1、应用数学习题集第二章导数及其应用一.选择题1若在x0处可导，则以下结论错误的是（ D ）。A 在x0处有极限； B 在x0处连续；C 在x0处可微； D 必成立。2若在x0处可导，则（ B ）是错误的。(02-03电大试题)A 函数在点x0处有定义； B ，但；C 函数在x0处连续； D 函数在x0处可微。3在x0处不连续，则在x0处（ A ）A 必不可导； B 有时可导； C 必无定义； D 必无极限。4函数=|2x|在x=0处的导数（ D ）。A 等于0； B 等于2； C 等于-2； D 不存在。5函数=|sinx|在点x=0处的导数（ D ）。A 等于-1； B 等于0； C 等于1
2、； D 不存在。6，则y=（ B ）。A ； B ； C ； D 。7曲线y=sinx在点(0,0)处的切线方程是（ C ）。A y=2x B C y=x D y=-x8，则=（ D ）。(02-03电大试题)A cosx+xsinx B cosx-xsinxC 2sinx+xcosx D -2sinx-xcosx9函数中在1，e上满足Lagrange定理条件的函数是（ B ）。A y=ln(lnx)； B y=lnx； C y=； D y=ln(2-x)。10若在a,b上连续，在(a,b)内可导，Lagrange定理的结论是至少存在一点，使（ A ）。A ； B ；C ； D 。11，则x0
3、是函数的（ D ）。(02-03电大试题)A.极大值点； B.最大值点； C.极小值点； D.驻点。12x0是连续函数在(a,b)内的极小值点，则（ C ）。A 必有； B 必不存在；C 或不存在； D x(a,b)时，必有。13y=arctanex，则dy=（ C ）。A ； B ； C ； D 。14设，则=（ C ）。A 1-sinx2； B 1+sinx2； C 1-sinx22x； D (1-sinx2)2x。15设，则=（ B ）。A ； B ； C ； D 。16的值是（ D ）。A 0； B 1； C ； D 。17若x1与x2分别是函数在(a,b)内的一个极大点和一个极小点，
4、则（ D ）必成立。A ； B ；C 对x(a,b)，； D 、可能为0，也可能不存在。18 若，则一定是的（ D ）。A 最大值； B 极小值； C 最小值； D 极大值。二.填空题：1已知=lnx，则=。2若函数，则y= 0 。3曲线y=x3+4在点 (0,4) 处的切线平行于x轴。4抛物线y=x2在点 (1/2,1/4) 处的切线的倾斜角是45。5已知=xsinx，则= 2 。6方程所确定的隐函数的导数=。7若函数在x=0处可微，则=。8=。9=。10。11半径为x的金属圆片，面积为S(x)。加热后半径伸长了x，应用微分方法求出S S(x)x 。12 0 。13函数y=arctan(x2
5、+1)的递增区间是。14函数y=ln(2x4+8)的递减区间是。15函数y=sinx-x在其定义域内的单调性是 单调减少 。16极值存在的必要条件：如果在点x0处取得极值且在点x0处可导，则。17若函数在a,b上连续，在(a,b)内，则函数的最小值为。18设函数二阶可导，若、，则是的 极大值 。19已知生产某种产品的成本函数为，则产量时，该产品的平均成本为 3.6 。20微分近似计算函数值公式。三、解答题：1求函数的导数。解：因为，所以。2求函数的导数。解：。3求函数的导数。解：。4求方程在点处的切线方程。解：曲线在点处的切线的斜率为在点处的导数因为，所以切线的方程为即 5求函数的导数。解：。
6、6求函数的导数。解：。7求函数的导数。解：。8利用对数求导法求函数的导数。解：两边取自然对数，得两边对求导，得。9利用对数求导法求函数的导数。 解：两边取自然对数，得两边对求导，得10求方程所确定的隐函数的导数。解：两边取自然对数，得两边对求导，得整理，得 。11求方程所确定的隐函数的导数。解：两边对求导，得整理，得 。12求方程所确定的隐函数的导数。解：两边对求导，得整理，得 13己知函数，求y(n)。解：因为，所以， 14已知，求。解：，。15求函数的微分。解：。16求函数的微分。解：。17半径为10cm的金属圆片，加热后半径伸长了0.05cm，求所增加面积的精确值与近似值。解：，。当，时
