1、41圆的方程及点、线、圆的位置关系圆的方程及点、线、圆的位置关系1圆的方程圆的方程(1)圆的标准方程与一般方程圆的标准方程与一般方程名称名称圆的标准方程圆的标准方程圆的一般方程圆的一般方程方程方程_x2y2DxEyF0(D2E24F0)圆心圆心(a，b)_半径半径r(xa)2(yb)2r2(r0)(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，以，以AB为直径的圆的方程为为直径的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.2点与圆的位置关系点与圆的位置关系圆的标准方程圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点，点M(x0，y0)(1)_点点M在圆上；在圆上；(2)(x0a)2(y0b)2r2
2、点点M在圆外；在圆外；(3)_点点M在圆内在圆内(x0a)2(y0b)2r2(x0a)2(y0b)2r23直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 方法方法位置关系位置关系几何法几何法代数法代数法相交相交_0相切相切dr_相离相离_0dr4圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系设两个圆的半径分别为设两个圆的半径分别为R，r，Rr，圆心距为，圆心距为d，则两圆，则两圆的位置关系可用下表来表示：的位置关系可用下表来表示：位置关系位置关系外离外离外切外切相交相交内切内切内含内含几何特征几何特征dRr_Rrd Rr_ dRr代数特征代数特征 无实数解无实数解 一组实数解一组实数解两组两组实实数数解解一组实数解一
3、组实数解无实数无实数解解公切线公切线条条数数43210dRrdRr在利用判别式在利用判别式判断两圆的位置关系时，判断两圆的位置关系时，0是两是两圆相交的充要条件，而圆相交的充要条件，而0是两圆外切是两圆外切(内切内切)的必要不的必要不充分条件，充分条件，0是两圆外离是两圆外离(内含内含)的必要不充分条件的必要不充分条件考向考向1 圆的方程及应用圆的方程及应用圆的方程在高考中涉及三个方面的应用，一是利用直接圆的方程在高考中涉及三个方面的应用，一是利用直接法或待定系数法或动点轨迹确定圆的方程；二是利用圆的方程法或待定系数法或动点轨迹确定圆的方程；二是利用圆的方程得到圆心和半径；三是圆的方程与圆锥曲
4、线等其他知识结合起得到圆心和半径；三是圆的方程与圆锥曲线等其他知识结合起来进行综合考查，常涉及点到直线的最大或最小距离问题但来进行综合考查，常涉及点到直线的最大或最小距离问题但不管是哪一方面，掌握圆的实质内涵不管是哪一方面，掌握圆的实质内涵“心定位，径定大心定位，径定大”是至关是至关重要的重要的(2)方法一：由题意知方法一：由题意知a4，b2，上、下顶点的坐标分别为，上、下顶点的坐标分别为(0，2)，(0，2)，右顶点的坐标为，右顶点的坐标为(4，0)由圆心在由圆心在x轴的正轴的正半轴上知圆过点半轴上知圆过点(0，2)，(0，2)，(4，0)三点三点设圆的标准方程为设圆的标准方程为(xm)2y
5、2r2(0m4，r0)，方法二：由题意设圆的一般方程为方法二：由题意设圆的一般方程为x2y2DxF0，由方法一知圆过点由方法一知圆过点(0，2)，(4，0)，1用待定系数法求圆的方程的一般步骤用待定系数法求圆的方程的一般步骤(1)选用圆的方程两种形式中的一种，若已知圆上三个点选用圆的方程两种形式中的一种，若已知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标轴间的关系，通常选用标准方程；两坐标轴间的关系，通常选用标准方程；(2)根据所给条件，列出关于根据所给条件，列出关于D，E，F或或a，b，r的方程的方程组；组；(3
6、)解方程组，求出解方程组，求出D，E，F或或a，b，r的值，并把它们代的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程入所设的方程中，得到所求圆的方程2确定圆心位置的方法确定圆心位置的方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线变式训练变式训练(2015北京文北京文，2)圆心为圆心为(1，1)且过原点的圆的方程且过原点的圆的方程是是()A(x1)2(y1)21 B(x1)2(y1)21C(x1)2(y1)22 D(x1)2
7、(y1)22【解析解析】设半径为设半径为r，则则r2(10)2(10)22，圆心为圆心为(1，1)且过原点的圆的方程为且过原点的圆的方程为(x1)2(y1)22.D考向考向2 直线与圆、圆与圆的位置关系及应用直线与圆、圆与圆的位置关系及应用直线与圆的位置关系主要通过数形结合思想，考查直线直线与圆的位置关系主要通过数形结合思想，考查直线和圆的几何性质，常涉及切线长和弦长，主要以圆心、半径、和圆的几何性质，常涉及切线长和弦长，主要以圆心、半径、勾股定理、点到直线的距离、弦心距公式等为基础，所涉及的勾股定理、点到直线的距离、弦心距公式等为基础，所涉及的题目在高考中属于中等难度题目在高考中属于中等难度
