1、小专题证明圆的切线的两种类型类型1已知直线与圆的交点【例1】如图，AB=AC，AB是O的直径，O交BC于D，DMAC于M.求证：DM与O相切.【方法总结】直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需“连半径，证垂直，得切线”.“证垂直”时通常利用圆中的关系得到90的角，如直径所对的圆周角等于90等.变式练习1(湖州中考改编)如图，已知P是O外一点，PO交O于点C，OC=CP=2，弦AB垂直平分OC.(1)求BC的长；(2)求证：PB是O的切线.变式练习2(德州中考)如图，已知O的半径为1，DE是O的直径，过D作O的切线，C是AD的中点，AE交O于B点，四边形BCOE是平行四边形.(1)求AD的
2、长；(2)BC是O的切线吗？若是，给出证明，若不是，说明理由. 变式练习3(临沂中考)如图，已知等腰三角形ABC的底角为30，以BC为直径的O与底边AB交于点D，过D作DEAC，垂足为E.(1)证明：DE为O的切线；(2)连接OE，若BC=4，求OEC的面积.类型2未知直线与圆的交点【例2】如图，AB=AC，D为BC中点，D与AB切于E点.求证：AC与D相切.【方法总结】直线与圆没有已知的公共点时，通常“作垂直，证半径，得切线”.证明垂线段的长等于半径常用的方法是利用三角形全等或者利用角平分线上的点到角的两边的距离相等.变式练习4如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半
3、径的O与BC相切于点M，与AB、AD分别相交于点E、F.求证：CD与O相切.变式练习5如图，在RtABC中，B=90，BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE=DC，以D为圆心，DB长为半径作D，AB=5，EB=3.（1）求证：AC是D的切线;（2）求线段AC的长.参考答案类型1已知直线与圆的交点【例1】法一：连接OD.AB=AC，B=C.OB=OD，BDO=B.BDO=C.ODAC.DMAC，DMOD.DM与O相切.法二：连接OD，AD.AB是O的直径，ADBC.AB=AC,BAD=CAD.DMAC，CAD+ADM=90.OA=OD，BAD=ODA.ODA+ADM=90.即ODDM
4、，DM是O的切线.变式练习1(1)连接OB.弦AB垂直平分OC，OB=BC.又OB=OC，OBC是正三角形.BC=OC=2.(2)BC=CP，CBP=CPB.OBC是正三角形，OBC=OCB=60.CBP=30，OBP=CBP+OBC=90，即OBBP.点B在O上，PB是O的切线.变式练习2(1)连接BD，则DBE=90.四边形BCOE是平行四边形，BCOE，BC=OE=1.在RtABD中，C为AD的中点，BC=AD=1.AD=2.(2)连接OB，由(1)得BCOD，且BC=OD.四边形BCDO是平行四边形.又AD是O的切线，ODAD.四边形BCDO是矩形.OBBC，BC是O的切线.变式练习3
5、(1)证明：DE为O的切线；证明：连接OD.等腰ABC的底角为30，A=B=30.OB=OD，ODB=B=30.ODB=A.ODAC.又DEAC，DEOD.DE为O的切线；(2)连接DC，B=BDO=30，DOC=60.又OD=OC，OD=OC=DC=12BC=2.ODE=90，EDC=30,在RtDEC中，EC=DC=1,DE=2=ODE=DEA=90，ODAC,SOCE=SDEC=CEDE=1=.类型2未知直线与圆的交点【例2】法一：连接DE，作DFAC，垂足为F.AB是D的切线，DEAB.DFAC，DEB=DFC=90.AB=AC，B=C.BD=CD，BDECDF.DF=DE.F在D上.
6、AC是D的切线.法二：连接DE，AD，作DFAC，F是垂足.AB与D相切，DEAB.AB=AC，BD=CD，DAB=DAC.DEAB，DFAC，DE=DF.F在D上，AC与D相切.【方法总结】直线与圆没有已知的公共点时，通常“作垂直，证半径，得切线”.证明垂线段的长等于半径常用的方法是利用三角形全等或者利用角平分线上的点到角的两边的距离相等.变式练习4连接OM，过点O作ONCD，垂足为N，O与BC相切于M，OMBC.正方形ABCD中，AC平分BCD，又ONCD，OMBC,OM=ON.N在O上.CD与O相切.变式练习5（1）AC是D的切线;证明：过点D作DFAC于F.ABC=90ABBC.AD平分BAC，DFAC,BD=DF.点F在D上AC与D相切；（2）在RtBDE和RtFDC中,BD=DF，DE=DC，RtBDERtFDC（HL），EB=FC.AB=AF，AB+EB=AF+FC，即AB+EB=AC，AC=5+3=8.
