1、专题：正态分布例：（1）已知随机变量X服从二项分布，且E（X）=2.4，V（X）=1.44，则二项分布的参数n，p的值为 An=4，p=0.6Bn=6,p=0.4Cn=8，p=0.3Dn=24，p=0.1答案：B。解析：，。 （2）正态曲线下、横轴上，从均数到的面积为( )。A95% B50% C97.5% D不能确定（与标准差的大小有关） 答案：B。解析：由正态曲线的特点知。（3）某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是 （ ）A 32 B 16 C 8 D 20答案：B。解析:数学成绩是XN(80,102)，。 （4）
2、从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为_ 。答案：8.5。解析：设两数之积为X，X23456810121520P0.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1E(X)=8.5. （5）如图，两个正态分布曲线图：1为，2为，则 ， （填大于，小于）答案：，。解析：由正态密度曲线图象的特征知。【课内练习】1标准正态分布的均数与标准差分别为( )。A0与1 B1与0 C0与0 D1与1答案：A。解析：由标准正态分布的定义知。2正态分布有两个参数与，( )相应的正态曲线的形状越扁平。A越大 B越小 C越大 D越小答案： C。解析：由正态密度曲线图象的特征知。3
3、已在个数据，那么是指A B C D（ ）答案：C。解析：由方差的统计定义知。 4设，则的值是 。答案：4。解析：，5对某个数学题，甲解出的概率为，乙解出的概率为，两人独立解题。记X为解出该题的人数，则E（X）= 。答案：。解析：。6设随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是 。 (1) (2)(3)(4)答案：(1),(2),(4)。解析：。7抛掷一颗骰子，设所得点数为X，则D（X）= 。答案：。解析：，按定义计算得。【作业本】A组1袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以X表示取出球的最大号码，则E（X）等于 （ ） A、4 B、5 C、4.5 D、4.75答案：C。解析：
4、X的分布列为X345P0.10.30.6故E（X）=30.1+40.3+50.6=4.5。2下列函数是正态分布密度函数的是 （ ）A BC D答案：B。解析：选项B是标准正态分布密度函数。3正态总体为概率密度函数是 （ ）A奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D既是奇函数又是偶函数答案：B。解析：。4已知正态总体落在区间的概率是05，那么相应的正态曲线在 时达到最高点。答案：0.2。解析：正态曲线关于直线对称，由题意知。5一次英语测验由40道选择题构成，每道有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，每个选对得3分，选错或不选均不得分，满分120分，某学生选对一道题的概率为0.7，求该生在这次测验中的
5、成绩的期望为 ；方差为 。答案：84；75.6。解析：设X为该生选对试题个数，为成绩，则XB（50，0.7），=3XE(X)=400.7=28 V(X)=400.70.3=8.4故E()=E(3X)=3E(X)=84 V()=V(3X)=9V(X)=75.66某人进行一个试验，若试验成功则停止，若实验失败，再重新试验一次，若试验三次均失败，则放弃试验，若此人每次试验成功的概率为，求此人试验次数X的分布列及期望和方差。解：X的分布列为X123P故，。7甲、乙两名射击运动员，甲射击一次命中10环的概率为0.5，乙射击一次命中10环的概率为s，若他们独立的射击两次，设乙命中10环的次数为X，则EX=
6、，Y为甲与乙命中10环的差的绝对值.求s的值及Y的分布列及期望.答案：解：由已知可得，故有Y的取值可以是0，1，2. 甲、乙两人命中10环的次数都是0次的概率是， 甲、乙两人命中10环的次数都是1次的概率是， 甲、乙两人命中10环的次数都是2次的概率是 所以； 甲命中10环的次数是2且乙命中10环的次数是0次的概率是，甲命中10环的次数是0且乙命中10环的次数是2次的概率是 所以，故 所以Y的分布列是Y123P 所以 Y的期望是E（Y）=。B组1某产品的废品率为0.05，从中取出10个产品，其中的次品数X的方差是 （ ）A、0.5 B、0.475 C、0.05 D、2.5答案：B。解析：XB（
7、10，0.05），。2若正态分布密度函数，下列判断正确的是 （ ）A有最大值，也有最小值 B有最大值，但没最小值 C有最大值，但没最大值 D无最大值和最小值 答案：B。3在一次英语考试中，考试的成绩服从正态分布，那么考试成绩在区间内的概率是 A06826 B03174 C09544 D09974答案：C。解析：由已知XN（100，36），故。4袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球得0分，每取到一个白球得1分，若取到一个红球则得2分，用X表示得分数，则E（X）=_；D(X)= _.答案：；。解析：由题意知，X可取值是0，1，2，3，4。易得其概率分布如下：X0123
8、4PE(X)=0+1234 V(X)= + 注：要求次品数的数学期望与方差，应先列出次品数X的分布列。5若随机变量X的概率分布密度函数是，则= 。答案：-5。解析：。6一本书有500页，共有100个错字，随机分布在任意一页上，求一页上错字个数X的均值、标准差。解：XBX的标准差。8一批电池（一节）用于手电筒的寿命服从均值为35.6小时、标准差为4.4小时的正态分布，随机从这批电池中任意取一节，问这节电池可持续使用不少于40小时的概率是多少？答案：解：电池的使用寿命XN(35.6,4.42)则即这节电池可持续使用不少于40小时的概率是0.1587。正态分布双基自测1设有一正态总体，它的概率密度曲
