1、(一一)事件间的关系事件间的关系1.事件的包含事件的包含(子事件子事件)：A B;2.事件的和：事件的和：AB3.事件的积事件的积:AB;4.差事件差事件:A-B=A-AB=AB5.互斥事件互斥事件(互不相容事件互不相容事件):AB=6.互逆事件互逆事件:AB=且且AB=S 事件的运算法则事件的运算法则1.交换律交换律：AB=BA,AB=BA 4.德德.摩根律摩根律(对偶原则对偶原则)：设设Ai(i=1,2,n)表示事件表示事件 则则 =;=iniA1iniA1iniA1iniA12.结合律结合律：A(BC)=(AB)C;A(BC)=(AB)C 3.分配律分配律：A(BC)=(AB)(AC);
2、A(BC)=(AB)(AC)5.对必然事件的运算法则对必然事件的运算法则：AS=S,AS=A6.对不可能事件的运算法则对不可能事件的运算法则：A=A,A=A,A=设设E-随机试验，随机试验，S-样本空间样本空间.事件事件A P(A),称为事件称为事件A的概率的概率,如果如果P()满足下列条件满足下列条件:1 对于每一个事件对于每一个事件A，有，有 P(A)0 P(A)0；2 对于必然事件对于必然事件S SP(S)=1S)=1；3 设设A1，A2，是是两两互不相容两两互不相容的事件，即对于的事件，即对于 则则 P(A1A2 )=P(A1)+P(A2)+,2,1,jiAAjiji性质性质(2)(有
3、限可加性)若若A1，A2，An 两两不相容，两两不相容，P(A1A2An)=P()=P(A1)+P()+P(A2)+)+P(+P(An)(1)P()=0)=0 (3)若若A B，则有，则有 P(B A)=P(B)P(A);(5)对于任一事件对于任一事件A，有，有P(A)=1 P(A)，(4)对于任一事件对于任一事件A，有，有P(A)1 一般有一般有 P(B A)=P(B)P(AB)(6)加法公式 P(AB B)=P()=P(A)+P()+P(B B)-P()-P(AB B)P(A1AA2 2AA3 3)=P(A)=P(A1 1)+P(A)+P(A2 2)+P(A)+P(A3 3)-P(A)-P
4、(A1 1A A2 2)-)-P(A P(A1 1A A3 3)-P(A)-P(A2 2A A3 3)+P(A)+P(A1 1A A2 2A A3 3)等可能概型等可能概型(古典概型古典概型)1.1.定义：定义：设设E是试验，是试验，S S是是E的的样本样本空间，若空间，若 (1)试验的试验的样本样本空间的元素只有有限个；空间的元素只有有限个；(2)试验中每个基本事件发生的可能性相同试验中每个基本事件发生的可能性相同.这种试验称为等可能概型或古典概型这种试验称为等可能概型或古典概型2.古典概型中事件古典概型中事件A的概率的计算公式的概率的计算公式中基本事件的总数包含的基本事件数SAnkAP)(
5、1.1.条件概率条件概率0)(,)()()(APAPABPABP2.2.乘法公式乘法公式 (P(A)0)(P(A)0)，)()()()()()()(2211nnBPBAPBPBAPBPBAPAP3.3.全概率公式全概率公式niBPBAPBPBAPAPABPABPnjjjiiii,2,1,)()()()()()()(14.4.贝叶斯公式贝叶斯公式.独立独立性性 设设A,BA,B是两事件是两事件,如果如果具有等式具有等式 P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B)，则称事件则称事件A,BA,B为为相互独立的随机事件相互独立的随机事件.设设A A1 1,A,A2 2.A.An n是是n
