1、一元二次方程课堂实录一、教学目标1.经历一元二次方程概念的形成过程，知道什么是一元二次方程.2.会把一元二次方程化成一般形式，并知道各项及系数的名称.二、教学重点和难点1.重点：一元二次方程的概念.2.难点：把一元二次方程化成一般形式.三、教学过程（一）创设情境，导入新课师：（板书：3x-5=0）这是一个什么方程？（稍停）3x-5=0是一个一元一次方程（板书：一元一次方程）. 师：哪位同学知道什么样的方程是一元一次方程？生：（让几名同学回答）师：（指准3x-5=0）只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的方程，叫做一元一次方程.（指准“一元一次方程”）一元指的是含有一个未知数，一次指的是未知数
2、的次数是1.师：一元一次方程是我们在初一已经学过的，从今天开始，我们要学习一种新的方程，叫做一元二次方程（板书：一元二次方程）.（二）尝试指导，讲授新课师：什么样的方程是一元二次方程？（板书：x2-x=56）x2-x=56是一个一元二次方程，（板书：4x2-9=0）4x2-9=0也是一元二次方程，（板书：x2+3x=0）x2+3x=0也是一元二次方程，（板书：3y2-5y=7）3y2-5y=7也是一元二次方程.师：从这些一元二次方程，哪位同学能概括什么样的方程是一元二次方程？（等到有一部分同学举手再叫学生）生：（多让几名同学回答）师：（指准x2-x=56）只含有一个未知数，并且未知数的最高次数
3、是2，这样的方程叫做一元二次方程. （师出示下面的板书） 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程.师：请大家把一元二次方程的定义读两遍.（生读）师：根据一元二次方程的定义，（指准方程）我们很容易判断x2-x=56，4x2-9=0，x2+3x=0，3y2-5y=7这些方程都是一元二次方程.（板书：3x(x-1)=5(x+2)）现在请大家判断，这个方程是不是一元二次方程？为什么？（让生思考一会儿）生：（让几名学生发表看法）师：把这个方程两边去括号，得到3x2-3x=5x+10（边讲边板书：3x2-3x=5x+10），去括号后容易看出，这个方程是一元二次方程.师：（指3x
4、2-3x=5x+10）这个方程还可以继续整理，怎么继续整理？（指准方程）先把右边的5x和10都移到左边去，再合并，得到3x2-8x-10=0（边讲边板书：3x2-8x-10=0）.师：（指原方程和3x2-8x-10=0）大家可以比较这两个方程，这个方程是这个方程经过整理得到的，这个方程的形式又简单又整齐，我们把这种形式叫做一元二次方程的一般形式（板书：一元二次方程的一般形式）.师：从这个例子大家可以看到，任何一个一元二次方程，经过整理，都可以化成一般形式，一般形式就是ax2+bx+c=0这样的形式（边讲边板书：ax2+bx+c=0）.师：（指准ax2+bx+c=0）在一元二次方程的一般形式中，
5、我们把ax2叫做二次项，a是二次项系数（板书：其中a是二次项系数）；bx叫做一次项，b是一次项系数（板书：b是一次项系数）；c叫做常数项（板书：c是常数项）.师：（指准3x2-8x-10=0）譬如，在这个方程中，二次项是3x2，二次项系数是3；一次项是-8x，一次项系数是-8；常数项是-10.师：（指x2+3x=0）大家看这个方程，它的二次项、二次项系数是什么？生：二次项是x2，二次项系数是1.（多让几名同学回答）师：（指x2+3x=0）它的一次项、一次项系数是什么？生：一次项是3x，一次项系数是3.（多让几名同学回答）师：（指x2+3x=0）它的常数项是什么？生：常数项是0.（多让几名同学回
6、答，如有必要师作解释）师：（指4x2-9=0）大家再看这个方程，它的二次项、二次项系数是什么？生：二次项是4x2，二次项系数是4.师：（指4x2-9=0）它的一次项、一次项系数是什么？生：（多让几名同学回答）师：这个方程的一次项可以写成0x（边讲边板书：0x），所以这个方程的一次项是0x，一次项系数是0.师：（指4x2-9=0）它的常数项是什么？生：常数项是-9.师：前面我们学习了一元二次方程的概念和一般形式，下面请大家利用这些知识来做几个练习.（三）试探练习，回授调节1.填空： (1)把5x2-1=4x化成一元二次方程的一般形式，结果是 ，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ； (
