1、直线的交点坐标与距离公式 习题（含答案） 一、单选题1已知x,y满足y-20,x+y-80x-20时, z=ax+byab0的最大值为2,则直线ax+by-1=0过定点（ ）A 3,1 B -1,3 C 1,3 D -3,12椭圆上的点到直线x+2y-2=0的最大距离为( )A 3 B 11 C 22 D 103数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知ABC的顶点A2,0,B0,4，若其欧拉线的方程为x-y+2=0，则顶点C的坐标为（ ）A -4,0 B -3,-1 C -5,0 D -4,-24若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的
2、距离是4，则k的值是( )A 1 B -3 C 1或53 D -3或1735已知直线x+my+6=0和(m-2)x+3y+2m=0互相平行，则实数m的取值为（ ）A 1或3 B 1 C 3 D 1或36在空间直角坐标系O-xyz中，若点A(1,2,1)，B(-3,-1,4)，点C是点A关于xOy平面的对称点，则|BC|=A 22 B 26 C 42 D 527已知直线(a-1)x+3y+7=0与直线2x+y-3=0互相平行，则a=（ ）A 6 B 7 C 8 D 98已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象
3、限的交点为P，且P满足|PF1|-|PF2|=2b，则C的离心率e满足（ ）A e2-3e+1=0 B e4-3e2+1=0 C e2-e-1=0 D e4-e2-1=09已知点P(m,n)在直线2x+y+1=0上运动，则m2+n2的最小值为（ ）A 55 B 5 C 15 D 5二、填空题10已知直线m的倾斜角为3，直线l：kx-y=0，若l/m，则实数k的值为_11经过点且与直线垂直的直线方程为_12设P(n,n2)是函数y=x2图象上的动点，当点P到直线y=x-1的距离最小时，n=_.13与直线3x+4y=5平行，并且距离等于3的直线方程是_14已知直线a+3x+y-4=0和直线x+a-
4、1y+4=0互相垂直，则实数a的值为_；15直线2x-y-1=0与直线6x-3y+10=0的距离是_16已知直线l1:ax-2y-1=0 ，直线l2: 3x+y-2=0，则l1过定点_ ；当a=_时，l1与l2平行17已知实数x1,x2,y1,y2满足x12+y12=1,x22+y22=1,x1x2+y1y2=12，则x1+y1-12+x2+y2-12的最大值为_18点(-1,1)关于直线x-y-1=0的对称点是_.三、解答题19如图：已知A,B是圆x2+y2=4与x轴的交点，P为直线l:x=4上的动点，PA,PB与圆的另一个交点分别为M,N.（1）若P点坐标为(4,6)，求直线MN的方程；（
5、2）求证：直线MN过定点.20已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)，F1、F2是其左右焦点，A1、A2为其左右顶点，B1、B2为其上下顶点，若B1F2O=6，|F1A1|=2-3(1)求椭圆C的方程；(2)过A1、A2分别作x轴的垂线l1、l2，椭圆C的一条切线l:y=kx+m(k0)，l与l1、l2交于M、N二点，求证：MF1N=MF2N21已知ABC的三个顶点A(m,n)，B(2,1)，C(-2,3)()求BC边所在直线方程；()BC边上中线AD的方程为2x-3y+6=0，且SABC=7，求m，n的值22光线通过点A(2,3)，在直线l:x+y+1=0上反射，反射光线经过点B(1,
6、1).(1)求点A(2,3)关于直线l对称点的坐标；(2)求反射光线所在直线的一般式方程23已知直线； （1）若，求的值（2）若，且他们的距离为，求的值24选修4-4:坐标系与参数方程选讲 在直角坐标系xOy中,曲线C1:x=2+7cosy=7sin(为参数).以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为=8cos,直线l的极坐标方程为=3(R).() 求曲线C1的极坐标方程与直线l的直角坐标方程；() 若直线l与C1,C2在第一象限分别交于A,B两点,P为C2上的动点,求PAB面积的最大值.25如图，在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=4与x轴的正半轴交于点A，
