1、函数的概念 习题 一、单选题1函数f(x)=x+1(x0)x2+4x+1(x0)的单调递增区间是（）A (-,+) B -2,+) C (-,-2) D 0,+)2下列四组函数中，表示同一个函数的是（ ）A f(x)=x2-1x+1,g(x)=x-1 B f(x)=x,g(x)=|x|C f(x)=x2,g(x)=(x)2 D f(x)=x,g(x)=lg10x3函数f(x)=x-2+ln(3-x)的定义域为()A 2,3) B (2,3) C 2,+) D (-,34已知函数f(x)的定义域为R.当x0时，f(x-1)=f(x)，则f(4)=()A -2 B -1 C 0 D 25已知一次函
2、数的图象过点(0,1)，(1,2)，则这个函数的解析式为()A y=x-1 B y=-x-1 C y=x+1 D y=-x+16设函数f(x)1xx0，exx0，F(x)f(x)x，xR.F(x)的值域为()A (，1 B 2，)C (，12，) D (，1)(2，)7设函数f(x)2x1+2x-12，x表示不超过x的最大整数，则函数yf(x)的值域是 ()A 0,1 B 0，1 C 1,1 D 1,18函数f(x)=x-4lgx-1 的定义域是( )A 4,+) B (10,+)C (4,10)(10,+) D 4,10)(10,+)9下列四组函数，表示同一函数的是()A f (x)x2,
3、g(x)xB f (x)x, g(x)x2xC f (x)x2-4, g(x)x+2x-2D f (x)|x1|, g(x)x+1,x-1-x-1,x-110已知函数f(x)的定义域是(0,1)，那么f(2x)的定义域是()A (0,1) B (-,1) C (-,0) D (0,+)二、填空题11已知f(x)=1+x,x0，4x,x1.（1）当a=-2时，求f(x)的单调区间；（2）当a0时，求不等式f(x)0的解集；18已知函数f(x)=1+|x|-x2(-2x2)(I)用分段函数的形式表示函数；(II)画出该函数的图象；(III)写出该函数的值域19已知函数x=1-x，hx=x+-x.1
4、求函数hx的值域；2求函数Fx=ax2+hx的最大值ga.20设fx是定义在R上的函数，且对任意实数x，恒有f(x+2)=f(-x),f(x)=-f(4-x)，当x0,2时， fx=2x-x2.(1)当x2,4时，求fx的解析式；（2）计算f(0)+f(1)+f(2)+f(2019).试卷第3页，总3页 参考答案1B【解析】【分析】根据一次函数和二次函数的图象与性质，分别求解函数的单调递增区间，即可得到函数的单调递增区间，得到答案【详解】因为当x0时，函数gx=x2+4x+1=(x+2)2-3的单调递增区间为-2,0)，而hx=x+1在0,+)上单调递增，且h0=g0=1，所以函数fx在x=0
5、处连续，则函数的单调递增区间-2,+)，故选B【点睛】本题主要考查了分段函数的性质，及单调区间的求解，其中解答中分别根据一次函数与二次函数的图象与性质求解每段函数的单调区间是解答的关键，着重考查了推理与运算能力2D【解析】【分析】根据同一函数的定义，分别逐一求解、验证定义域和对应法则是否相同，即可得到结论【详解】由题意，对于A中，函数f(x)=x2-1x+1的定义域为x-1，函数g(x)=x-1的定义域为R，定义域不相同，所以不是同一个函数； 对于B中，函数f(x)=x和g(x)=|x|=x,x0-x,x0的定义域都是R，但对应法则不同，所以不是同一个函数；对于C中，函数f(x)=x2的定义域
6、为R，函数g(x)=(x)2的定义域为0,+)，定义域不相同，所以不是同一个函数；对于D中，函数f(x)=x和g(x)=lg10x=x的定义域都是R且对应法则都相同，所以是同一个函数，故选D【点睛】本题主要考查了函数的基本概念和同一函数的判定，其中解答中熟记函数的三要素（定义域、值域和对应法则），以及同一函数的判定方法上解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题3A【解析】【分析】由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解【详解】由x-203-x0，得2x3函数f（x）=x-2+ln（3x）的定义域为2，3）故选：A【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题4C
7、【解析】【分析】推导出f(4)=f(3)=f(2)=f(1)=f(0)，由此能求出结果【详解】函数f(x)的定义域为R.当x0时，f(x-1)=f(x)，f(4)=f(3)=f(2)=f(1)=f(0)=0故选：C【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5C【解析】【分析】根据待定系数法求解，先设出函数的解析式，代入点的坐标后得到关于待定系数的方程组，解方程组后可得所求解析式【详解】设一次函数的解析式为y=kx+b(k0)，一次函数的图象过点(0,1)，(1,2)，1=b2=k+b，解得k=1b=1，函数的解析式为y=x+1故选C【点睛】待定系数法求函数
