1、不等式复习教案【基本知识结构】【教学目标】1掌握解决不等式（组）问题的基本方法，并能解决一些实际问题；2了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。3掌握基本不等式 （a0，b0）；【主要知识点与题型方法】1、一元二次不等式的解法：2、二元一次不等式表示平面区域 已知直线l：Ax+By+C0当B0时，Ax+By+C0表示直线l上方的平面区域；Ax+By+C0表示直线l下方的平面区域当B0表示直线l下方的平面区域；Ax+By+C0 Ax+By+C0表示直线l右侧的平面区域；Ax+By+C0表示直线l左侧的平面区域A0时，仿A0自行讨论。以上结论请自行证明。3、线性规划中的几个
2、概念（1）不等式组是一组对变量x、y的约束条件。（2）函数z2x+y为目标函数。（3）满足线性约束条件的解（x、y）叫做可行解。（4）所有可行解组成的集合叫做可行域。（5）使线性目标函数取得最大或最小值的可行解叫做最优解。4、掌握比较大小的常用方法：基本结论：利用常见的基本不等式，直接比较两个代数式的大小。这里主要是利用：当a、bR+时，及其变形公式作差、作商、平方作差法，根据题目的特点，合理选用。这在证明题中要比较两个代数式的大小时经常使用。5、熟练掌握用均值不等式求最值，必须注意三个条件：一正；二定；三相等。三者缺一不可。如不满足条件时求最值可以结合函数的单调性来解决。如求函数（x1）的最
3、小值。6、不等式证明的常规方法有：比较法、综合法、分析法。7、把握解含参数的不等式的注意事项解含参数的不等式时，首先应注意考查是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论：不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性.在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论.在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况（有时要分析），比较两个根的大小。几点思考1关于教材中的习题分层次处理。如编制成组题：(1)解不等式 x2+3x+20；(2)不等式 x2+kx+20的解集为x|3x4,求实数a,b的
4、值；(3)不等式 x2+kx+20= R，求k的范围.2.关于分式不等式：如（P）对于简单的分式不等式，虽然出现在教材的探究拓展部分，我认为还是要作介绍的，但不要在解法上玩技巧，要突出等价转换的数学思想.而含绝对值的不等式就不必在这里介绍，在选修4-5，不等式选讲会涉及到.3.关于高次不等式：如给出函数f(x)=图象，写不等式f(x)0的解集（P94）4.关于含参数的不等式恒成立问题如:(1)关于x的不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围;(2) 关于x的不等式对x恒成立，求实数a的取值范围;(3) 关于x的不等式对a恒成立，求实数x的取值范围;【典型例题】【例1】解不等式：x2（a+a
5、2）x+a30。解题思路分析：因x2（a2+a）x+a3（xa）（xa2），不等式解的一般形式为两根a与a2之间，下面比较a与a2大小。aa2a（1a）当a0或a1时，aa2，原不等式为x20，或（x1）20，不等式无解当0a0，aa2， 不等式解为a2x1或a0时，a（1a）0，aa2，不等式解为ax1，或a0时，不等式的解为axa2 当0a1时，不等式的解为a2x0。(结果要求用解集表示)解题思路分析：首先对二次项系数a讨论，以确定不等式的类型：当a0时，原不等式为4x+40，x1。当a0时，不等式为二次不等式，其解的情况应考虑判别式1616a16（1a）及二次项系数a的符号这两个因素，也
6、就是讨论的标准为a与1与0的大小比较。当a1时，不等式可化为 ，不等式的解为R当0a0，解的形式为两根之外，求得方程两根为，不等式的解为，或。当a0，解的形式为两根之间，不等式的解为，注意此时两根大小已改变。当a1时，原不等式可化为x2+4x+40，（x+2）20 x2解：（1）当a0时，4x+40，x1，为原不等式的解（2）当0a1时，原不等式可化为x2+不等式的解为R （4）当a0，x2，原不等式解为xR，且x2总上所述：原不等式的解集为。注：含字母的二次不等式的讨论，涉及到的因素较多，如二次项系数是否为0，判别式的符号，两根的大小关系。在判别式0时，应注意区别不等式的解是R或。关于不等式
7、解的一般形式是两根之间还是两根之外，应由二次项符号及不等号方向两者同时决定，当二次项为正（负）及不等号，方向为大于（小于）时，不等式解的形式为两根之外；否则为两根之间。通常将二次项系数化为常数。【例3】某商场计划出售A、B两种商品，商场根据实际情况和市场需求，得到有关数据如下表：（商品单位：件）资金（百元）A商品B商品日资金供应量单位进价30203000单位工资支出5101100单位利润68问如何确定两种货物的月供应量，可以使得总利润达到最大？最大利润为多少？分析：这是一个典型的线性规划问题解法一：设供应A商品x件，B商品y件由题意有要求目标函数z6x+8y的最大值。约束条件可化为 令设6x+
8、8yA+B（3x+2y）+（x+2y） 6x+8yA+3B960当 即时6x+8y的最大值为960每月供应A商品40件，B商品90件时，商场可获最大利润为96000元。解法二：约束条件为可行域为如图阴影部分（四边形OACB内部）目标函数z6x+8y表示一组斜率为的平行直线，其在y轴上的截距为，当直线z6x+8y经过点C（即3x+2y300，x+2y220的交点）时直线在y轴上的截距为最大，此时x40，y90，z960（下略）回顾：解法二更直观、方便，但对直线作图要求较高，要熟练掌握直线的斜率、倾斜角在坐标轴上的截距等问题。若将单位工资支出的月资金供应量调整为1150（百元）（这时点C坐标为（3
9、5，92.5）问题的解又如何？【例4】设a，bR，求证：a2+b2ab+a+b1。解题思路分析：思路一：这是一个整式不等式，可考虑用比较法，在配方过程应体现将a或b看成主元的思想，在这样的思想下变形，接下来的配方或因式分解相对容易操作。作差a2+b2abab+1a2（b+1）a+b2b+1 0思路二：注意到不等式两边式子a2+b2与ab的结构特点，联想到基本不等式；为了得到左边的a与b项，应用增减项法变形。增加若干项或减少若干项的技巧在本节应用得较为普遍。因a2+b22ab，a2+12a， b2+12b三式同向相加得：a2+b2ab+a+b1思路三：在思路一中，作差后得到关于a的二次三项式，除
10、了用配方法，还可以联系二次函数的知识求解。记f（a）a2（b+1）a+b2b+1因二次项系数为正，（b+1）24（b2b+1）3（b1）20 f(a) 0【例5】某地区上年度电价为每千瓦时0.8元，年用电量为a千瓦时，本年度计划将电价降到每千瓦时0.55元至0.75元之间，而用户期望电价为每千瓦0.4元。经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k），该地区电力成本价为每千瓦0.3元，设k0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？解题思路分析：解决实际应用题，首先要理清数量之间关系，如本题：收益 实际用电量（实际电价成本价）。其
11、次，将关键文字语言转换成适当的数学模型，如“新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比”翻译为数学模型就是“设实际电价为x，则新增用电量”，“电力部门的收益比去年至少增长20%”翻译为数学模型就是“本年度收益，去年收益（0.80.3）a，（0.80.3）a（1+20%）”。令 k0.2a，解不等式：（0.80.3）（120%）a即x21.1x+0.30得：x0.6，或x0.5又0.55x0.75x0.6解：设实际电价为x（元），则用电量增至，去年收益为（0.80.3）a，今年收益为当k0.2a时，由已知得：化简得： x21.1x+0.30 x0.6，或x0.5又0.55x0.750.6x0.75当实际用电价最低定为每千瓦时0.6元时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%。