7、，。即增加面积的精确值为，近似值为。18判断函数在区间上是否满足Lagrange定理？如果满足就求出定理中的。解：因为是初等函数，在其定义域内连续可导，所以在区间上连续，在区间内可导，满足Lagrange定理条件。因而在区间内至少存在一点，使得即 。19利用LHospital法则求极限。解：。20利用LHospital法则求极限。解：21利用LHospital法则求极限。解： ，因为，所以。22求函数的单调区间。解：令，解得驻点，把定义域分成和两个子区间。列表-+-+由表可知：函数在内递减，在内递增。23求函数的极值点和极值。解：令，解得或。因为不在函数的定义域内，舍去；把分成和两个子区间。列
8、表-+-+极小值由表可知：当时，函数有极小值。24求函数的极值点和极值。解：令，解得和。驻点和把函数的定义域分成，和四个子区间。列表-+-+-+-答：尽可能地不使用一次性用品；延长物品的使用寿命；包装盒纸在垃圾中比例很大，购物时减少对它们的使用。+预计未来20年，全球人均供水量还将减少1/3。-答：火柴燃烧、铁钉生锈、白糖加热等。二、问答：极大值14、在显微镜下观察物体有一定的要求。物体必须制成玻片标本，才能在显微镜下观察它的精细结构。8、铁生锈的原因是什么？人们怎样防止铁生锈？极小值14、大我数地区的自来水水源取自水库、湖泊或河流。自来水是主要的饮用水，饮用水源受到污染，会直接影响我们的身体
9、健康。8、晶体的形状多种多样，但都很有规则。有的是立方体，有的像金字塔，有的像一簇簇的针有的晶体较大，肉眼可见，有的较小，要在放大镜或显微镜下才能看见。极大值4、咀嚼馒头的外皮也可以感觉到甜味吗？为什么？由表可知：当时，函数有极小值；当时，函数有极大值。5、草蛉是蚜虫的天敌，七星瓢虫吃蚜虫，蜻蜓吃蚊子。25求函数的单调区间与极值解：0的单调下降区间为（-1，0），上升区间为的极小值26 若是可导的奇函数，试证是偶函数。证：因是可导的奇函数，知，求导，有，所以，即是偶函数。H27验证Lagrange中值定理对函数所求得的点恒在正中间。解：函数在任意一个区间上连续，在内可导，因此在内至少存在一点使
10、由已知条件：于是 即 28.求曲线的凹凸区间和拐点解：由知0-0+所以曲线的凹区间 所以曲线的凸区间 拐点 29.求曲线的凹凸区间和拐点 解： 所以 由于 2-0所以曲线的凹区间所以曲线的凸区间 拐点30.求曲线的凹凸区间和拐点解： 由知： +0-0+所以曲线的凹区间 所以曲线的凸区间 拐点 31.求函数在区间-1，2上的最值。解 令，求得区间-1，2上的驻点。因为，所以函数的最大值为，最小值为。32.设有一根长为L的铁丝，现将其分为两段，分别构造成圆形和正方形。若记圆形的面积为,正方形的面积为，求证：当+最小时，。证： 设圆的半径为，正方形的边长为。由已知 所以。因此，令得唯一驻点 这时，
11、。33.某窗户的形状为半圆置于矩形之上，若此窗框的周长为一定值L，试确定半圆的半径r和矩形的高h，试所能通过的光线是充足的。解：设半圆的半径为r，矩形的高为h，则由题意，得令 得34要做一个上下均有底的圆柱形容器，容积是常量V。问底半径r为多大时，容器的表面积最小？并求出此最小面积。解：设半圆的半径为r，矩形的高为h，则由题意得： 令,得此时S有最小值，即35.将一根定长为L的铁丝剪成两段，一段弯成圆形，另一段弯成正方形，问：怎样剪，可以使圆形和正方形面积和最小。解：设正方形的边长为，则圆形的半径为由题意，得： 令 ，得 36.设有一个长8米宽5米的矩形铁皮，在四个角上切去四个大小相同的小正方形。问切去的边长为多少时，才能使剩下的铁皮折成的开口盒子容积最大？并求开口盒子容积的最大值解：设小正方形的边长为，由题意，得： 令 得： （舍去） 此时
