1、二次函数一、知识点梳理1.定义：一般地，如果是常数，那么叫做的二次函数.2.二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合）轴的抛物线.二次函数a0a0 y 0 x y 0 x （1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；（3）在对称轴的左侧，即当x时，y随x的增大而增大（4）抛物线有最低点，当x=时，y有最小值，（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；（3）在对称轴的左侧，即当x时，y随x的增大而减小（4）抛物线有最高点，当x=时，y有最大值，3.用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择
2、一般式. （2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴以及最值，通常选择顶点式. 求抛物线的顶点、对称轴的方法：， 顶点是，对称轴是直线. （3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式： 抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故4.抛物线中，的作用（1） 决定开口方向及开口大小： 0，开口向上；0，开口向上， 又y=x2x+m=x2x+（）2 +m=（x）2+ 对称轴是直线x=，顶点坐标为（，） （2）顶点在x轴上方， 顶点的纵坐标大于0，即0 m m时，顶点在x轴上方 （3）令x=0，则y=m 即抛物线y=x2x+m与y轴交点的坐标是A（0，m） ABx
3、轴 B点的纵坐标为m 当x2x+m=m时，解得x1=0，x2=1 A（0，m），B（1，m） 在RtBAO中，AB=1，OA=m SAOB =OAAB=4 m1=4，m=8故所求二次函数的解析式为y=x2x+8或y=x2x8【点评】正确理解并掌握二次函数中常数a，b，c的符号与函数性质及位置的关系是解答本题的关键之处 例2 已知：m，n是方程x26x+5=0的两个实数根，且mn，抛物线y=x2+bx+c的图像经过点A（m，0），B（0，n），如图所示（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标和BCD的面积；（3）P是线段OC
4、上的一点，过点P作PHx轴，与抛物线交于H点，若直线BC把PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标【分析】（1）解方程求出m，n的值用待定系数法求出b，c的值（2）过D作x轴的垂线交x轴于点M，可求出DMC，梯形BDBO，BOC的面积，用割补法可求出BCD的面积 （3）PH与BC的交点设为E点，则点E有两种可能：EH=EP， EH=EP 【解答】（1）解方程x26x+5=0， 得x1=5，x2=1 由mn，有m=1，n=5 所以点A，B的坐标分别为A（1，0），B（0，5）将A（1，0），B（0，5）的坐标分别代入y=x2+bx+c， 得 解这个方程组，得 所以抛物线的解析式为y=
5、x24x+5 （2）由y=x24x+5，令y=0，得x24x+5=0 解这个方程，得x1=5，x2=1 所以点C的坐标为（5，0），由顶点坐标公式计算，得点D（2，9）过D作x轴的垂线交x轴于M，如图所示 则SDMC=9（52）= S梯形MDBO=2（9+5）=14， SBDC =55= 所以SBCD =S梯形MDBO+SDMC SBOC =14+=15 （3）设P点的坐标为（a，0） 因为线段BC过B，C两点，所以BC所在的直线方程为y=x+5 那么，PH与直线BC的交点坐标为E（a，a+5），PH与抛物线y=x2+4x+5的交点坐标为H（a，a24a+5） 由题意，得EH=EP，即 （a2
6、4a+5）（a+5）=（a+5） 解这个方程，得a=或a=5（舍去） EH=EP，得 （a24a+5）（a+5）=（a+5） 解这个方程，得a=或a=5（舍去） P点的坐标为（，0）或（，0）例3 已知关于x的二次函数y=x2mx+与y=x2mx，这两个二次函数的图像中的一条与x轴交于A，B两个不同的点（1）试判断哪个二次函数的图像经过A，B两点；（2）若A点坐标为（1，0），试求B点坐标；（3）在（2）的条件下，对于经过A，B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？ 【解答】（1）对于关于x的二次函数y=x2mx+ 由于b24ac=（m）41=m220， 所以此函数的图像与x
