1、35空间点、线、面的位置关系空间点、线、面的位置关系1平面的基本性质平面的基本性质名称名称图形图形文字语言文字语言符号语言符号语言作用作用公理公理1如果一条直线如果一条直线上的两点在一上的两点在一个平面内，那个平面内，那么这条直线在么这条直线在这个平面内这个平面内Al，Bl，A，Bl 证明证明“点在点在面内面内”或或“线线在面在面内内”公理公理2过不在同一条过不在同一条直线上的三直线上的三点，有且只有点，有且只有一个平面一个平面A，B，C不共线不共线A，B，C平平面面，则，则是唯一是唯一的的证明证明两个两个平面平面重合重合,用来用来确定确定一个一个平面平面或证或证明明“点点线共线共面面”公公理
2、理2的的推推论论推论推论1经过一条直线经过一条直线和直线外的一和直线外的一点，有且只有点，有且只有一个平面一个平面若点若点A 直线直线a，则则A和和a确定一个确定一个平面平面推论推论2经过两条相交经过两条相交直线，有且只直线，有且只有一个平面有一个平面abP有且有且只有一个平面只有一个平面，使，使a，b 推论推论3经过两条平行经过两条平行直线，有且只直线，有且只有一个平面有一个平面ab有且只有有且只有一个平面一个平面，使，使a，b 公理公理3如果两个不重如果两个不重合的平面有一合的平面有一个公共点，那个公共点，那么它们有且只么它们有且只有一条过该点有一条过该点的公共直线的公共直线若若P，P，则
3、则a，Pa，且且a是唯是唯一的一的确定两个平确定两个平面的交线，面的交线，尤其是画截尤其是画截面图或补体面图或补体时用到，证时用到，证明明“三点共三点共线线”“”“三线三线共点共点”公理公理4平行于同一直平行于同一直线的两条直线线的两条直线_l1l，l2l_证明线线平证明线线平行行平行平行l1l22空间中点、线、面之间的位置关系空间中点、线、面之间的位置关系直线与直线直线与直线直线与平面直线与平面平面与平面平面与平面平行关系平行关系相交关系相交关系独有关系独有关系3.两条异面直线所成的角两条异面直线所成的角(1)过空间任意一点分别引两条异面直线的平行直线，那么过空间任意一点分别引两条异面直线的
4、平行直线，那么这两条相交直线所成的这两条相交直线所成的_叫作这两条异面直线所叫作这两条异面直线所 (2)当两条异面直线所成的角为当两条异面直线所成的角为_时，这两条异面直线时，这两条异面直线互相垂直互相垂直 锐角或直角锐角或直角成的角若记这个角为成的角若记这个角为，则，则_判定空间两条直线是异面直线的方法判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点判定定理：平面外一点A与平面内一点与平面内一点B的连线和的连线和平面内不经过点平面内不经过点B的直线是异面直线的直线是异面直线(2)反证法：证明两直线不可能平行、相交或证明两反证法：证明两直线不可能平行、相交或证明两直线不可能共面，从而
5、可得两直线异面直线不可能共面，从而可得两直线异面考向考向1 空间点、线、面位置关系的判断空间点、线、面位置关系的判断高考对空间点、线、面的位置关系的考查不多，主要有高考对空间点、线、面的位置关系的考查不多，主要有以下两个方面：一是单独考查直线和平面的位置关系；二是以以下两个方面：一是单独考查直线和平面的位置关系；二是以多面体为载体考查线、面的位置关系复习时主要以理解和掌多面体为载体考查线、面的位置关系复习时主要以理解和掌握定理为主，试题难度中等，常以选择题、填空题形式出现握定理为主，试题难度中等，常以选择题、填空题形式出现例例1(2016课标课标，14)，是两个平面，是两个平面，m，n是两条直
6、线，有是两条直线，有下列四个命题：下列四个命题：如果如果mn，m，n，那么，那么.如果如果m，n，那么，那么mn.如果如果，m，那么，那么m.如果如果mn，那么，那么m与与所成的角和所成的角和n与与所成的角相所成的角相等等其中正确的命题有其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号填写所有正确命题的编号)【解析解析】若若mn，m，n，则，则与与可能平行或相交，可能平行或相交，故故错误；显然成立；若错误；显然成立；若，m，则，则m与与无公共点，无公共点，因而因而m，故，故正确；由线面角的定义、等角定理及面面平正确；由线面角的定义、等角定理及面面平行的性质可知行的性质可知正确正确【答案答案】点、线、