8、的解析式是一种常用的方法，它适用于已知函数的类型求解析式的情形，解题时根据类型设出函数的解析式，然后根据题意得到关于参数的方程（组），解得参数后即可得到所求的解析式6C【解析】【分析】首先写出函数Fx的解析式，然后求解其值域即可.【详解】由题意可得：Fx=x+1x,x0ex+x,x0，当x0时，Fx=x+1x2x1x=2，当且仅当x=1时等号成立，此时函数的值域为2,+；当x0时，Fx=ex+x，Fx=ex+10，则函数Fx在区间-,0上单调递增，由于F0=e0+0=1，当x-时，Fx-，此时函数的值域为-,1，综上可得，函数的值域为-,12,+.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查分段函数值
9、域的求解，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7B【解析】【详解】依题意fx=2x+1-11+2x-12=12-11+2x，由于012x+10，解不等式组可得定义域.【详解】要使函数f(x)=x-4lgx-1有意义，则x-40lgx-10x0，解得：x4x110x0，即x4且x10，所以函数的定义域为：4,10)(10,+).故选D.【点睛】本题考查函数的定义域，一般地，函数的定义域须从四个方面考虑：（1）分母不为零；（2）偶次根号下非负；（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；（4）零的零次幂没有意义.9D【解析】【分析】直接利用函数的定义域与函数的对应法则
10、判断选项即可【详解】对于A，f （x）=x2=x，g（x）=x函数的对应法则不同，所以A不正确；对于B，f （x）=x，g（x）=x2x，两个函数的定义域不同，所以不正确；对于C，f （x）=x2-4，g（x）=x+2x-2，两个函数的定义域不同，所以不正确；对于D，f （x）=|x+1|=x+1x-1-x-1x-1，g（x）=x+1x-1-x-1x-1函数的对应法则与函数的定义域相同，所以正确故选：D【点睛】本题通过判断函数是否为同一函数主要考查函数的定义域、值域以及对应法则，属于中档题. 判断函数是否为同一函数，能综合考查学生对函数定义的理解，是单元测试卷经常出现的题型，要解答这类问题，关
11、键是看两个函数的三要素：定义域、值域、对应法则是否都相同，三者有一个不同，两个函数就不是同一函数.10C【解析】【分析】根据函数f(x)的定义域是(0,1)，而2x相当于f(x)中的x，因此得到02x1，利用指数函数的单调性即可求得结果【详解】函数f(x)的定义域是(0,1)，02x1，解得x0，故选：C【点睛】本题主要考查了函数的定义域和指数函数的单调性，体现了整体代换的思想，属于中档题1132【解析】【分析】根据分段函数的解析式，先求解f(-1)=14，进而求解f(f(-1)的值.【详解】由题意，函数fx=1+x,x04x,x0，解得0x2且x1，所以函数fx=4-x2lnx的定义域为(0
12、,1)(1,2，故答案为(0,1)(1,2.【点睛】本题主要考查函数的定义域、不等式的解法，属于中档题. 定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数fx的定义域为a,b，则函数fgx的定义域由不等式agxb求出.13(5，1)或(1,5)【解析】【分析】根据A到B的映射关系，解方程x+y=4xy=-5，即可求出A中对应的元素【详解】从A到B的映射f：（x，y）（x+y，xy），由x+y=4xy=-5，解得x=5y=-1或x=-5y=1，即A中元素（5，1）或（1
13、，5）与B中元素（4，5）对应故答案为：（5，1）或（1，5）【点睛】本题主要考查映射的概念和应用，利用条件中的映射关系，建立方程组，解方程即可14-,-21,+【解析】【分析】在该函数中，x应使根式下的代数式大于等于0，同时分式的分母不能为0.【详解】要使原函数有意义，则需x2+x-20x0，解之可得：x-,-21,+故答案为：-,-21,+【点睛】定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数fx的定义域为a,b，则函数fgx的定义域由不等式agxb求出.151
