1、第二十三章第二十三章 不等式选讲不等式选讲绝对值不等绝对值不等式及不等式式及不等式的证明的证明1.理解绝对值的几何意理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下等式的几何意义证明以下不等式：不等式：(1)|ab|a|b|.(2)|ab|ac|cb|.(3)会利用绝对值的几何会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等意义求解以下类型的不等式：式：|axb|c；|axb|c；|xa|xb|c.解答题：解答题：2017课标课标，23解答题：解答题：2017课标课标，23解答题：解答题：2017课标课标，23解答题：解答题：2016课标课标，24绝对值不等绝对值不
2、等式及不等式式及不等式的证明的证明2.了解下列柯西不等式的几种了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何不同形式，理解它们的几何意义，并会证明意义，并会证明.(1)柯西不等式的向量形式：柯西不等式的向量形式：|.(2)(a2b2)(c2d2)(acbd)2.解答题：解答题：2017课标课标，23解答题：解答题：2017课标课标，23解答题：解答题：2017课标课标，23解答题：解答题：2016课标课标，24绝对值不等绝对值不等式及不等式式及不等式的证明的证明3.会用参数配方法讨论柯西不会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：等式的一般情形：4.会用向量递归方法讨论排序会用向量递归方法讨论
3、排序不等式不等式.5.了解数学归纳法的原理及其了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题证明一些简单问题.解答题：解答题：2017课标课标，23解答题：解答题：2017课标课标，23解答题：解答题：2017课标课标，23解答题：解答题：2016课标课标，24绝对值不等绝对值不等式及不等式式及不等式的证明的证明6.会用数学归纳法证明伯会用数学归纳法证明伯努利不等式：努利不等式：(1x)n1nx(x1，x0，n为大于为大于1的正整的正整数数)，了解当，了解当n为大于为大于1的实的实数时伯努利不等式也成立数时伯努利不等式也成立.7.会用上述不等式证明一会
4、用上述不等式证明一些简单问题，能够利用平些简单问题，能够利用平均值不等式、柯西不等式均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值求一些特定函数的极值.8.了解证明不等式的基本了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法分析法、反证法、放缩法.解答题：解答题：2017课标课标，23解答题：解答题：2017课标课标，23解答题：解答题：2017课标课标，23解答题：解答题：2016课标课标，2462绝对值不等式及不等式的证明绝对值不等式及不等式的证明1绝对值不等式的解法绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式含绝对值的不等式|x|a的解集的解集不等式不等式a
5、0a0aa_x|xR且且x0Rx|axa或或x0)和和|axb|c(c0)型不等式的解法：型不等式的解法：|axb|c_；|axb|caxbc或或axbc.(3)|xa|xb|c和和|xa|xb|c型不等式的解法型不等式的解法(i)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；的思想；(ii)利用利用“零点分段法零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；求解，体现了分类讨论的思想；(iii)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想方程的思想caxbc2绝对值的三角不等式绝对值的三角
6、不等式定理定理1：若：若a，b为实数，则为实数，则|ab|_，当且仅当，当且仅当ab0时，等号成立时，等号成立定理定理2：设：设a，b，c为实数，则为实数，则|ac|ab|bc|，当且，当且仅当仅当(ab)(bc)0时，等号成立时，等号成立|a|b|(a1b1a2b2anbn)2考向考向1 绝对值不等式的解法绝对值不等式的解法绝对值不等式在高考中以解答题形式呈现，属中等难度绝对值不等式在高考中以解答题形式呈现，属中等难度题目，分值为题目，分值为10分主要考查绝对值不等式的解法和性质的运分主要考查绝对值不等式的解法和性质的运用用例例1(2016课标课标，24，10分分)已知函数已知函数f(x)|