7、面的位置关系的判断方法点、线、面的位置关系的判断方法(1)平面的基本性质是立体几何的基本理论基础，也是判平面的基本性质是立体几何的基本理论基础，也是判断线面关系的基础对点、线、面的位置关系的判断，常采用断线面关系的基础对点、线、面的位置关系的判断，常采用穷举法，即对各种关系都进行考虑，要充分发挥模型的直观性穷举法，即对各种关系都进行考虑，要充分发挥模型的直观性作用作用(2)利用线线平行、线面平行、面面平行以及线线垂直、利用线线平行、线面平行、面面平行以及线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定定理、性质定理综合进行推理和判线面垂直、面面垂直的判定定理、性质定理综合进行推理和判断命题是否正确断命题是否
8、正确变式训练变式训练(2017山东烟台模拟山东烟台模拟，13)如图所示的是正方体和四如图所示的是正方体和四面体，面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则各图形中，分别是所在棱的中点，则各图形中，P，Q，R，S四点共面的是四点共面的是_(填序号填序号)【解析解析】对于对于，顺次连接，顺次连接P，Q，R，S，可证四边形，可证四边形PQRS为梯形；对于为梯形；对于，如图所示，取，如图所示，取A1A和和BC的中点分别为的中点分别为M，N，顺次连接，顺次连接P，M，Q，N，R，S，可证明六边形，可证明六边形PMQNRS为为正六边形；正六边形；对于对于，顺次连接，顺次连接P，Q，R，S，可证四边形，可证
9、四边形PQRS为平行四边为平行四边形；形；对于对于，可证，可证Q点所在棱与平面点所在棱与平面PRS平行，因此，平行，因此，P，Q，R，S四点不共面四点不共面考向考向2 异面直线所成的角异面直线所成的角高考对异面直线所成角的考查近几年逐渐淡化，主要考高考对异面直线所成角的考查近几年逐渐淡化，主要考查能作出异面直线夹角的情况，借助常见几何体转化为同一平查能作出异面直线夹角的情况，借助常见几何体转化为同一平面内两条直线的夹角，其难度降低，能建立空间直角坐标系面内两条直线的夹角，其难度降低，能建立空间直角坐标系的，可利用空间向量求异面直线的夹角的，可利用空间向量求异面直线的夹角例例2(2017课标课标
10、，10)已知直三棱柱已知直三棱柱ABCA1B1C1中，中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线，则异面直线AB1与与BC1所成角的所成角的余弦值为余弦值为()綊綊方法二：将直三棱柱方法二：将直三棱柱ABCA1B1C1补形成直四棱柱补形成直四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图如图)，连接，连接AD1，B1D1，则，则AD1BC1.方法三：过方法三：过B作作BHBC，交，交AC于于H.【答案答案】C 求异面直线所成角的方法求异面直线所成角的方法(1)几何法几何法作：利用定义转化为平面角，对于异面直线所成的角，作：利用定义转化为平面角，对于异面直线所成的角，可固定一条，平移一条，或两条同时
11、平移到某个特殊的位置，可固定一条，平移一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上顶点选在特殊的位置上证：证明作出的角为所求角证：证明作出的角为所求角求：把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形求求：把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形求空间角空间角(2)向量法向量法变式训练变式训练(2015浙江浙江，13)如图，在三棱锥如图，在三棱锥ABCD中，中，ABACBDCD3，ADBC2，点，点M，N分别为分别为AD，BC的中的中点，则异面直线点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是所成的角的余弦值是_【解析解析】如图，连接如图，连接BM，取，取BM的中点的中点G，连接，连接NG，AG，则则ANG为异面直线为异面直线AN，CM所成的角所成的角ABBD，BMAD.
