，而应用的条件“正、定
5、、等” 是关键但是“正、定、等”这三个条件，特别是“定”“等”两个条件必须通过大量的实例，学生才能逐步体会并理解，因此在第一节课中就谈“应用”是不现实的.另外，有些问题在本节课中我们也无法让学生一步到位地理解，而只能去初步体会，随着后续的学习，理解可能会逐步深入.比如：我们为什么要称这个不等式为“基本”不等式，“基本”是如何体现的？再比如，在得出不等式后为何要用分别代替，它的出发点是什么？2.能力方面本节课的授课班级为高一实验班，学生具备较好的数学基础知识，有良好的思维品质以及较强的探索精神，并且学生的表达能力较强.同时，班级已经施行了很长时间的小组合作学习方式，学生之间能很好地进行交流、合作
6、，这些都为本节课的有效开展提供了良好的基础.但是本班的学生对于代数推理方面接触的较少，对于严格的逻辑证明还缺乏必要的训练，因此在证明的严谨性方面可能会有所欠缺.3.情感、德育方面我们看到，在漫长的数学知识发生、发展的过程中，人类积累了一整套数学的科学思维规律和处理问题的方法，这些规律和方法充满着辩证唯物主义的思想.但在教育教学中，很多学生对所学内容蕴含的实践的观点、普遍联系的观点、运动变化的观点、对立统一的观点、量质互变等各类观点的理解不深入，对辩证思维方法的掌握不到位，也就没有很好地树立科学的世界观.这就直接导致部分学生对学习数学的兴趣仅仅停留在“解题”上，对数学的本质缺乏必要的认识，对数学
7、的美缺少发现与欣赏，因此常常有“学这个公式（定理）有什么用”的感慨.还有就是学生对于我国的数学发展的历史了解不多，也不了解我国数学家的杰出贡献，这不利于在教学中激发学生的民族自尊心、自信心、自豪感和爱国热情，弘扬和培育民族精神.从个性品质方面看，部分同学缺乏一丝不苟、严肃认真的学习态度，以及独立思考、勇于创新的精神.（三）教学中可能出现的问题及对策的研究说明 学生在初中已经经历了利用弦图证明勾股定理，因此通过弦图来寻找等量关系是容易的，但如果直接寻找不等关系，那这个问题就显得太大、太发散，可能会导致学生无从下手基于学生初中证明勾股定理的方法，引导学生从面积角度研究不等关系，从而发现不等式：然后
8、将推广到一般的正实数，这样学生就会发现等号成立的条件，从而得到不等式，并利用几何画板演示动态过程，体会取等号的条件这样实际上就突出了“取等”的情况，为后面应用中的条件“正、定、等”中的“等”做了铺垫.基本不等式的代数证明对于学生来说是容易的：学生很容易能想到“作差”的方法，这是证明不等式的基本方法；“两边平方再作差”的证明方法也容易想到，但学生在书写的过程中会出现混淆了结论与条件的逻辑错误，借此错误可以引出分析法；当然也会有学生直接运用综合法从或出发直接证明，而分析法可以帮助我们解决从哪个式子出发的问题；上述问题就引导我们给出分析法.当然，“分析法”的书写格式对学生来说是困难的，因此结合学生出
9、现的问题进行规范，让学生体会到分析法这一新的证明方法的思路和独特的书写格式 让学生给出基本不等式的几何解释是困难的，困难之处在于如何将两个数与几何图形产生联系，这需要很好的知识储备与联想、联系能力.从基本不等式的结构以及这个数的特点出发，构造出直角三角形斜边上的高与中线相对容易，如何与圆建立联系，就需要引导学生从“如何构造满足条件的直角三角形”入手，构造出圆中的“双垂直”结构，得到基本不等式的几何解释.（四）教学方式与教学手段说明 本节课采用教师引导与学生探究相结合的教学方式.教学中，学生探究活动的设计要从学生的实际出发，本节课中由弦图的引入得到基本不等式的探究中，就是从学生的“最近发展区”出
10、发，在教师的引导下层层深入展开的；同时，在基本不等式的证明探究中，让学生体会探索的途径、方法，以及证明过程中所体现的数学思想方法.三、教学目标与重点、难点设计1.教学目标：（1）知识与技能：探索并了解基本不等式的证明过程；掌握基本不等式的代数结构及其使用条件；（2）过程与方法：借助赵爽弦图，经历基本不等式模型的建立过程，提高直观想象能力与数学抽象能力；经历基本不等式的证明和探索几何解释的过程，提高思维的逻辑性和严谨性，并进一步体会数形结合思想的应用；（3）情感、态度与价值观：通过引导学生探索基本不等式的证明过程，对学生进行实践观点的教育,并进一步培养学生的理性精神；通过引导学生了解基本不等式的