7、2)把4x2=81化成一元二次方程的一般形式，结果是 ，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ； (3)把x(x+2)=15化成一元二次方程的一般形式，结果是 ，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ； (4)把(3x-2)(x+1)=8x-3化成一元二次方程的一般形式，结果是 ，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 .2.填空： (1)一个一元二次方程，它的二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为-5，这个一元二次方程是 ； (2)一个一元二次方程，它的二次项系数为1，一次项系数为-3，常数项为3，这个一元二次方程是 ； (3)一个一元二次方程，它的二次项系数为5，一
8、次项系数为-1，常数项为0，这个一元二次方程是 ； (4)一个一元二次方程，它的二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为-6，这个一元二次方程是 .（四）归纳小结，布置作业师：这节课我们学习了什么？哪位同学能帮老师小结一下？生：（让一两名学生小结） （作业：P28习题1）四、板书设计一元一次方程：3x-5=0 3x(x-1)=5(x+2)一元二次方程：x2-x=56 3x2-3x=5x+104x2-9=0 3x2-8x-10=0x2+3x=0 一元二次方程的一般形式：3y2-5y=7 ax2+bx+c=0，其中a是二次项系数，b是一次项系只含有一个未知数叫做 数，c是常数项一元二次方程. 一元
9、二次方程（第2课时）一、教学目标1.知道什么是一元二次方程的解（根）.2.会用直接开平方法解一元二次方程，渗透转化思想.二、教学重点和难点1.重点：一元二次方程解（根）的概念，直接开平方法.2.难点：直接开平方法. 三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.填空： (1)只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程，叫做一元二次方程； (2)ax2+bx+c=0(a0)这种形式叫做一元二次方程的 形式，其中 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项.2.填空： (1)把(x+3)(x-4)=0化成一元二次方程的一般形式，结果是 ，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ； (2)把(2
10、x+1)2=4x化成一元二次方程的一般形式，结果是 ，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 . （二）尝试指导，讲授新课师：（板书：2x-6=0）这是一个一元一次方程，这个方程的解是什么？生：（齐答）解是x=3.（师板书：解是x=3）师：（指准方程）2x-6=0的解是x=3，这话是什么意思？（稍停）把x=3代入方程，左边=23-6=0，右边=0，左边和右边恰好相等.2x-6=0的解x=3，意思是，x=3能使方程左右两边恰好相等.师：（板书：x2-x=0）这是一个一元二次方程，这个方程的解是什么？（让生思考一会儿再叫学生）生：解是x=0.（师板书：x=0）师：（指准方程）把x=0代入方程
11、，左边和右边相等，所以x=0是这个一元二次方程的一个解.师：除了x=0，这个方程还有没有别的的解？生：x=1.（师板书：x=1）师：（指准方程）把x=1代入方程，左边和右边相等，所以x=1也是这个一元二次方程的一个解.师：可见x2-x=0有两个解，一个解x1=0（边讲边标下标），另一个解x2=1（边讲边标下标）.师：一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根（板书：（根），所以也可以这样说，（指准板书）x2-x=0有两个根，一个根x1是0，另一个根x2是1.师：下面请同学们做一个练习.（三）试探练习，回授调节3.填空：在-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4这些数中，是一元二次方程x2-x-6