7、以点A为圆心的圆A：x-22+y2=r2r0与圆O交于B，C两点.（1）当r=2时，求BC的长；（2）当r变化时，求ABAC的最小值；（3）过点P6,0的直线l与圆A切于点D，与圆O分别交于点E，F，若点E是DF的中点，试求直线l的方程. 26已知直线经过点，且斜率为（1）求直线的方程（2）求与直线平行，且过点的直线方程（3）求与直线垂直，且过点的直线方程27如图，已知三角形的顶点为A(2,4)，B(0，2)，C(2,3)，求：(1)直线AB的方程；(2)AB边上的高所在直线的方程；(3)AB的中位线所在的直线方程试卷第4页，总4页参考答案1A【解析】分析：由约束条件作出可行域，得到使目标函数
8、取得最大值的最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得到a，b 的关系，再代入直线ax+by-1=0由直线系方程得答案详解：由z=ax+by(ab0)，得y=-abx+zb-ab-1，画出可行域，如图所示，数学结合可知在点B6,2处取得最大值，6a+2b=2，即： 3a+b=1，直线ax+by-1=0过定点3,1.故选A.点睛：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，属中档题2D【解析】椭圆方程为x216+y24=1,可设椭圆上的任意一点P坐标为4cos,2sin,P到直线x+2y-2=0的距离d=4cos+22sin-21222=42sin+4-25，-
9、4242sin+442, 042sin+4-2510,d的最大值为10，故选D.3A【解析】【分析】设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标【详解】设C（m，n），由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为2+m3,4+n3代入欧拉线方程得：2+m3-4+n3+2=0整理得：m-n+4=0 AB的中点为（1，2），kAB=4-00-2=-2 AB的中垂线方程为y-2=12x-1，即x-2y+3=0联立x-2y+3=0x-y+2=0 解得x=-1y=1ABC的外心
10、为（-1，1）则（m+1）2+（n-1）2=32+12=10，整理得：m2+n2+2m-2n=8 联立得：m=-4，n=0或m=0，n=4当m=0，n=4时B，C重合，舍去顶点C的坐标是（-4，0）故选A【点睛】本题考查了直线方程，求直线方程的一般方法：直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程待定系数法： 先设出直线的方程，再根据已知条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标等4D【解析】【分析】由题得|25-12k+6|52+(-12)2=4，解方程即得k的值.【详解】由题得|25-12k+6|52+(-12)2=4，解方程即得k=-3或
11、173.故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查点到直线的距离公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=Ax0+By0+CA2+B2.5B【解析】【分析】利用两直线平行的等价条件求得实数m的值.【详解】两条直线x+my+6=0和（m2）x+3y+2m=0互相平行，13-mm2=02m-6（m2）0解得 m=1，故选：B【点睛】已知两直线的一般方程判定两直线平行或垂直时，记住以下结论，可避免讨论：已知l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0，则l1/l2A1B2-A2B1=0A1C2-A2C10，l1l
12、2A1A2+B1B2=0 6D【解析】【分析】由对称性先求点C的坐标为1,2,-1，再根据空间中两点之间距离公式计算|BC|。【详解】由对称性可知，点C的坐标为1,2,-1，结合空间中两点之间距离公式可得：BC=-3-12+-1-22+4+12=52.故选D.【点睛】本题考查了空间中对称点的坐标关系及两点间距离公式，属于基础题。7B【解析】【分析】根据它们的斜率相等，可得a-13=2，解方程求a的值【详解】直线(a-1)x+3y+7=0与直线2x+y-3=0互相平行，它们的斜率相等，a-13=2，a=7，故选B.【点睛】本题考查两直线平行的性质，两直线平行可得斜率相等8D【解析】分析：联立圆与
13、渐近线方程，求得M的坐标，由PF1-PF2=2b，得点P在双曲线右支上，代入双曲线方程化简即可求详解：由y=baxx2+y2=c2，得x2=a2y2=b2，即Pa,b， 由PF1-PF2=2b，即(a+c)2+b2-(a-c)2+b2=2b， 由b2=a2-c2，e=ca ，化简得c4-a2c2-a4=0，即e4-e2-1=0，故选D.点睛：本题考查双曲线的简单几何性质，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题9C【解析】分析：m2+n2的几何意义为直线上的点到原点距离的平方，由点到直线的距离公式可得结果.详解：点Pm,n是直线2x+y+1=0上的任意一点，又m2+n2的几何意义为直线上的