6、 n个事件，如果对于任意的个事件，如果对于任意的11ijn,ijn,P(AP(Ai iA Aj j)=P(A)=P(Ai i)P(A)P(Aj j)则称这则称这n n个事件两两相互独立个事件两两相互独立.如果对于任意的如果对于任意的k(kn),k(kn),及任意的及任意的22i i1 1ii2 2.i.ik kn,n,则称这则称这n n个事件相互独立个事件相互独立.)()()()(2121kiiikiiiAPAPAPAAAP独立的性质独立的性质:1.设设A和和B是两个事件是两个事件,且且P(A)0.若若A和和B相互独立相互独立,则则 P(B/A)=P(B).反之亦然反之亦然.2.若事件若事件A
7、和和B相互独立相互独立,则下列各对事件也相互独立则下列各对事件也相互独立:A与与B,A与与B,A与与B3.则则A、B互斥与互斥与A、B相互独立不能相互独立不能 同时存在同时存在.4.若事件若事件A和和 独立独立,且且 则事件则事件A和和 独立独立.,0)(,0)(BPAP),2,1(niBi)(jiBBji iniB1 典型习题典型习题1.从大批产品中取产品检验，设事件从大批产品中取产品检验，设事件Ak表示表示“第第k次取到次取到合格产品合格产品”(k=1,2,3)，用，用A1,A2,A3表达下列各事件表达下列各事件.(1)A表示表示“仅第一次取到合格产品仅第一次取到合格产品”.(2)B表示表
8、示“第一次取到不合格产品第一次取到不合格产品,第二、三次至少有一次第二、三次至少有一次取到合格产品取到合格产品”.解：解：(1)321AAA)(321AAA(2)2对于任意两事件对于任意两事件A和和B,有有 P(A-B)=().(A)P(A)-P(B);(B)P(A)-P(B)+P(AB);(C)P(A)-P(AB);(D)P(A)+P(B)-P(AB).答案：答案：C C解析：直接利用概率性质（解析：直接利用概率性质（3）3对于任意两事件对于任意两事件A和和B,若有若有 P(AB)=0,则下列命则下列命题正确的是题正确的是().(A)A与与B互斥互斥;(B)A与与B独立独立;(C)P(A)=
9、0,或或P(B)=0;(D)P(A-B)=P(A).答案：答案：D D解析：直接利用概率性质（解析：直接利用概率性质（3）4.假设事件假设事件A和和B满足满足P(B|A)=1,则则()(A)事件事件A是必然事件是必然事件 (B)P(A/B)=0(C)A B (D)B A答案答案:D解析解析:由于由于P(A|B)=P(AB)/P(A)=1,可知可知P(AB)=P(A).从而从而有有A B.5.设当事件设当事件A与与B同时发生时同时发生时,事件事件C必发生必发生,则下列则下列 结果正确的是结果正确的是().(A)P(C)P(A)+P(B)-1;(B)P(C)P(A)+P(B)-1;(C)P(C)=
10、P(AB);(D)P(C)=P(A B).答案答案:B解析解析:由题设知由题设知:AB C,且且P(AB)P(C)又由又由P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)1,知知 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A)+P(B)-1 即即P(C)P(AB)P(A)+P(B)-16.假设假设 P(A)=0.4,P(A B)=0.7,(1)若若A与与B互不相容互不相容,则则P(B)=;(2)若若A与与B相互独立相互独立,则则P(B)=.0.30.50.70.27.假设假设 P(A)=0.5,P(B)=0.6,则则P(A B)=;P(B-A)=.8.0)(ABP8.8.设设 P(A)=1/3,
11、P(B)=1/2P(A)=1/3,P(B)=1/2，(1)(1)已知已知A A、B B互不相容互不相容,求求P(AB),P(AB),P(AB)P(AB),P(AB),P(AB)(2)(2)已知已知A A、B B独立独立,求求P(AB),P(A-B)P(AB),P(A-B)(3)(3)已知已知A A与与B B具有包含关系具有包含关系,求求P(AB),P(AB).P(AB),P(AB).答案答案(1)1/2;1/6;2/3.(1)1/2;1/6;2/3.（2 2）2/32/3；1/6(3)0;1/6.1/6(3)0;1/6.提示：1)由已知，AB=,P(AB)=0;由概率性质3:P(AB)=P(B
