1、第二课时 函数奇偶性的应用【选题明细表】知识点、方法题号利用奇偶性求函数值2,3,7利用奇偶性求解析式5,8奇偶性与单调性的综合应用1,4,6,9,10,11,12,131.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+)上单调递减的函数为(C)(A)y= (B)y=x2+1(C)y=(D)y=x解析:选项A,D中的函数是奇函数,选项B,C中的函数是偶函数,但函数y=x2+1在(0,+)上单调递增.故选C.2.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=2x2-x,则f(2)等于(D)(A)6 (B)-6 (C)10 (D)-10解析:由于f(x)是定义在R上的奇函数,因此f(2)=-f(-
2、2),根据已知条件可得f(-2)=2(-2)2-(-2)=10.故f(2)=-10.选D.3.已知f(x)=ax7-bx5+cx3+2,且f(-5)=m,则f(5)+f(-5)的值为(A)(A)4(B)0(C)2m(D)-m+4解析:由f(-5)=a(-5)7-b(-5)5+c(-5)3+2=-a57+b55-c53+2=m,得a57-b55+c53=2-m,则f(5)=a57-b55+c53+2=2-m+2=4-m.所以f(5)+f(-5)=4-m+m=4.故选A.4.定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意x1,x2(-,0(x1x2),都有(x2-x1)f(x2)-f(x1)0,则(C)(
3、A)f(-2)f(1)f(3)(B)f(1)f(-2)f(3)(C)f(3)f(-2)f(1)(D)f(3)f(1)0,故f(x)在x1,x2(-,0(x1x2)上单调递增.又因为f(x)是偶函数,所以f(x)在0,+)上单调递减,且满足nN*时,f(-2)=f(2),由3210,得f(3)f(-2)0时,f(x)=x-2 013,且知f(x)在定义域上是奇函数,则当x0时,f(x)的解析式是(A)(A)f(x)=x+2 013(B)f(x)=-x+2 013(C)f(x)=-x-2 013(D)f(x)=x-2 013解析:设x0,所以f(-x)=-x-2 013,又因为f(x)是奇函数,所
4、以f(x)=-f(-x)=x+2 013,故选A.6.若f(x)和g(x)都是奇函数,且F(x)=f(x)+g(x)+2,在(0,+)上有最大值8,则在(-,0)上F(x)有(D)(A)最小值-8(B)最大值-8(C)最小值-6(D)最小值-4解析:根据题意有f(x)+g(x)在(0,+)上有最大值6,又因为f(x)和g(x)都是奇函数,所以f(x)+g(x)是奇函数且f(x)+g(x)在(-,0)上有最小值-6,则F(x)在(-,0)上也有最小值-6+2=-4,故选D.7.若函数f(x)=为奇函数,则f(g(-1)=.解析:根据题意,当x0时,f(x)=g(x),f(x)为奇函数,g(-1)
5、=f(-1)=-f(1)=-(12+21)=-3,则f(g(-1)=f(-3)=-f(3)=-(32+23)=-15.答案:-158.设函数y=f(x)是偶函数,它在0,1上的图象如图.则它在-1,0上的解析式为.解析:由题意知f(x)在-1,0上为一条线段,且过(-1,1),(0,2),设f(x)=kx+b,代入解得k=1,b=2,所以f(x)=x+2.答案:f(x)=x+29.(2017孟坝中学高一期中)f(x)是定义在-2,2上的偶函数,且f(x)在0,2上单调递减,若f(1-m)f(m)成立,求实数m的取值范围.解:因为f(x)在0,2上单调递减,且f(x)是定义在-2,2上的偶函数,
6、故f(x)在-2,0上单调递增,故不等式f(1-m)f(m)可化为解得-1mf(-3)(B)f()f(-3.14)f(-3.14)f(-3)(D)f()f(-3)f(-3.14)解析:由题意函数f(x)为偶函数,所以f(x)=f(|x|).因为|-3|-3.14|f(|-3.14|)f(),所以f()f(-3.14)f(-3).故选B.11.函数y=f(x)在(0,2)上是增函数,函数y=f(x+2)是偶函数,则下列结论正确的是(D)(A)f(1)f()f()(B)f()f(1)f()(C)f()f()f(1)(D)f()f(1)f()f(1)f()成立.故选D.12.已知函数f(x)为定义在
7、-1,1上的偶函数,且在0,1上为单调递增函数,则f(2x+1)f(+1)的解集为.解析:根据函数f(x)为定义在-1,1上的偶函数,且在0,1上为单调递增函数,则由f(2x+1)f（+1）,可得|2x+1|+1|, 且|2x+1|1. 把平方可得x（x+1）0,所以x0.由可得-12x+11,解得-1x0.综合可得,-1x-.答案:-1,-)13.定义在R上的函数f(x)对任意实数a,b都有f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b)成立,且f(0)0.(1)求f(0)的值;(2)试判断f(x)的奇偶性.解:(1)令a=b=0,则f(0)+f(0)=2f(0)f(0),即f(0)=f2(0).因为f(0)0,所以f(0)=1.(2)令a=0,b=x,则f(x)+f(-x)=2f(0)f(x).因为f(0)=1,所以f(x)+f(-x)=2f(x).所以f(x)=f(-x).所以f(x)是R上的偶函数.
