1、平方根(第1课时)教学设计通州区先锋初级中学 黄孝培一、 内容和内容解析本节课内容属于全日制义务教育数学课程标准（实验稿）中的“数与代数”领域，是在已学的数的平方运算基础上，通过逆向思维得出算术平方根的定义、意义和求法。算术平方根是后面学习平方根、二次根式、一元一次方程以及解三角形等知识的基础，也为学习高中数学中的不等式、函数以及解析几何的大部分知识做好 准备。学生在七年级上册中已经学习了有理数，而算术平方根的学习，第一次在学生面前展示了无理数的形式，将数的范围由有理数扩充到了实数。因此，本节课内 容在整个数学学科的学习中起到承上启下的重要作用，使得学生对于数的认识进行了一次质的飞跃！二、 目
2、标和目标解析（一） 教学目标1、 经历从实际问题情境中抽象出代数模型，让学生体会其中模型化思想，进一步了解建模思想。2、 通过实际问题抽象为数学问题中让学生体会互逆运算，培养学生的逆向思维。3、 了解算术平方根的概念，会用根号表示数的算术平方根并理解根号的意义。4、 会利用算术平方根的定义求一个非负数的算术平方根。（二） 目标解析 1.学 生目前的学习对象已经由具体的数发展为抽象的数学符号，而学生对于思想方法的理解和掌握又是循序渐进的，通过本节的教学，利用“问题情境建立模型 求解与解释应用与拓展回顾与反思”的方式，让学生在分析问题中获得相应概念和解决问题的方法，为本章平方根、立方根的学习奠定基
3、础。2.逆向思维的运用在数学中处处可见，通过该目标消除学生对算术平方根的模糊认识，真正理解该定义，使学生能透过现象看本质，激活思维，学会思考。3.数学思想的教学一般要经过渗透、领悟、应用、巩固四个阶段，而不是复制和一味的灌输，教学中，让学生理解算术平方根的定义，并运用定义分析算术平方根的意义、根号的意义，从而熟练的归纳、概括出求某些数算术平方根的方法。三、 教学问题诊断分析本课内容由实际问题引入，利用逆向思维，得出算术平方根的定义，学生对于这种抽象思想的理解和体会并不深刻，如果仅停留在模仿和生搬硬套的水平 上，方法本身并不难，绝大部分学生能掌握，但是直接以根号的形式出现时，学生会感到茫然、不知
4、所措，这样对于学生思维的发展和能力的提高毫无益处。因此教学的难点在于理解算术平方根的概念，特别是符号语言与文字叙述之间的转换和联系，能形成抽象的概念。突破这一难点的关键是：给学生充足的思考、探索、交流的时间，让他们在探索和交流中体会概念，体验根号的意义，悟出求算术平方根的方法。教学难点：算术平方根概念的理解，并能熟练运用。四、 教学支持条件分析根据本节课教学特点，为更好实现教学目标，可借助计算机辅助教学，借助多媒体高效、便捷的优势，借助幻灯片把一些文字性的内容快速、清晰地呈现，易于在学生脑海中留下深刻印象。五、 教学过程设计（一） 创设情境，引入新知 问题1：同学们，好消息！学校要给我们教室装
5、一个正方形屏幕的液晶电视，不过呢校长要考考我们，什么时候过关什么时候就来安装啦！大家有信心吗？【设计意图】通过从实际生活的切入，引起学生的共鸣，调动课堂活跃气氛，同时又为后面的问题提出做好铺垫。（二） 观察探究、形成新知 问题2：正方形屏幕的边长是100cm，你能知道这屏幕的面积吗？问题3：正方形屏幕的面积是1m，你能算出它的边长吗？师生活动：教师提问，学生快速回答抢答。【设计意图】先利用直接思维方式，再逆向考虑问题，所选数据便于计算，体会已知面积求边长的方法，同时又为问题4的出现做铺垫。问题4：若正方形屏幕面积为2m，它的边长怎么表示呢？师生活动：教师引导，即求一个正数的平方等于2。教师提问
6、：你知道哪个正数的平方等于2吗？观察学生反应，提示大家，通过本节课的学习，这个问题便能迎刃而解。【设计意图】抓住学生好奇的心理，让学生带着疑问去学习，激发他们的求知欲，从而带领学生引入本课知识点中。 问题5：帮一帮：学校要举行美术作品比赛，小鸥很高兴，他想裁出一块面积为25的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？若面积换成表格中数据呢？正方形的面积1916360.25边长 师生活动：先让学生自己寻找答案，再提示大家观察表格内对应数据间的关系。【设计意图】再次熟悉找一个正数的平方等于已知数的方法，让学生自主探索，得出算术平方根的定义。定义：一般地，如果一个正数x的
