1、书 山 有 路 勤 为 径，学 海 无 崖 苦 作 舟少 小 不 学 习，老 来 徒 伤 悲 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！天 才 在 于 勤 奋，努 力 才 能 成 功！2023年年5月月12日星期五日星期五忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点集合集合 定长定长 圆心圆心 半径半径 定点定点(1)利用圆心到直线的距离利用圆心到直线的距离d与半径与半径 r 的大小关系判断：的大小关系判断：7.7.直线与圆的位置关系的判定方法直线与圆的位置关系的判定方法22BACbBaAd d rd=rd 0)(2)利用直线与圆的公共点的个数进行判断：利用
2、直线与圆的公共点的个数进行判断：2220()()AxByCnxaybr 设设方方程程组组的的解解的的个个数数为为直线与圆相离直线与圆相离直线与圆相切直线与圆相切直线与圆相交直线与圆相交n=0n=1n=207.7.直线与圆的位置关系的判定方法直线与圆的位置关系的判定方法直线直线l：Ax+By+C=0，圆，圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)几何法：几何法：用弦心距，半径及半弦构成直用弦心距，半径及半弦构成直角三角形的三边角三角形的三边 212|1|;ABk|xx 1221|1.AByyk (3)直线和圆相交，所得弦的弦长直线和圆相交，所得弦的弦长代数法：代数法：用弦长公式用弦长公式圆的
3、切线长圆的切线长22|2ABrd 7.7.直线与圆的位置关系的判定方法直线与圆的位置关系的判定方法rABd联立方程组联立方程组 _联立方程组联立方程组 _联立方程组联立方程组 _联立方程组联立方程组 _联立方程组联立方程组 _8.8.圆与圆的位置关系的判定方法圆与圆的位置关系的判定方法(1)外离外离(2)外切外切(3)相交相交rRd (已知圆心距为已知圆心距为 d,两圆半径为两圆半径为 r,R.).)无解无解(4)内切内切(5)内含内含rRd 唯一解唯一解唯一解唯一解无解无解两解两解|R r d R r|rRd|0rRd 圆与圆的位置关系与公切线的条数的关系圆与圆的位置关系与公切线的条数的关系
4、9.圆系方程圆系方程(2)当当=-1 时时,方程为方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0表示圆表示圆C1,C2的的公共弦公共弦所在的直线方程所在的直线方程.(1)当当-1时时,表示过圆表示过圆C1,C2交点的圆的方程交点的圆的方程;若两圆若两圆 x2+y2+D1x+E1 y+F1=0 和和 x2+y2+D2x+E2y+F2=0 相交相交,则过这两圆交则过这两圆交点的圆系方程为点的圆系方程为2222111222()0 xyDxE y FxyD xE y F 22222610,42xyxyxyxyxy1 已知实数，满足.求的最值。练习练习：2,2(3)1,|3426|x yxyx
5、y2已知实数满足（）求的2.最小值。sin1co s3y3.求的 值 域。224240,4150 xyxyPxyP圆的方程是是直线3上任意点，经过 作圆的切线，求切线长的4.最小值。例例.已知点已知点P(5,0)和和 O:x2+y2=16.(1)自自P作作 O的切线的切线,求切线长及切线方程求切线长及切线方程;(2)过过P任意作直线任意作直线 l 与与 O交于交于A,B两相异两相异点点,求弦求弦AB中点中点M的轨迹的轨迹.OxyP(5,0)QPQO是直角三角形是直角三角形，切线长切线长|PQ|=22543.解解:(1)设过设过P的圆的圆O的切线切圆于点的切线切圆于点Q,连接连接OQ.设切线方程
6、为设切线方程为(5),yk x (5),yk x则则 2|5|4,1kk 4.3k 所以切线方程为所以切线方程为43200,43200.xyxy 或或 xyOABP例例.已知点已知点P(5，0)和和 O：x2+y2=16.(1)自自P作作 O的切线的切线,求切线长及切线方程求切线长及切线方程;(2)过过P任意作直线任意作直线 l 与与 O交于交于A,B两相异两相异点点,求弦求弦AB中点中点M的轨迹的轨迹.(2)设设M(x,y)是是所求轨迹上任所求轨迹上任一点一点,A(x1,y1),B(x2,y2),所求轨迹方程为所求轨迹方程为22525()24xy16(0).5x 练习练习.直线直线 l 将圆