12、)-P(AB)=1/2.P(AB)=P(AB)=1-P(AB)=1/6.P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=2/3.2)当A、B独立,P(AB)=P(A)P(B).且A和B独立.3)当A B,AB=;P(AB)=P(B)-P(A)D9.从一副扑克牌的从一副扑克牌的1313张梅花中，有放回地取张梅花中，有放回地取3 3次，次，则三张不同号的概率为则三张不同号的概率为_._.132/16910.包括包括a、b两人在内共两人在内共n个人排队，问个人排队，问a、b之间恰有之间恰有r 人的概率人的概率!)!12(22nrnArn 11.已知已知 0P(A)1,0P(B)1,P(A|B)+P(A|
13、B)=1,则则()(A)事件事件A和事件和事件B互斥互斥;(B)事件事件A与与B对立对立;(C)事件事件A和事件和事件B 不独立不独立;(D)事件事件A和和B 相互独立相互独立.12.设设A、B、C是三个事件两两独立，则是三个事件两两独立，则A、B、C相互独立的相互独立的充分必要条件是充分必要条件是()AA与与BC独立独立 B.A与与 独立独立C.AB与与AC独立独立 D.与与 独立独立13.将一枚硬币独立抛掷两次，将一枚硬币独立抛掷两次，表示掷第一次出现正面，表示掷第一次出现正面，表示掷第二次出现正面，表示掷第二次出现正面，表示正、反面各一次，表示正、反面各一次，表示正面两次。则事件表示正面
14、两次。则事件()A 互相独立互相独立 B.互相独立互相独立C.两两独立两两独立 D.两两独立两两独立CACABA1A2A3A4A321,AAA432,AAA321,AAA432,AAACA1 14 4.袋中有袋中有50个乒乓球，其中个乒乓球，其中20个黄，个黄，30个白，今有两人依个白，今有两人依次从袋中取出一球，取出后不放回，问第二人取得黄球的概次从袋中取出一球，取出后不放回，问第二人取得黄球的概率率_。15.设玻璃杯整箱出售，每箱设玻璃杯整箱出售，每箱2020个，各箱含个，各箱含0,1,20,1,2个次品的概个次品的概 率分别为率分别为0.80.8，0.10.1，0.10.1，某顾客欲购买
15、一箱玻璃杯，由，某顾客欲购买一箱玻璃杯，由 售货员任取一箱，经顾客开箱随机查看售货员任取一箱，经顾客开箱随机查看4 4个。若无次品，个。若无次品，则买一箱玻璃杯，否则不买。则买一箱玻璃杯，否则不买。求：求：1 1）顾客买此箱玻璃杯的概率；）顾客买此箱玻璃杯的概率；2 2）在顾客买的此箱玻璃杯中）在顾客买的此箱玻璃杯中,确实没有次品的概确实没有次品的概率。率。20/50解：设 =箱中恰好有i件次品,i=0,1,2.A=顾客买下所查看的一箱 由题设可知：P()=0.8,P()=0.1;P()=0.1.iB0B1B2B P(A )=1;P(A )=;P(A )=0B1B2B54420419CC191
16、2420418CC1）由全概率公式：P(A)=0.9420)()(iiiBPBAP2）由贝叶斯公式：0.85)()()()(000APBPBAPABP答案：答案：1）0.94 ;2)0.85.16.16.假设有两箱同种零件假设有两箱同种零件,第一箱内装第一箱内装5050件件,其中有其中有1010件一等品件一等品;第二箱内装第二箱内装3030件件,其中有其中有1818件一等品件一等品.现从两箱中随意挑出一箱现从两箱中随意挑出一箱,然后从该箱中先后不放回地随机取出两个零件然后从该箱中先后不放回地随机取出两个零件,试求试求(1)(1)先取出先取出的是一等品的概率的是一等品的概率;(2);(2)在先取