11、结构并应用基本不等式解决实际问题的过程，使学生感受数学表达式的对称美2.教学重点：基本不等式的形成过程与证明.3.教学难点：基本不等式的几何解释四、教学流程图弦图引入课下继续探究从不同角度解释或证明基本不等式基本不等式“三种语言”的统一其他角度的解释：数列角度等基本不等式的简单应用：证明不等式；求最值问题圆的半径与“半弦”直角三角形斜边上的中线与高线得到不等式：替换得到基本不等式：代数证明几何解释推广得不等式：直接作差平方后作差分析法其他方法 五、教学过程（一）创设情境，提出问题 图1是在北京召开的第24届数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风
12、车，代表中国人民热情好客图1图2 【问题1】从面积的角度出发，你能否从图2中找到一些相等关系和不等关系？【设计意图：学生在初中已经经历了通过弦图证明勾股定理，因此对图形并不陌生，由此引入情境，在学生的“最近发展区”内；问题中直接限定“从面积的角度出发”，给学生的思考指明了方向，避免学生的思维过于发散，有利于直接抽象出不等式；另一方面，由此情境引入，可以渗透数学的文化价值，暗示我国古代数学家的成就，激发学生的民族自尊心、自信心、自豪感和爱国热情.(安排学生课下查阅赵爽弦图的有关知识)】（二）知识建构，形成结论【问题2】对任意的，不等式都成立吗？ 【设计意图：对于，我们是利用几何图形得到的，是否可
13、以推广到任意正数，这个是需要说明的，由此我们可以得到不等式，对此不等式的证明，可以让学生体会证明不等式的基本方法：“作差法”；另外对于后续学习的基本不等式的应用中，“等”这个条件是十分重要的，因此通过这个设问不仅可以让学生将不等式推广到任意正数，还可考虑“取等号”的条件，也就是将“”通过两个阶段展示，以突出等号的重要性；同时，引导学生从代数和几何两个角度去认识这个不等式.另外，如果学生在问题1中直接得到了不等式，则直接追问何时取等号，并将不等式中的推广到任意正数.此处设计利用几何画板动态展示取得等号的条件.】【问题3】对任意的，不等式成立吗？ 【设计意图：将不等分三个阶段得出：（1）从实际背景
14、中得出；（2）将推广到任意正数；（3）推广到任意实数.这样既符合数学逻辑，体现了数学的严谨性，也符合学生的认知规律，易于学生接受.】 若，我们用分别代替，可得，通常我们把上式写作：，称这个不等式为基本不等式【问题4】你能给出基本不等式的证明吗？ 【设计意图：引导学生进行严格的数学证明，培养学生严谨的数学思维.预设的几种证明方法为：（1）直接作差法：这是证明不等式的基本方法，学生需要熟练运用；（2）两边平方，然后作差，再利用不等式性质：此方法也是比较容易想到的，但有些学生分不清楚条件和结论，结果证明过程出现逻辑错误，而正好可以借助这个错误引入分析法；（3）综合法：比如从或出发即可得，问题是如何想
15、到的这个式子，而分析法的应用可以有效解决这个问题;（4）分析法：因为学生不熟悉分析法的书写，因此可以针对学生出现的问题规范书写格式；（5）作商法：当明确不等式的两边（或者两个数）符号相同时，作商法也是证明不等式（或者判断数的大小）的一种常用方法.作商法的关键是找到式子与的关系： ，当且仅当时，等号成立.当然，也可能会有如下做法： 因此只需要判断与2的大小关系即可，由此可令,即只需要判断与2的关系即可，由此可联想到“对勾函数”的性质.这种方法将函数的性质与基本不等式巧妙得结合在一起，体现了基本不等式与其他知识之间的内在联系.当然，有了以上的分析（或者结合分析法），如果我们开始就构造“对勾函数”，
16、然后利用亦可得结论.需要说明的是，不管用何种方法，在证明过程中要体现出等号成立的条件.同时，利用ipad对学生出现的各种证明及时反馈到屏幕上，然后再予以引导并对各种证法进行总结和提升.】（三）几何解释，深化理解【问题5】前面给出的不等式有明确的几何解释，对于基本不等式，你能给出相应的几何解释吗？ 图3【设计意图：对于几何解释，学生比较自然想到的是在弦图中令直角三角形的直角边长为，但这样得到是不等式，不是基本不等式的“形式”；而要刻画基本不等式，难点是如何用几何图形来刻画两个数，这个过程可以体现学生良好的联想、类比能力.对于学生而言，想到直角三角形是相对容易的，因为对于这样的不等关系而言，他们容
17、易想到直角三角形的斜边与直角边的关系，而对于则容易想到直角三角形射影定理（如图3所示，其中），进而可以得到斜边上的高与斜边上的中线，由此可以得出基本不等式的几何解释：直角三角形斜边上的高线长不大于斜边上的中线长.图4问题在于，已知的情况下，如何构造出这样一个直角三角形满足条件呢？（即如何出现“双垂直”的图形）这时候就很容易想到圆：构造长度为的线段；在其上取一点，使得；以线段为直径作；过点作线段的垂线，交于点，则即是满足条件的直角三角形.而在这个图形中，我们又可以重新来解释基本不等式：圆的半径不小于“半弦”长.这两种方式的几何解释都通过几何画板动态演示，让学生体会等号成立的条件.当然，也不能排除