9、线是函数f(x)的图象，且f(x)e，则这个正态总体的平均数与标准差分别是()A10与8 B10与2 C8与10 D2与10解析由ee，可知2，10.答案B2(2011湖北)已知随机变量服从正态分布N(2，2)，且P(4)0.8，则P(02)等于()A0.6 B0.4 C0.3 D0.2解析由P(4)0.8知P(4)P(0)0.2，故P(02)0.3.故选C.答案C3(2010广东)已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2X4)0.682 6，则P(X4)等于()A0.158 8 B0.158 7 C0.158 6 D0.158 5解析由正态曲线性质知，其图象关于直线x3对称，P(X4
10、)0.5P(2X4)0.50.682 60.158 7.故选B4(2010山东)已知随机变量X服从正态分布N(0，2)，若P(X2)0.023，则P(2X2)等于()A0.477 B0.628 C0.954 D0.977解析P(2X2)12P(X2)0.954.答案C5设随机变量X服从正态分布N(2,9)，若P(Xc1)P(Xc1)，则c等于()A1 B2 C3 D42，由正态分布的定义知其函数图象关于x2对称，于是2，c2.答案B考向一正态曲线的性质【例1】若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为 .(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式；(2)求正态总体在(4,4的概
11、率解(1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即0.由，得4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是，(x)e，x(，)(2)P(4X4)P(04X04)P(X)0.682 6.【训练1】 设两个正态分布N(1，)(10)和N(2，)(20)的密度函数图象如图所示，则有()A12，12B12，12C12，12D12，12解析根据正态分布N(，2)函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x对称，在x处取得最大值的连续钟形曲线；越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A.考向二服从正态分布的概率计算【例2】设XN(1,22)，试求(1)
12、P(1X3)；(2)P(3X5)；(3)P(X5)解XN(1,22)，1，2.(1)P(1X3)P(12X12)P(X)0.682 6.(2)P(3X5)P(3X1)，P(3X5)P(3X5)P(1X3)P(14X14)P(12X12)P(2X2)P(X)(0.954 40.682 6)0.135 9.(3)P(X5)P(X3)，P(X5)1P(3X5)1P(14X14)1P(2X2)(10.954 4)0.022 8.【训练2】 随机变量服从正态分布N(1，2)，已知P(0)0.3，则P(2)_.解析由题意可知，正态分布的图象关于直线x1对称，所以P(2)P(0)0.3，P(2)10.30.
13、7.答案0.7考向三正态分布的应用【例3】2011年中国汽车销售量达到1 700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1 200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量服从正态分布N(8，2)，已知耗油量7,9的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有_辆解由题意可知N(8，2)，故正态分布曲线以8为对称轴，又因为P(79)0.7，故P(79)2P(89)0.7，所以P(89)0.35，而P(8)0.5，所以P(9)0.15，故耗油量大于9升的汽车大约有
14、1 2000.15180辆【训练3】 工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布N，问在一次正常的试验中，取1 000个零件时，不属于区间(3,5这个尺寸范围的零件大约有多少个？解XN，4，.不属于区间(3,5的概率为P(X3)P(X5)1P(3X5)1P(41X41)1P(3X3)10.997 40.002 60.003，1 0000.0033(个)，即不属于区间(3,5这个尺寸范围的零件大约有3个阅卷报告19正态分布中概率计算错误【问题诊断】 正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这
15、些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误【防范措施】 对正态分布N(，2)中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为2而不是，同时，记住正态密度曲线的六条性质【示例】 已知某次数学考试的成绩服从正态分布N(116，64)，则成绩在140分以上的考生所占的百分比为A0.3% B0.23% C1.5% D0.15%错因(1)不能正确得出该正态分布的两个参数，导致计算无从下手(2)对正态分布中随机变量在三个区间内取值的概率数值记忆不准，导致计算出错实录同学甲A同学乙B同学丙C正解依题意，116，8，所以392，3140，而服从正态分布的随机变量在(3，3)内取值的概率约为0.997，所以成绩在区间(92,140)内的考生所占百分比约为99.7%，从而成绩在140分以上的考生所占的百分比为0.15%.故选D.【试一试】 在正态分布N中，数值落在(，1)(1，)内的概率为() A0.097 B0.046 C0.03 D0.002 6解析0，P(x1或x1)1P(1x1)1P(3x3)10.997 40.002 6. 答案D8