17、出一等品的条件下在先取出一等品的条件下,第二次仍取得第二次仍取得一等品的概率一等品的概率.解解:(1)(1)设设A Ai i表示事件表示事件“第第i i次取到一等品次取到一等品”B Bi i表示事件表示事件 “被挑出的是第被挑出的是第i i箱箱”(i i=1,2)=1,2)则由全概率公式得则由全概率公式得52301821501021)()()()()(2121111BAPBPBAPBPAP(2)(2)由条件概率的定义和全概率公式得由条件概率的定义和全概率公式得48557.0522930171821495091021 )()()()()()()()(12212121112112APBAAPBPB
18、AAPBPAPAAPAAP17.三个人独立的去破译一份密码三个人独立的去破译一份密码.已知个人能译出的概率分别为已知个人能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4.问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少?解答解答:设设A=第一个人译出密码第一个人译出密码 B=第二个人译出密码第二个人译出密码 C=第三个人译出密码第三个人译出密码 D=至少有一个人译出密码至少有一个人译出密码 则则:P(A)=1/5 P(B)=1/3 P(C)=1/4 所以所以 P(D)=P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=
19、P(A)+P(B)+P(C)-P(A)P(B)-P(A)P(C)-P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=3/51818.(03.(03考研考研)已知甲乙两箱装有同种产品，其中甲箱中装已知甲乙两箱装有同种产品，其中甲箱中装有有3件合格品和件合格品和3件次品，乙箱中仅装有件次品，乙箱中仅装有3件合格品，从甲箱件合格品，从甲箱中任取中任取3件产品放入乙箱后，求从乙箱中任取一件产品是次件产品放入乙箱后，求从乙箱中任取一件产品是次品的概率。品的概率。19.19.设有来自三个地区的各设有来自三个地区的各1010名、名、1515名和名和2525名考生的报名表名考生的报名表,其中女生的报名表分别为其中女
20、生的报名表分别为3 3份、份、7 7份和份和5 5份份,随机地取一个地区随机地取一个地区的报名表的报名表,从中先后抽出两份从中先后抽出两份.(1)(1)求先抽到的一份是女生表的概率求先抽到的一份是女生表的概率p;p;(2)(2)已知后抽到的一份是男生表已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的求先抽到的一份是女生表的 概率概率q.q.19.19.解：设解：设H Hi i表示事件表示事件“报名表是第报名表是第i i区考生的区考生的”i=1,2,3i=1,2,3 A Aj j表示事件表示事件“第第j j次抽到的报名表是次抽到的报名表是男生表男生表”j=1,2j=1,2 则则9029 255
21、15710331)()(1252015810731)()()(3111312111321iiiHAPHP)AP()p()HP(A)H,P(A)HP(AHPHPHP(2)2)由全概率公式得由全概率公式得31212131223212211213222129230530830731)()()(906125515810731)()()(305)HAP(,308)HAP(,307)HAP(2520)HP(A158)HP(A,107)HP(AiiiiiiHAAPHPAAPHAPHPAPAAA因此因此6120906192)()()(22121APAAPAAPq20.20.将外形相同的球分别装入三个盒子将外形