18、学生在问题3中将这两种“几何解释”作为证明不等式的方法呈现，如果出现这种情况，则可以直接将图形作为几何解释即可.】【定义】我们把叫做正数的算术平均数；把叫做正数的几何平均数这样，基本不等式用文字语言可叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数【设计意图：此时给出定义主要是有了实际的几何背景，更容易理解将它定义为几何平均数的合理性；另外，通过上述过程我们就实现了基本不等式的概念原理、文字语言、符号语言、图形语言的有机结合和高度统一.】【问题5】联系已有知识，你能否从不同的角度解释基本不等式？【设计意图：设计此问题主要还是想让学生从不同角度来认识基本不等式，体现知识之间的内在联系.学生比较
19、容易的角度是：两个正数的正的等比中项不大于它们的等差中项.实际上，图3中由射影定理（或三角形相似）可得，正说明了成等比数列.当然，还可以从很多其他不同的角度来解释基本不等式：比如平面向量、三角函数、解析几何、函数的凹凸性等角度.这些角度可以引导学生课下继续探索.】（四）简单应用，强化知识例1 已知，证明：【设计意图：本题可以从不同角度证明：可以直接作差，可以体现证明不等式的基本方法；也可以利用“对勾函数”的性质解决；还可以用基本不等式直接得出结论.在不同方法的比较中，可以体现出基本不等式的简洁性，从而为后续学习中的“利用基本不等式证明不等式”做铺垫.】例2 我们知道这样一个事实：用长度一定的铁
20、丝围成一个矩形，当围成的矩形为正方形时，面积最大.你能解释其中的道理吗？【设计意图：首先学生需要有一个建模的过程，将问题转为“两个正数和一定的情况下，求积的最大值”，模型的建立可以有两种：一种是二次函数模型；一种是基本不等式模型，通过两种方法的比较，进一步体会基本不等式的简洁性，并为后面要学习的“利用基本不等式求最值”问题做铺垫.本题设计没有给出具体的数值，而是用文字语言叙述问题，就是想让学生体会文字语言与数学语言的转化过程，以及数学模型的建立过程.】（五）课堂小结回顾本节课学习基本不等式的过程.从数到形从形到数弦图基本不等式几何解释（四）布置作业1.联系已有知识，尝试从其他角度解释或证明基本
21、不等式.2.作为一种模型，你认为基本不等式在数学中会有哪些应用？【设计意图：题目1是为了引导学生课下能继续探究从不同角度解释或者证明基本不等式的方法，比如从平面几何角度还可以用不同的图形来证明、可以从函数的凹凸性角度、平面向量角度等；题目2主要是想为下一节“利用基本不等式求简单的最值问题”做铺垫.】五、教学效果评价设计 数学知识与能力的获得，需要学生积极参与到数学思维活动、动手实践或者合作交流等活动中去；同时，学习知识与收获能力，都是为了更好地参与到数学活动中去，因此学生对数学活动的参与程度也反映了他们的知识和能力水平.而学生在参与数学活动中所表现出来的情感与态度又很大程度上影响了学生参与活动
22、的效果，因此，设计学生学习效果评价必须从“知识与能力”、“活动参与度”“情感与态度”三个维度进行设计. 与学生学习效果评价相对应，教师的教学效果评价也应该从上述三个维度出发设计，同时还应关注学生的个性化发展. 六、教学设计特色与教学反思本内容的传统教学中，大部分都会在第1课时中就出现应用基本不等式求最值的条件“正、定、等”，然后围绕这三个条件展开对应用的教学，很少关注基本不等式的形成过程与证明，更不用说它的几何解释了.正如之前的分析，学生在第1课时是很难达到理解“正、定、等”三个应用条件的，而是需要有一个循序渐进，螺旋式上升的过程；课标也特别强调不等式及其证明的几何意义与背景，以加深学生对不等
23、式的数学本质的理解，提高学生的逻辑思维能力和分析解决问题的能力本节课正是基于对这些情况的分析做出的教学设计：从学生的实际出发，聚焦基本不等式的形成过程和证明，强调基本不等式的几何解释.另外，对于核心内容，设计学生自主探究，在探究活动中教师对学生的探究结果进行适时反馈和引导，不仅对知识本身的探究进行引导，还让学生体会探究的途径、方法，以及其中蕴含的数学思想；同时，在教学中渗透德育内容，激发学生的学习热情，促进个性品质的发展.当然，本节课的设计中也有一些遗憾，比如我们为什么要称这个不等式为“基本”不等式，“基本”是如何体现的？再比如，在得出不等式后为何要用分别代替，它的出发点是什么？这些问题确实是我们在课堂中遇到的，但我们又不太可能在第1课时中就作出全面解答，需要学生在后续的学习中不断体会、深化理解.