7、2xa|a.(1)当当a2时，求不等式时，求不等式f(x)6的解集；的解集；(2)设函数设函数g(x)|2x1|.当当xR时，时，f(x)g(x)3，求，求a的取值范的取值范围围【解析解析】(1)当当a2时，时，f(x)|2x2|2.解不等式解不等式|2x2|26得得1x3.因此因此f(x)6的解集为的解集为x|1x3(2)方法一：当方法一：当xR时，时，f(x)g(x)|2xa|a|12x|2xa12x|a|1a|a.所以当所以当xR时，时，f(x)g(x)3等价于等价于|1a|a3.当当a1时，上式等价于时，上式等价于1aa3，无解；，无解；当当a1时，上式等价于时，上式等价于a1a3，解
8、得，解得a2.所以所以a的取值范围是的取值范围是2，)h(x)min2a1，由，由2a13，得，得a2.综上知综上知a的取值范围是的取值范围是2，)含绝对值不等式的常用解法含绝对值不等式的常用解法(1)基本性质法：对基本性质法：对aR，|x|aaxa，|x|axa或或xa.(2)平方法：两边平方去掉绝对值符号平方法：两边平方去掉绝对值符号s(3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式价的不含绝对值符号的不等式
9、(组组)求解求解(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解值转化为数轴上两点的距离求解(5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解的两个函数的图象，利用函数图象求解考向考向2 含有绝对值的恒成立、存在性及参数范围问题含有绝对值的恒成立、存在性及参数范围问题高考中含参数的绝对值不等式问题以解答题的形式考高考中含参数的绝对值不等式问题以解答题的形式考查，难度为中等偏易主要考查恒成立、存在性及参数范围问查，难度为中等偏易主要考查恒
10、成立、存在性及参数范围问题，此类问题多可转化为最值问题题，此类问题多可转化为最值问题例例2(2017课标课标，23，10分分)已知函数已知函数f(x)|x1|x2|.(1)求不等式求不等式f(x)1的解集；的解集；(2)若不等式若不等式f(x)x2xm的解集非空，求的解集非空，求m的取值范围的取值范围由由f(x)1可得，可得，当当x1时显然不满足题意；时显然不满足题意；当当1x2时，时，2x11，解得，解得1xg(a)2；(2)当当xa，1)时恒有时恒有f(x)g(a)，求实数，求实数a的取值范围的取值范围解解：(1)当当a3时，时，f(x)|x1|x3|，g(3)4.f(x)g(a)2化为化
11、为|x1|x3|6.当当x1时，时，2x26，即，即x2，故，故x2；当当3x6，即，即x4，故，故x4.所求不等式解集为所求不等式解集为(，4)(2，)(2)xa，1)，f(x)1a.f(x)g(a)1aa2a2a22a30a3或或a1.又又a1.综上，实数综上，实数a的取值范围为的取值范围为3，)考向考向3 证明不等式证明不等式不等式的证明在高考中以解答题的形式呈现题目属于不等式的证明在高考中以解答题的形式呈现题目属于中等难度，分值为中等难度，分值为10分在复习中，熟练掌握不等式的证明方分在复习中，熟练掌握不等式的证明方法尤为重要法尤为重要例例3(2017课标课标，23，10分分)已知已知
12、a0，b0，a3b32，证，证明：明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.【证明证明】(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a2b2)24.(2)因为因为(ab)3a33a2b3ab2b3证明不等式的常用方法证明不等式的常用方法(1)证明不等式的常用方法有比较法、综合法、分析证明不等式的常用方法有比较法、综合法、分析法如果已知条件与待证结论的联系不明显，可考虑用分析法如果已知条件与待证结论的联系不明显，可考虑用分析法法(2)如果待证命题是否定性命题或唯一性命题或以如果待证命题是否定性命题或唯一性命题或以“至至少少”“至多至多”等方式给出，则考虑用反证法等方式给出，则考虑用反证法(3)如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法等在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧等在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明简化对问题的表述和证明变式训练变式训练(2015课标课标，24，10分分)设设a，b，c，d均为正数，均为正数，且且abcd，证明：，证明：(2)若若|ab|cd|，则则(ab)2(cd)2，即即(ab)24ab(cd)24cd.因为因为abcd，所以，所以abcd.