8、圆与圆的位置关系的应用主要题型有给出两圆的方程判圆与圆的位置关系的应用主要题型有给出两圆的方程判断位置关系、公切线的条数、参数的范围、公共弦长等，以选断位置关系、公切线的条数、参数的范围、公共弦长等，以选择题、填空题为主，属中档题择题、填空题为主，属中档题例例2 (1)(2015重庆重庆，8)已知直线已知直线l：xay10(aR)是圆是圆C：x2y24x2y10的对称轴，过点的对称轴，过点A(4，a)作圆作圆C的一条的一条切线，切点为切线，切点为B，则，则|AB|()【解析解析】(1)方法一：由题设，得圆方法一：由题设，得圆C的标准方程为的标准方程为(x2)2(y1)24，知圆，知圆C的圆心为
9、的圆心为(2，1)，半径为，半径为2.因为直线因为直线l为圆为圆C的对称轴，的对称轴，所以圆心在直线所以圆心在直线l上，则上，则2a10，解得，解得a1，所以所以|AB|2|AC|2|BC|2(42)2(11)2436，所，所以以|AB|6.方法二方法二(优解优解)：由题意知直线：由题意知直线xay10过圆心过圆心(2，1)，则，则2a10，a1，则，则A(4，1)，方法三：由题意知，圆心在直线方法三：由题意知，圆心在直线l上，即上，即2a10，解得，解得a1，再由图知，再由图知，|AB|6.(2)如图，如图，【答案答案】(1)C(2)41有关弦长问题的两种求法有关弦长问题的两种求法2过一点求
10、圆的切线的方法过一点求圆的切线的方法(1)过圆上一点过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法的圆的切线方程的求法(2)过圆外一点过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法的圆的切线方程的求法当斜率存在时，设为当斜率存在时，设为k，切线方程为，切线方程为yy0k(xx0)，即，即kxyy0kx00.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程当斜率不存在时要加以验证切线方程当斜率不存在时要加以验证变式训练变式训练1(2017河南南阳模拟河南南阳模拟，2)两圆两圆x2y24x2y10与与x2y24x4y10的公切线有的公切线有()A1条条 B2条条 C3条
11、条 D4条条C2(2017安徽黄山二模安徽黄山二模，7)过直线过直线yx1上的点上的点P作圆作圆C：(x1)2(y6)22的两条切线的两条切线l1，l2，当直线，当直线l1，l2关于直线关于直线yx1对称时，对称时，|PC|()B考向考向3 直线与圆的综合问题直线与圆的综合问题直线与圆的综合问题在高考中出现的频率不高，主要考直线与圆的综合问题在高考中出现的频率不高，主要考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离，有时也与函数、不查直线与圆的位置关系，点到直线的距离，有时也与函数、不等式交汇命题，运算量较大，对逻辑推理能力的要求较高等式交汇命题，运算量较大，对逻辑推理能力的要求较高例例3(2015广
12、东广东，20，14分分)已知过原点的动直线已知过原点的动直线l与圆与圆C1：x2y26x50相交于不同的两点相交于不同的两点A，B.(1)求圆求圆C1的圆心坐标；的圆心坐标；(2)求线段求线段AB的中点的中点M的轨迹的轨迹C的方程；的方程；(3)是否存在实数是否存在实数k，使得直线，使得直线L：yk(x4)与曲线与曲线C只有一个只有一个交点？若存在，求出交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由的取值范围；若不存在，说明理由【解析解析】(1)圆圆C1的方程的方程x2y26x50可化为可化为(x3)2y24，所以圆心坐标为，所以圆心坐标为(3，0)(2)设设A(x1，y1)，B(x2，y
13、2)(x1x2)，M(x0，y0)，由题意可知直线由题意可知直线l的斜率必存在，设直线的斜率必存在，设直线l的方程为的方程为ytx.将上述方程代入圆将上述方程代入圆C1的方程，化简得的方程，化简得(1t2)x26x50.联立直线联立直线L的方程与曲线的方程与曲线C的方程，消去的方程，消去y整理得整理得(1k2)x2(38k2)x16k20.直线与圆的综合问题的求解策略直线与圆的综合问题的求解策略(1)利用解析几何的基本思想方法利用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化即几何问题代数化)，把，把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决(2
14、)直线与圆和平面几何联系十分紧密，可充分考虑平面直线与圆和平面几何联系十分紧密，可充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算中，几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放到一起综合考虑放到一起综合考虑(1)求求|PA|的最大值与最小值；的最大值与最小值；(2)圆圆C与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径内切圆的半径m3，m2，(2)由由(1)可得圆的方程为可得圆的方程为(x3)2(y2)213，令令x0，则，则y0或或4；令令y0，则，则x0或或6，圆圆C与坐标轴相交于三点与坐标轴相交于三点M(0，4)，O(0，0)，N(6，0)，MON为直角三角形，为直角三角形，