7、轴有两个不同的交点 故图像经过A，B两点的二次函数为y=x2mx （2）将A（1，0）代入y=x2mx 得1+m=0 整理，得m22m=0 解得m=0或m=2 当m=0时，y=x21令y=0，得x21=0 解这个方程，得x1=1，x2=1 此时，点B的坐标是B（1，0） 当m=2时，y=x22x3令y=0，得x22x3=0 解这个方程，得x1=1，x2=3 此时，点B的坐标是B（3，0） （3）当m=0时，二次函数为y=x21，此函数的图像开口向上，对称轴为x=0，所以当x0时，函数值y随x的增大而减小当m=2时，二次函数为y=x22x3=（x1）24，此函数的图像开口向上，对称轴为x=1，所
8、以当x1时，函数值y随x的增大而减小【点评】本题是一道关于二次函数与方程、不等式有关知识的综合题，但它仍然是反映函数图像上点的坐标与函数解析式间的关系，抓住问题的实质，灵活运用所学知识，这类综合题并不难解决课堂习题一、填空题1右图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图像，观察图像写出y2y1时，x的取值范围_2已知抛物线y=a2+bx+c经过点A（2，7），B（6，7），C（3，8），则该抛物线上纵坐标为8的另一点的坐标是_3已知二次函数y=x2+2x+c2的对称轴和x轴相交于点（m，0），则m的值为_4若二次函数y=x24x+c的图像与x轴只有1个交点，则c=_ 5已知
9、抛物线y=ax2+bx+c经过点（1，2）与（1，4），则a+c的值是_6甲，乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一十分关键的球，出手点为P，羽毛球飞行的水平距离s（m）与其距地面高度h（m）之间的关系式为h=s2+s+如下左图所示，已知球网AB距原点5m，乙（用线段CD表示）扣球的最大高度为m，设乙的起跳点C的横坐标为m，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m的取值范围是_ 7 二次函数y=x22x3与x轴两交点之间的距离为_8杭州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y（元/m2）随楼层数x（楼）的变化而变化（x=1，2，3，4，5，6，7，8），已知点（x
10、，y）都在一个二次函数的图像上（如上右图），则6楼房子的价格为_元/m2二、选择题9二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则下列关系式不正确的是（ ）Aa0 Ca+b+c0 (第9题) (第12题) (第15题)10已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过点A（1，2），B（3，2），C（5，7）若点M（2，y1），N（1，y2），K（8，y3）也在二次函数y=ax2+bx+c的图像上，则下列结论中正确的是（ ） Ay1y2y3 By2y1y3 Cy3y1y2 Dy1y30）交x轴A，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为（1，0） （1）求抛物线的对称轴及点A的
11、坐标； （2）过点C作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点P，你能 判断四边形ABCP是什么四边形？并证明你的结论；18如图所示，m，n是方程x26x+5=0的两个实数根，且mn，抛物线y=x2+bx+c的图像经过点A（m，0），B（0，n） （1）求这个抛物线的解析式； （2）设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线 的顶点为D，试求出点C，D的坐标和BCD的面积； （3）P是线段OC上的一点，过点P作PHx轴，与抛物线交于点H，若直线BC把 PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出点P的坐标19某地计划开凿一条单向行驶（从正中通过）的隧道，其截面是抛物线拱形ACB，而且能通过最宽3m，最
12、高3.5m的厢式货车按规定，机动车通过隧道时车身距隧道壁的水平距离和铅直距离最小都是0.5m为设计这条能使上述厢式货车恰好完全通过的隧道，在图纸上以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，求抛物线拱形的表达式，隧道的跨度AB和拱高OC20已知一个二次函数的图像过如图所示三点 （1）求抛物线的对称轴；（2） 平行于x轴的直线L的解析式为y=，抛物线与（3） x轴交于A，B两点在抛物线的对称轴上找点P，（4） 使BP的长等于直线L与x轴间的距离求点P的坐标21如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图像与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（1，0），点C（0，5），D（1，8）在抛物线上，M为抛物线的顶点 （1）求抛物线的解析式；（2）求MCB的面积