12、=0的根的是 .4.填空：方程x2-36=0的根是x1= ，x2= .（四）尝试指导，讲授新课师：（板书：x2-36=0）刚才我们求了x2-36=0这个一元二次方程的两个根，x1=6，x2=-6.我们是怎么求的？我们是通过凑数字求的.大家可以想到，凑数字求根是有局限性的，什么局限性？（稍停）通过凑数字只能求那些很简单的一元二次方程的根，如果方程稍微复杂一点，数字就不好凑了.譬如，我们把右边的0改为2x（边讲边把x2-36=0中的0改为2x），x2-36=2x这个方程就很难用凑数字来求根.所以，求一元二次方程的根不能光靠凑数字，还需要有专门的方法.师：解一元二次方程的方法有好几种，下面我们先来介
13、绍第一种方法，叫直接开平方法（板书：直接开平方法）.师：怎么用直接开平方法解一元二次方程？（稍停）让我们来看一个例子. （师出示例题）例 解下列一元二次方程： (1)4x2-9=0； (2)3(2x-1)2=15. （师边讲解边板书，解题过程如下所示） 解：(1)原方程化成. 开平方，得， x1=，x2=-.(2)原方程化成. 开平方，得， x1=，x2=.师：（指准例题）从这两个题目，哪位同学会概括用直接开平方法解一元二次方程的步骤？生：（让一两名好生概括） 师：（指准例题）用直接开平方法解一元二次方程，有三步，第一步把原方程化成x2=常数，或者含x的式子的平方=常数的形式（板书：第一步：化
14、成什么2常数）；第二步开平方，把一元二次方程化成一元一次方程（板书：第二步：开平方）；第三步解一元一次方程，得到两个根（板书：第三步：解一元一次方程）.师：下面请同学们按这三步来做两个题目.（五）试探练习，回授调节5.完成下面的解题过程： (1)解方程：2x2-6=0；解：原方程化成 . 开平方，得 ， x1= ，x2= .(2)解方程：9(x-2)2=1.解：原方程化成 . 开平方，得 ， x1= ，x2= .（六）归纳小结，布置作业师：（指准板书）本节课我们学习了一元二次方程根的概念，还学习了用直接开平方法解一元二次方程.用直接开平方法解一元二次方程有这么三步，第一步把原方程化成什么2=常
15、数这种形式；第二步开平方，把一元二次方程化成一元一次方程，也就是把二次降为一次（板书：降次）；第三步解一元一次方程，得到两个根. （作业：P28习题3，P42习题1）四、板书设计2x-6=0解是x=3 直接开平方法 例x2-x=0解是x1=0,x2=1 第一步：化成什么2常数；x2-36=2x 第二步：开平方，降次； 第三步：解一元一次方程.一元二次方程疑难分析1一元二次方程的概念:等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程(quadratic equation in one unknown). 一元二次方程有三个特征:是整式方程;只含
16、有一个未知数;未知数的最高次数是2(且二次项的系数不能为0). 2一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式.这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项. 3一元二次方程的解:能够使方程左右两边相等的未知数的值叫作方程的解.对于方程,当x=8时,.所以x=8是方程的解. 一元二次方程的解也叫一元二次方程的根(root).4.处理一元二次方程的问题时,先要把方程化成一般形式,并分清二次项及其系数、一次项及其系数、常数项各是什么；对于这种形式的方程，必须对进行讨论.例题选讲例1 判断下列方程是否为一元二次方
17、程,若是一元二次方程,请写出二次项系数、一次项系数和常数项.(1) （2）（3） （4） （5）解：（1）原方程整理得,是一元二次方程,它的系数是1,一次项系数是0,常数项是-5. （2）不是一元二次方程,原方程中含有两个未知数 （3）不是一元二次方程, 一元二次方程是整式,而该方程分母中含有未知数.（4）原方程化为,不是一元二次方程, 未知数的最高次数不是2. （5）原方程化为, 当=0,即时,该方程不是一元二次方程.,即时, 该方程是一元二次方程,此时二次项系数是,一次项系数是4ab,常数项是.评注：判断一个方程是否为一元二次方程,先把方程化成一般形式,再按照一元二次方程必须具备的几个条件进行判断.如果二次项系数是含字母的代数式,需要对这个代数式进行分类讨论. 例2 关于x的一元二次方程有一根为0,求a的值?解： 有一根为0,把x=0代入方程中得 .又此方程为一元二次方程, ,.评注：根据方程根的定义,将x=0代入原方程变为关于a的一元二次方程,求得a的值,再根据一元二次方程中,其二次项系数不为0的限制,从而确定a的值.