7、将圆 x2+y2-2x-4y=0平分平分,且不过第四且不过第四象限象限,则直线则直线 l 的斜率的范围是的斜率的范围是_.NMCxoy02k2222(1)1(0)解解：yxxxyy 22 ykxk OxyP(2,2)Q2|2|11kk 34PQk 1OPk 314k 292(2)xk x若不等式的解集为a,b,且b-a=2,求练习.k的值。22即即（）yk x例例.圆圆x2+y2-2x-4y-3-3=0上到直线上到直线x+y-1=0的距离的距离为为 的点共有的点共有 个个.2xoy|1 2 1|2,2d 2 2r 3 3练习练习.1.已知圆已知圆x2+y2=4，直，直线线x-y+b=0,当当b
8、为何值时，为何值时，圆圆x2+y2=4上恰有上恰有3个点到个点到直线直线x-y+b=0的距离等于的距离等于1.2.若圆若圆x2+y2-4x-4y-10=0，上，上至少有三个不同的点到直至少有三个不同的点到直线线ax+by=0的距离为的距离为2 ,求求直线斜率的取值范围。直线斜率的取值范围。2xyoPAoB22325()(2),24xy解：解：由题设知由题设知 A,O,B,P四点在以四点在以OP为直径的圆上，为直径的圆上，易求得该圆的方程为：易求得该圆的方程为：得直线得直线 AB 的方程为的方程为 3x+4y=5.例例.过点过点P(3,4)向圆向圆O:x2+y2=5引两条切线引两条切线,A,B为
9、切点为切点,则直线则直线AB的方程是的方程是_.3x+4y=5|1,|4.OMMP 314,(,).55 5从从而而OMOPM 4,3又又且且OPkABOP 3.4ABk 334().545yx 即直线即直线 AB 的方程为的方程为 3x+4y=5.法法2.过点过点P(3,4)向圆向圆O:x2+y2=5引两条切线引两条切线,A,B为为切点切点,则直线则直线AB的方程是的方程是_.3x+4y=5例例.已知圆已知圆O1:x2+y2+x-6y+m=0和直线和直线x+2y-3=0相交于相交于P,Q两点两点,若若OPOQ,求求m的值的值.PQ QOxyO12260,230.xyxymxy 2520120
10、.yym 124,yy 1212.5my y 解解:由方程组由方程组消消 x,得得设直线与圆的交点坐标为设直线与圆的交点坐标为P(x1,y1),Q(x2,y2),因为点因为点P,Q均在直线上，均在直线上，1212427(3 2)(3 2).5mx xyy 由于由于OPOQ，12120.x xy y 所以所以m=3，经检验，经检验m=3满足条件满足条件.则有则有2(20)4 5(12)0,8.mm 124270,55mm 【解题回顾【解题回顾】在解答中在解答中,我们采用了对直线与圆我们采用了对直线与圆的交点的交点“设而不求设而不求”的解法技巧的解法技巧,由于由于“OPOQ”即等价于即等价于“xP
11、xQ+yPyQ=0”,所以最所以最终应考虑应用韦达定理来求终应考虑应用韦达定理来求m.另外，在使用另外，在使用“设而不求设而不求”的技巧时，必须注意这样的的技巧时，必须注意这样的交点是否存在，这可由判别式交点是否存在，这可由判别式大于零帮助考虑大于零帮助考虑.例例3.已知圆已知圆O1:x2+y2+x-6y+m=0和直线和直线x+2y-3=0相交于相交于P、Q两点两点,若若OPOQ,求求m的值的值.PQ QOxyCO1又圆又圆C的圆心的圆心 在直线在直线PQ上上,解解2：设过设过P,Q两点的圆系两点的圆系C方程为：方程为：226(23)0.xyxy mxy 原点原点O在圆在圆C上上,30.m 1
12、(,3)2 12(3)30,2 3 13.m 所以所以 m 的值的值是是 3.由由OPOQ 知知,1.圆心圆心 C(-1,2),解解3：设点设点C是弦是弦PQ的中心的中心,22|5.rOC3.m由由O1CPQ,11(,3)2O 1:240.O Cxy230.xy 圆圆C:22(1)(2)5xy2260 xyxy m 22240 xyxy -,得得20.xym解解4:作作O1 CPQ,37,4Rm 1221|2 33|52|,212O C 22|(1)25.PCOC222537(5)()(),24m3.m 易知易知 C(-1,2),圆圆O1的半径的半径圆圆O1的半径的半径由由 O POQ,CP=CQ,得得