14、点到原点距离的平方，m2+n2的最小值为原点到直线距离的平方，所求最小值为122+122=15，故选C.点睛：本题考查点到直线的距离公式，意在考查转化与划归思想，是基础题.103.【解析】分析：根据两直线平行的等价条件可得斜率k的值详解：直线m的倾斜角为3，直线m的斜率为tan3=3.又l/m，k=3点睛：本题考查两直线平行的性质，即两直线的斜率存在时，则两直线平行等价于两直线的斜率相等11【解析】设所求直线为，代入得，故所求直线方程为，填1212【解析】【分析】由点到直线的距离公式求得n为何值时，距离最小【详解】P(n,n2)是函数y=x2图象上的动点，则点P到直线y=x-1的距离为d=|n
15、-n2-1|2=|(n-12)2+34|2， 当n=12时，d取得最小值故答案为：12【点睛】本题考查了点到直线的距离公式应用问题，是基础题133x+4y+10=0或3x+4y-20=0.【解析】分析：设所求直线为3x+4y+m=0，直线3x+4y=5即为3x+4y5=0，运用两平行直线的距离公式，得到m的方程计算即可得到所求方程详解：设所求直线为3x+4y+m=0，直线3x+4y=5即为3x+4y5=0，则由平行直线的距离公式可得d=|m+5|5=3 ，解得m=10或20则有所求直线为3x+4y+10=0，或3x+4y20=0故答案为：3x+4y+10=0，或3x+4y20=0点睛：这个题目
16、考查的是平行线间的距离公式，考查了学生计算能力，较为基础，在使用两平行线的距离公式前，先将x,y的系数化为一样的.14-1【解析】【分析】利用直线垂直的性质求解【详解】直线a+3x+y-4=0和直线x+a-1y+4=0互相垂直，（a+3）1+1（a-1）=0，解得a=-1故答案为：-1【点睛】两直线位置关系的判断： l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的平行和垂直的条件属于常考题型，如果只从斜率角度考虑很容易出错，属于易错题题型，应熟记结论：垂直： A1A2+B1B2=0；平行： A1B2=A2B1，同时还需要保证两条直线不能重合，需要检验！1513155【解析】分析
17、：把直线方程2x-y-1=0化为6x-3y-3=0，利用两平行线之间的距离公式，即可求解结果详解：由直线2x-y-1=0，可化为6x-3y-3=0，则直线6x-3y-3=0和直线6x-3y+10=0之间的距离d=-3-662+(-3)2=13155点睛：本题主要考查了两平行线之间的距离的求解，其中熟记两平行线之间的距离公式是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力16 (0,-12) -23【解析】分析：将直线l1的方程变形为ax-(2y+1)=0，令x=0且2y+1=0可得定点坐标；根据两直线平行的等价条件可得a的值详解：直线l1的方程变形为ax-(2y+1)=0，令x=02y+1=0，解
18、得x=0y=-12，所以直线l1过定点(0,-12)当l1与l2平行时，则有a3=-2，解得a=-23，即a=-23时，l1与l2平行点睛：直线过定点的问题实质上是恒成立的问题，判断直线过定点时，先把直线方程整理成fx,y+kgx,y=0（k为参数）的形式，解方程组fx,y=0gx,y=0可得定点的坐标173+2【解析】【分析】根据题意，转化为圆上两个点到定直线距离和的最大值问题。根据两个点形成的夹角为60，即可求得最大值。【详解】由题意可设Ax1,y1,Bx2,y2 因为x1x2+y1y2=12，即OAOB=12 ，因为r=1，设OA与OB形成夹角为，所以OAOB=OAOBcos=12，即=
19、3x1+y1-12+x2+y2-12即为A、B到直线l:x+y-1=0 距离的和易知当ABl时，A、B到直线l:x+y-1=0 距离的和取得最大值此时原点O到AB的距离为d=12-122=32 O到直线l的距离为d=12-222=22所以A与B到直线l的距离和为232+22=3+2【点睛】本题考查了点与圆、点与直线的综合问题，关键分析出两个点的位置关系，在哪个位置时取得距离的最大值，属于难题。182,-2【解析】【分析】利用对称轴的性质布列方程组，即可得到结果.【详解】设点M（1，1）关于直线l：xy1=0对称的点N的坐标（x，y） 则MN中点的坐标为（x-12，y+12），利用对称的性质得：