22、相同的球分别装入三个盒子.第一个盒子装入第一个盒子装入7 7只红只红球和球和3 3只黄球只黄球;第二个盒子装入第二个盒子装入5 5只黑球和只黑球和5 5只白球只白球;第三个盒子装第三个盒子装入入8 8只黑球和只黑球和2 2只白球只白球.先在第一个盒子中任取一球先在第一个盒子中任取一球,若取到红球若取到红球,则在第二个盒子中任取二球则在第二个盒子中任取二球;若在第一个盒子中取到黄球若在第一个盒子中取到黄球,则在则在第三个盒子中任取二球第三个盒子中任取二球.求第二次取到的二球都是黑球的概率求第二次取到的二球都是黑球的概率.由全概率公式由全概率公式,有有22577)()()()()(ABPAPABP
23、APBP2.2.设设 与与 为两个随机事件为两个随机事件,求求AB)(),(BAPBP,41)(AP,32)(,21)(ABPBAP),(ABP3.3.设设 与与 独立独立,求求AB)()(,91)(BAPBAPBAP )(AP练习题练习题1.袋内放有袋内放有2个伍分硬币个伍分硬币,3个贰分硬币和个贰分硬币和5个壹分个壹分硬币硬币,任取其中任取其中5个个,求钱额总数超过壹角的概率求钱额总数超过壹角的概率.4.设设 ，求，求 和和 ，并问事件，并问事件 、是否独立，是否独立，为什么？为什么？8.0)(,6.0)(,5.0)(ABPBPAP)(BAP)(ABPAB7.0)(BAP4.0)(ABP5
24、.甲袋中放有甲袋中放有5只红球只红球,10只白球只白球;乙袋中放有乙袋中放有5只白只白球球,10只红球只红球.今先从甲袋中任取一球放入乙袋今先从甲袋中任取一球放入乙袋,然后然后从乙袋中任取一球放回甲袋从乙袋中任取一球放回甲袋.求再从甲袋中任取两求再从甲袋中任取两球球,全是红球的概率全是红球的概率.6.盒中有盒中有3 3个新晶体管和个新晶体管和2 2个旧晶体管个旧晶体管,某仪器需要安某仪器需要安装上装上3 3个晶体管个晶体管,若装上的都是新管若装上的都是新管,则仪器合格的概则仪器合格的概率为率为0.9;0.9;若装上的恰有若装上的恰有1 1个旧管个旧管,则仪器合格的概率为则仪器合格的概率为0.5
25、;0.5;若装上的恰有若装上的恰有2 2个旧管个旧管,则仪器合格的概率为则仪器合格的概率为0.1.0.1.现从盒中任取现从盒中任取3 3个安装在个安装在仪器仪器上上,并已知仪器合格并已知仪器合格,问所问所安装的安装的3个都是新管的概率多大个都是新管的概率多大?2.2.设设 与与 为两个随机事件为两个随机事件,求求AB)(),(BAPBP,41)(AP,32)(,21)(ABPBAP),(ABP1/12,1/6,1/31/12,1/6,1/33.3.设设 与与 独立独立,求求AB)()(,91)(BAPBAPBAP )(AP2/32/3练习题练习题1.袋内放有袋内放有2个伍分硬币个伍分硬币,3个
26、贰分硬币和个贰分硬币和5个壹分个壹分硬币硬币,任取其中任取其中5个个,求钱额总数超过壹角的概率求钱额总数超过壹角的概率.4.设设 ，求，求 和和 ，并问事件，并问事件 、是否独立，是否独立，为什么？为什么？8.0)(,6.0)(,5.0)(ABPBPAP)(BAP)(ABPAB不独立不独立7.0)(BAP4.0)(ABP5.甲袋中放有甲袋中放有5只红球只红球,10只白球只白球;乙袋中放有乙袋中放有5只白只白球球,10只红球只红球.今先从甲袋中任取一球放入乙袋今先从甲袋中任取一球放入乙袋,然后然后从乙袋中任取一球放回甲袋从乙袋中任取一球放回甲袋.求再从甲袋中任取两求再从甲袋中任取两球球,全是红球
27、的概率全是红球的概率.6.盒中有盒中有3 3个新晶体管和个新晶体管和2 2个旧晶体管个旧晶体管,某仪器需要安某仪器需要安装上装上3 3个晶体管个晶体管,若装上的都是新管若装上的都是新管,则仪器合格的概则仪器合格的概率为率为0.9;0.9;若装上的恰有若装上的恰有1 1个旧管个旧管,则仪器合格的概率为则仪器合格的概率为0.5;0.5;若装上的恰有若装上的恰有2 2个旧管个旧管,则仪器合格的概率为则仪器合格的概率为0.1.0.1.现从盒中任取现从盒中任取3 3个安装在个安装在仪器仪器上上,并已知仪器合格并已知仪器合格,问所问所安装的安装的3个都是新管的概率多大个都是新管的概率多大?0.09/0.42=3/14