14、,+【解析】【分析】根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解得结果.【详解】由题意得lnx0x1，即定义域为1,+.【点睛】本题考查函数定义域，考查基本求解能力.属基础题.16（1）-14；（2）定义域为x|x-2；值域f(x)|f(x)1.【解析】【分析】(1)可直接求得f(2)=-14；(2)容易看出f(x)需满足x-2，这样便可得出f(x)的定义域.分离常数得到f(x)=1-5x+2，显然得出f(x)1，这样即得出f(x)的值域【详解】(1)f(2)=2-32+2=-14；(2)要使f(x)有意义，则x-2；f(x)的定义域为x|x-2；f(x)=x-3x+2=1-5x+2；5x+20；f
15、(x)1；f(x)的值域为f(x)|f(x)1【点睛】考查已知函数求值的方法，函数定义域、值域的概念及求法，分离常数法的运用17（1）f(x)的单调减区间为(-,1)，(1,+)，无单调增区间；（2）当01时，不等式的解集为(-,1a,+).【解析】【分析】(1) a=-2时，fx=-2-x,x1-2x-1x+2,x1利用一次函数与二次函数的单调性可得结果；（2）a0时，不等式转化为a-x0x1，或ax-1x-a0x1， 利用分类讨论思想分别解不等式组，求并集即可得结果.【详解】(1)a=-2时，fx=-2-x,x1-2x-1x+2,x1，因为y=-2-x的斜率为负值，所以由一次函数性质得fx
16、在-,1上递减；y=-2x-1x+2的图象开口向下，对称轴为x=-12，由二次函数性质得fx在1,+上递减，fx没有增区间.(2)a0时，不等式转化为a-x0x1，或ax-1x-a0x1， 若01，不等式解为-,a1,+.若a1时，解集为x1；解集为xa，不等式解为-,1a,+,综上所述，00的解集为(-,a(1,+)；当a1时，不等式的解集为(-,1（a,+）.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质、分段函数的解析式与性质以及分类讨论思想的应用，属于中档题. 分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题
17、能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.18（I）f(x)=1+|x|-x2=1,x0,2)1-x,x(-2,0)；（II）详解析；（III）1,3).【解析】【分析】1去掉绝对值号，即可求出函数的解析式(2)画出函数的图象即可(3)利用函数的图象，写出函数的值域【详解】(1)函数f(x)=1+|x|-x2=1,x0,2)1-x,x(-2,0),(2)函数的图象如图：(3)函数值域为：1,3)【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的图象的画法，值域的求法，考查计算
18、能力，属于中档题.19（1）2,2； （2）ga=a+2,a-12-a-12a,-220时，二次函数mt的图象开口向上，且对称轴t=-1a0时，二次函数ga=m2=a+2的图象开口向下，且对称轴t=-1a0，若t=-1a0,2，即a-22，则ga=m2=2，若t=-1a2,2，即-22a-12，则ga=m-1a=-a-12a，若t=-1a2,+，即-12a-12-a-12a,-22a-122,a-22.【点睛】本题主要考查函数的值域以及二次函数在闭区间上的最值 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参
19、数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.20（1）f(x)=x2-6x+8 （2）0【解析】【分析】（1）根据函数周期性的定义即可证明f（x）是周期函数,再根据函数奇偶性和周期性的关系即可求出当x2，4时f（x）的解析式.（2）根据函数的周期性先计算一个周期内的函数值之和，即可计算f(0)+f(1)+f(2)+f(2019)的值【详解】：（1）将f(x)=-f(4-x)中的x用-x代换得f(-x)=-f(x+4)，又f(x+2)=f(-x)得f(x+4)=-f(x+2)，将x用x-2替换得f(x+2)=-f(x)所以周期为4，由f(x)=-f(4-x)得函数f(x)的对称中心是(2,0)，此函数是奇函数，在-2.0的解析式为f(x)=-f(-x)=x2+2x，向右移4个单位得f(x)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8（2）f(0)=0，f(1)=1，f(2)=0，f(3)=-1，由周期是4知f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5044+3)=f(1)+f(2)+f(3)=0【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据函数周期性的定义以及函数奇偶性和周期性的性质是解决本题的关键答案第13页，总13页