20、KMN=y-1x+1=1，且 x-12y+121=0，解得：x=2，y=2，点N的坐标（2，2），故答案为（2，2）【点睛】本题考查求点关于直线的对称点的坐标的方法，利用垂直关系、中点在轴上两个条件以及待定系数法求对称点的坐标19(1) y=-2x+2(2)(1,0)【解析】【分析】（1）直线PA方程为y=x+2，由 y=x+2x2+y2=4解得M（0，2），直线PB的方程 y=3x-6，由y=3x-6x2+y2=4解得 N(85,-65)，用两点式求得MN的方程（2）设P（4，t），则直线直线PA的方程为y=t6(x+2),直线PB的方程为y=t2(x-2) ，解方程组求得M、N的坐标，从而
21、得到MN的方程为y=8t12-t2x-8t12-t2，显然过定点（1，0）【详解】(1)直线PA方程为y=x+2 , 由y=x+2x2+y2=4解得M(0,2), 直线PB的方程y=3x-6 ,由y=3x-6x2+y2=4解得N(85,-65), 所以MN的方程y=-2x+2 (2)设p(4,t),则直线PA的方程为y=t6(x+2),直线PB的方程为y=t2(x-2) x2+y2=4y=t6(x+2)得M(72-2t236+t2,24t36+t2),同理N(2t2-84+t2,-8t4+t2) 直线MN的斜率k=24t36+t2-8t4+t272-2t236+t2-2t2-84+t2=8t1
22、2-t2 直线MN的方程为y=8t12-t2(x-2t2-84+t2)-8t4+t2, 化简得:y=8t12-t2x-8t12-t2 所以直线MN过定点(1,0)【点睛】本题主要考查直线过定点问题，求直线的方程，求两条直线的交点坐标，属于中档题20（1）x24+y2=1；（2）见解析【解析】【分析】(1)解方程组c=32aa-c=2-3a2=b2+c2即得椭圆的方程.(2)先证明kMF1kNF1=-2k+m-2+32k+m2+3=m2-4k2-1=-1，所以MF1N=2，同理可得MF2N=2，所以 MF1N=MF2N.【详解】(1)由题设知c=32aa-c=2-3a2=b2+c2解得a=2，b
23、=1，c=3椭圆C的方程为x24+y2=1 (2)由题设知，l1:x=-2，l2:x=2 l与C的方程联立消y得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0“*” l与C相切 “*”的=64k2m2-16(1+4k2)(m2-1)=0 得m2-4k2=1l与l1、l2联立得M(-2，-2k+m)，N(2，2k+m)又F1(-3，0)、F2(3，0) kMF1kNF1=-2k+m-2+32k+m2+3=m2-4k2-1=-1 MF1NF1，即MF1N=2 同理可得MF2N=2 MF1N=MF2N【点睛】(1)本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平
24、和分析推理计算能力.(2)解答本题的关键是证明kMF1kNF1=-2k+m-2+32k+m2+3=m2-4k2-1=-1，所以MF1N=2.21()x+2y-4=0；()m=3，n=4或m=-3，n=0.【解析】【分析】()由斜率公式可得kBC=-12，结合点斜式方程整理计算可得BC边所在直线方程为x+2y-4=0.()由题意可得|BC|=25，则ABC的BC边上的高h=75，据此由点到直线距离公式和直线方程得到关于m,n的方程组，求解方程组可得m=3，n=4或m=-3，n=0.【详解】()B(2，1)，C(-2,3)kBC=3-1-2-2=-12，可得直线BC方程为y-3=-12(x+2)，
25、化简，得BC边所在直线方程为x+2y-4=0.()由题意，得|BC|=(2+2)2+(1-3)2=25，SABC=12|BC|h=7，解之得h=75，由点到直线的距离公式，得|m+2n-4|1+4=75，化简得m+2n=11或m+2n=-3，2m-3n+6=0m+2n=11或2m-3n+6=0m+2n=-3.解得m=3，n=4或m=-3，n=0.【点睛】本题主要考查直线方程的求解，点到直线距离公式的应用，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22（1）(-4,-3)；（2）4x-5y+1=0。【解析】【分析】(1)根据对称点与A连线垂直直线l ，以及对称点与A 中点在直线
26、l 上列方程组解得结果，(2)根据对称性得反射光线所在直线经过A的对称点A0(-4,-3)和B(1,1)，再根据点斜式求直线方程.【详解】（）设点A(2，3)关于直线l的对称点为A0(x0,y0)，则&y0-3x0-2=12+x02+3+y02+1=0 解得x0=-4,y0=-3，即点A(2，3)关于直线l的对称点为A0(-4,-3) （）由于反射光线所在直线经过点A0(-4,-3)和B(1,1)，所以反射光线所在直线的方程为y-1=45(x-1)即4x-5y+1=0.【点睛】本题考查点关于直线对称点问题，考查基本求解能力.23（1）；（2）， 或【解析】试题分析：（1）因为两条直线是相互垂直