7、平方等于a,即x=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数。即：x=a（x0）,x叫做a的算术平方根,记作：x=特殊：0的算术平方根是0。记作：=0中被开方数a0 师生活动：由学生总结表格中的数据关系，教师给出新名词：算术平方根，得出定义。讲解根号的符号表示和其意义。 【设计意图】由具体到抽象，得出算术平方根否认概念，学生便于理解并接受，对问题的认识上升到理性的高度。（三） 巩固提高，应用新知 思考：下列各式哪些有意义，哪些没有意义？ （1） （2） （3） （4） 师生活动：学生自主思考，自由回答，无意义的说明理由，最后教师引导总结，考察知识点
8、：被开方数应为非负数。【设计意图】通过实例，让学生体会中被开方数a0这句话的含义，加强只有非负数才有算术平方根的理解。例1：求下列各数的算术平方根（1）100 （2） （3）0.0001 师生活动：教师对于第一小题的答题过程进行板书，让学生依葫芦画瓢，再次体验算术平方根的求法。【设计意图】该例子是对算术平方根定义的直接运用，是对概念理解的加深与巩固。所选数据又兼顾到整数、分数、小数等类型，同时锻炼学生较为薄弱的书写、总结能力。练习：求下列各数的算术平方根 （1） （2）2 师生活动：让学生先动手做，遇到问题小组讨论解决，最后学生总结解题方法，不到位处教师引导、补充。【设计意图】对于带分数在不少
9、问题中都需要转换为假分数来解决，但是受小学里学习的影响，不少学生没有这种习惯，从而影响解题。另外，被开方数以平方的形式出现，学生习惯先求值再开方，这里可以对后面探究做铺垫。 思考：的算术平方根是_ 师生活动：让学生独立思考，有不少学生以为结果为4，不忙给出结果，打出：16的算术平方根是_，然后再次让学生讨论，比较16与区别和联系，引导学生先去化简再进行求值。【设计意图】关键考查学生对于根号的理解程度，为下一题的讲解做准备。通过对比学习法帮助学生分析、理解，数学学习中，不少代数问题上都涉及到先化简再进行解题的一般思路。 想一想：下列式子表示什么意思？你能求出它们的值吗？ ， ， 师生活动：学生自
10、主解题，总结归纳本题的出题本意。【设计意图】本题主要是对算术平方根概念和根号意义的双重考查，是学生向数学符号语言的一步大的跨越，既是本课重点，又是学生掌握的难点。练习：求下列各式的值。（1） （2） （3）师生活动：学生独立完成，提醒学生第三小题同样可利用解决。【设计意图】既是对“想一想”知识的巩固，又是再次体验先化简再求值的重要性。（四）归纳反思，深化新知 课堂反馈：1. 81的算术平方根是_,的算术平方根是_, 算术平方根是3的数是_，的算术平方根是_2.一个数的算术平方根等于它本身，这个数是_3.下列各式中，正确的是 （ ）A B C D 4.判断 （1）5是25的算术平方根 （ ）（2
11、）36的算术平方根是-6 （ ）（3）0.001是0.1的算术平方根（ ）（4）-25的算术平方根是-5 （ ）5.若，则求的算数平方根。师生活动：在规定的时间内让学生独立完成，由学生来对题目进行讲解，说明理由，必要时，教师加以引导、补充。【设计意图】及时的课堂反馈，可以看出学生对于本节课内容的理解和掌握情况，及时发现问题，有助课后进行有针对性的加强训练。提问：回顾问题4：现在知道面积为2m的正方形边长了吗？师生活动：得到结果cm【设计意图】前后呼应，对于本课知识的再次肯定，又为下节课无理数的讲解做铺垫。提问：今天你有什么收获？师生活动：自由发言，概括本节课主要内容，教师梳理，并强调本课重点。【设计意图】教师引导学生归纳本课知识要点，使学生对算术平方根的概念及其应用有一个较为整体、全面的认识，同时，使学生养成良好的学习习惯。作业：必做题：课本75页 习题13.1第1、2题. 选做题：（1）3x-4为25的算术平方根，求x的值。（2）2a-1的算术平方根是3，3a+b-1的算术平方根是4，求a,b的值。【设计意图】必做题中的作业既是对算术平方根的概念及其应用的一次练习，又是学生对该内容掌握情况的反映。选做题中的作业有一定的难度，可以让有能力的学生有一个知识的提高。
