1、正弦定理和余弦定理 习题 一、选择题（共14小题；共70分）1. 在 ABC 中，C=60，AB=3，BC=2，那么 A 等于 A. 135B. 105C. 45D. 75 2. 某市在“旧城改造”工程中计划在如图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境已知这种草皮的价格为 a 元 /m2，则购买这种草皮需要 A. 450a 元B. 225a 元C. 150a 元D. 300a 元 3. 若 ABC 的三个内角满足 sinA:sinB:sinC=3:5:6，则 ABC 一定是 A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形 4. 在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为
2、a，b，c，且 a=，b=3（0），A=45，则满足此条件的三角形个数是 A. 0B. 1C. 2D. 无数个 5. 在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，ABC 的面积为 S，若 acosB+bcosA=csinC，S=14b2+c2a2，则 B=A. 90B. 60C. 45D. 30 6. 在 ABC中，若 acosA=bcosB，则 ABC 的形状是 A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 等边三角形 7. 设 a，b，c 是 ABC 的三边长，对任意实数 x，fx=b2x2+b2+c2a2x+c2 有 A. fx=0B. fx0C. f
3、x0D. fx0 8. 若 ABC 的三个内角 A，B，C 满足 6sinA=4sinB=3sinC，则 ABCA. 一定是锐角三角形B. 一定是直角三角形C. 一定是钝角三角形D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 9. 在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c ， 若 c2=ab2+6，C=3 ，则 ABC 的面积是 A. 3B. 932C. 332D. 33 10. 在 ABC 中，tanAsin2B=tanBsin2A，那么 ABC 一定是 A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰三角形或直角三角形 11. 在 ABC 中，角 A，B，C 所对
4、的边分别为 a，b，c，若 a=7，b=3，c=2，则 A= A. 30B. 45C. 60D. 90 12. 在 ABC 中，已知 b=40，c=20，C=60，则此三角形的解的情况是 A. 有一解B. 有两解C. 无解D. 有解但解的个数不确定 13. 在 ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，fx=2sin2x+6+1，且 fA=2，b=1，ABC 的面积为 32，则 asinA 的值为 A. 23B. 2C. 27D. 4 14. 在 ABC 中，若 cosA=cosBb=sinCc，则 ABC 的形状是 A. 有一内角为 30 的直角三角形B. 等腰直角三角形C. 有
5、一内角为 30 的等腰三角形D. 等边三角形 二、填空题（共4小题；共20分）15. 在 ABC 中，已知 sinC=2sinB+CcosB，那么 ABC 的形状是 16. 我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率 ，理论上能把 的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术”，将 的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积 S6，S6= 17. 在 ABC 中，已知 D 为 BC 边上的一点，BC=3BD，AD=2，ADB=135若 AC=2AB，则 BD= 18. 在 200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30
6、，60，则塔高是 m 三、解答题（共2小题；共26分）19. 在 ABC 中，D 为 BC 边上一点，BC=3BD，AD=2，ADB=135若 AC=2AB，求 BD 的长 20. 在 ABC 中 a，b，c 分别为内角 A，B，C 所对的边，3C2 且 bab=sin2CsinAsin2C，试判断 ABC 的形状第一部分1. C【解析】由正弦定理知 BCsinA=ABsinC，即 2sinA=3sin60，所以 sinA=22，又由题知，BC1，没有意义，故满足条件的三角形的个数为 05. C【解析】由 acosB+bcosA=csinC 及正弦定理得 2RsinAcosB+2RsinBco
7、sA=2Rsin2C（R 为 ABC 外接圆的半径），即 sinA+B=sin2C，所以 sinC=sin2C，又 sinC0，所以 sinC=1，又 C0,，所以 C=2，所以 c2=b2+a2，S=12ab，又 S=14b2+c2a2，所以 a=b，所以 B=456. C【解析】因为 acosA=bcosB ，所以由正弦定理得 sinAcosA=sinBcosB，即 sin2A=sin2B .又因为 A 、 B 是三角形的内角，所以 2A 、 2B 、 2A+2B0,2 ，所以 2A=2B 或 2A=2B，即 A=B 或 A+B=2 ，所以 ABC 为等腰三角形或直角三角形.7. B【解析
8、】由余弦定理，得 b2+c2a2=2bccosA ，所以 fx=b2x2+2bccosAx+c2因为 =2bccosA24b2c2=4b2c2sin2A，又 A 为 ABC 的内角，所以 sinA0，故 08. C【解析】因为角 A，B，C 满足 6sinA=4sinB=3sinC，所以根据正弦定理，得 6a=4b=3c，整理得 a:b:c=4:6:8设 a=4x，b=6x，c=8x，由余弦定理得：cosC=a2+b2c22ab=16x2+36x264x224x6x=14，因为 C 是三角形内角，得 C0,，所以由 cosC=141所以角 B 不存在，即满足条件的三角形不存在13. B【解析】
9、由题意知，2sin2A+6+1=2，所以 sin2A+6=12又 A0,，所以 2A+6=56所以 A=3又 SABC=12bcsinA=121csin3=34c=32，所以 c=2于是 a2=b2+c22bccosA=1+4212cos3=3 所以 a=3于是 asinA=3sin3=214. B【解析】由 cosAa=cosBb=sinCc 和正弦定理，知 cosA2RsinA=cosB2RsinB=sinC2RsinC=12R（R 为 ABC 外接圆的半径），所以 cosA=sinA,cosB=sinB, 所以 A=B=45，所以 C=90 所以 ABC 为等腰直角三角形第二部分15.
10、等腰三角形【解析】由 sinC=2sinB+CcosB，得 sinC=2sinAcosB，所以 sinCsinA=2cosB，所以 ca=2a2+c2b22ac，所以 a2=b2，所以 a=b，所以 ABC 为等腰三角形16. 33217. 2+5【解析】设 BD=a，则 AB2=a2+222acos135=a2+2+2a，AC2=4a2+242acos45=4a2+24a因为 AC=2AB，所以 2a2+2+2a=4a2+24a，所以 BD=2+518. 4003【解析】如图，设塔 AB 高为 h，在 RtCDB 中，CD=200m，BCD=9060=30，所以 BC=200cos30=40
11、033m在 ABC 中，ABC=BCD=30，ACB=6030=30，所以 BAC=120在 ABC 中，由正弦定理得 BCsin120=ABsin30，所以 AB=BCsin30sin120=4003m第三部分19. 如图，设 AB=c，AC=b，BC=a，则由题设可知 BD=13a，CD=23a根据余弦定理可得 b2=22+23a22223acos45，c2=22+13a22213acos135由题意知 b=2c，且 a0，所以 a=6+35，所以 BD=13a=2+520. 由题意 bab=sin2CsinAsin2Cab=sinAsin2C由正弦定理，知 ab=sinAsinB=sinAsin2C在 ABC 中，sinA0，所以 sinB=sin2C，所以 B=2C 或 B+2C=当 B=2C 时，因为 C3,2，所以 B23,，则 B+C，不合题意；当 B+2C= 时， B+C=CA=C，即 ABC 为等腰三角形第8页（共8 页）