27、的，故，解得；（2）因为两条直线是相互平行的，故，解得解析：设直线的斜率分别为，则、（1）若，则，（2）若，则，可以化简为，与的距离为，或 24（1）y=3x（2）2+3【解析】【分析】()先求出曲线C1的普通方程,再把普通方程化为极坐标方程.再写出直线的直角坐标方程.( )先求出AB=2-1=1,再求出以AB为底边的PAB的高的最大值为4+23, 再求PAB面积的最大值.【详解】()依题意得,曲线C1的普通方程为x-22+y2=7,曲线C1的极坐标方程为2-4cos-3=0,直线l的直角坐标方程为y=3x ()曲线C2的直角坐标方程为x-42+y2=16,设A1,3,B2,3,则12-41c
28、os3-3=0,即12-21-3=0,得1=3或1=-1(舍),2=8cos3=4,则AB=2-1=1, C24,0到l的距离为d=434=23,以AB为底边的PAB的高的最大值为4+23, 则PAB的面积的最大值为1214+23=2+3【点睛】(1)本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线和圆的位置关系，考查面积的最值的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）本题的解题的关键是求出AB=2-1=1.25（1）7（2）-2（3）x3y-6=0【解析】分析：（1）根据半径，得到圆A的标准方程；因为B、C是两个圆的交点，联立两个圆可得到两个交点坐标，利用两
29、点间距离公式即可求得BC的长。（2）根据圆A关于x轴对称，可设B（x0,y0)、C（x0,-y0)，代入到圆O中，用y0表示x0；根据向量数量积的坐标运算，得到ABAC=2(x0-1)2-2，根据x0的取值范围即可得到ABAC的最小值。（3）取EF的中点G，连结OG、AD、OF，可知ADP 与OGP 相似，根据中点性质和勾股定理，在RtOFG和RtADP中，联立方程求得r的值；设出直线方程，根据点到直线距离公式即可求出直线方程。详解：（1）当r=2 时，由x2+y2=4x-22+y2=2 得，B32,72, C32,-72, BC=7 （2）由对称性，设B（x0,y0)、C（x0,-y0)，则
30、x02+y02=4所以ABAC=（x0-2)2-y02 =（x0-2)2-(4-x02) =2(x0-1)2-2因为-2x02，所以当x0=1时，ABAC的最小值为-2 （3）取EF的中点G，连结OG、AD、OF，则AD/OG则ADOG=APOP=PDPG=46，从而OG=32r ，不妨记DE=2EG=2GF=2t，PD=6t在RtOFG中OF2=OG2+FG2即22=3r22+t2在RtADP中AP2=AD2+DP2即42=r2+6t2由解得r=2105 由题直线的斜率不为0，可设直线的方程为：x=my+6 ，由点A到直线l 的距离等于r 则|2-m0-6|1+m2=2105，所以m=3，从
31、而直线l的方程为x3y-6=0点睛：本题考查了直线与圆、圆与圆之间的位置关系，根据向量的数量积求最值问题，结合点到直线距离求直线方程，综合性强，属于难题。26(1) (2) (3) 【解析】试题分析：（1）写出直线的点斜式方程，整理成一般方程即可（2）可设直线的一般方程为，代入点求出即可（3）所求直线的斜率为，写出直线的点斜式方程，整理成一般方程即可解析：（1）由题设有，整理得（2）设所求直线方程为，代入点， 解得，所以直线方程为（3）所求直线方程为，化简得，所以直线方程为 27（1）3xy20.（2）x3y70.（3）6x2y70.【解析】【分析】（1）根据斜率公式和题意求出直线AB的斜率k
32、，再代入点斜式方程化为一般式即可；（2）设AB边上的高所在的直线方程为y13xm，由直线过点C(2,3)，求出m的值，可得AB边上的高所在直线的方程；（3）根据AB边的中位线与AB平行且过AC中点(0，72)，求得AB的中位线所在的直线方程.【详解】(1)由已知直线AB的斜率kAB4-22-03，直线AB的方程为y3x2，即3xy20.(2)设AB边上的高所在的直线方程为y13xm，由直线过点C(2,3)，323m，解得m73，故所求直线为y13x73，即x3y70.(3)AB边的中位线与AB平行且过AC中点(0，72)，AB的中位线所在的直线方程为y3x72，即6x2y70.【点睛】本题主要考查两条直线平行、垂直的性质，直线的斜率公式，用点斜式求直线的方程，属于基础题.答案第15页，总15页
