1、大理知新教育 解三角形一知识点梳理 （一）正弦定理：（其中R表示三角形的外接圆半径）适用情况：（1）已知两角和一边，求其他边或其他角； （2）已知两边和对角，求其他边或其他角。 变形： ， ， = （二） 余弦定理：求边：求角： 适用情况：（1）已知三边，求角；（2）已知两边和一角，求其他边或其他角。（三） 三角形的面积：（四）三角边角关系：（1）在中，； ； （2）边关系：a + b c，b + c a，c + a b，ab c，bc b；（3）大边对大角：二考点剖析（一）正弦定理与余弦定理的混合使用例1.在ABC中，已知,且=2, ,求的长.例2.如图所示，在等边三角形中，为三角形的中心，
2、过的直线交于，交于，求的最大值和最小值变式1.在ABC中，角A、B、C对边分别为，已知，（）求的大小；（）求的值变式2.在ABC中，已知，AC边上的中线BD=，求sinA的值变式3.在中，为锐角，角所对的边分别为，且（I）求的值； （II）若，求的值。 （二）正弦定理与余弦定理在向量与面积上的运用例3.如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC。问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？变式4.ABC中的三和面积满足，且，求面积的最大值。例4.在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，（1）求角C的大小； （2）求AB
3、C的面积变式5.已知圆内接四边形的边长，求四边形的面积例5.在中，角所对的边分别为，且满足， （I）求的面积； （II）若，求的值变式6.已知向量，且，其中是ABC的内角，分别是角的对边.(1) 求角的大小；（2）求的取值范围.（三）三角形形状的判断例6.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c, b=acosC,且ABC的最大边长为12，最小角的正弦值为。（1） 判断ABC的形状；（2） 求ABC的面积。变式7.在ABC中，若.(1)判断ABC的形状； (2)在上述ABC中，若角C的对边，求该三角形内切圆半径的取值范围。例7.在ABC中，已知，试判断ABC的形状。变式8.在ABC中，
4、cos2，(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为 A 正三角形 B直角三角形 C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形变式9.ABC中，若sinA=2sinBcosC，sin2A=sin2B+sin2C，试判断ABC的形状。解三角形基础练习一选择题（共10小题）1（2015广东）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若a=2，c=2，cosA=且bc，则b=（）A3B2 C2 D2（2014新课标II）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A5B C2D13（2014江西）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（ab）2+6，
5、C=，则ABC的面积是（）AB C D34（2014江西）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A B C1 D5（2013山东）ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若B=2A，a=1，b=，则c=（）A B2C D16（2013辽宁）在ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，casinBcosC+csinBcosA=b，且ab，则B=（）ABC D7（2013新课标）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，B=，C=，则ABC的面积为（）A2+2BC22 D18设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+
6、c=2a，3sinA=5sinB，则角C=（）A B C D9（2013天津）在ABC中，则sinBAC=（）A B C D10（2012陕西）在ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则cosC的最小值为（）A BC D二填空题（共4小题）11设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若a=，sinB=，C=，则b=12在ABC中，a=3，b=，A=，则B=13设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=，3sinA=2sinB，则c=14在ABC中，a=4，b=5，c=6，则=三解答题（共16小题）15（2015新课标I）已知a，b
7、，c分别是ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC（）若a=b，求cosB；（）设B=90，且a=，求ABC的面积16（2015新课标II）ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长17（2015新课标II）ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，BD=2DC（） 求（） 若BAC=60，求B18（2015安徽）在ABC中，A=，AB=6，AC=3，点D在BC边上，AD=BD，求AD的长19 （2015山东）ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac
8、=2，求sinA和c的值20（2015湖南）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA（）证明：sinB=cosA；（）若sinCsinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C21（2015湖南）设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角（）证明：BA=；（）求sinA+sinC的取值范围22已知A、B、C为ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+pxp+1=0（pR）两个实根（）求C的大小（）若AB=3，AC=，求p的值23在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2a2=c2（1）求tanC的值；（2）若ABC
9、的面积为3，求b的值24（2015陕西）ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行（）求A；（）若a=，b=2，求ABC的面积25（2015天津）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ABC的面积为3，bc=2，cosA=（）求a和sinC的值；（）求cos（2A+）的值26（2014山东）ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知a=3，cosA=，B=A+（）求b的值；（）求ABC的面积27（2014天津）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ac=b，sinB=sinC，（）求cosA的值；（）
10、求cos（2A）的值28在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且ac，已知=2，cosB=，b=3，求：（）a和c的值；（）cos（BC）的值29（2014广东）在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=2b，则=30（2014陕西）ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c（）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值解三角形一选择题（共10小题）1（2015广东）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若a=2，c=2，cosA=且bc，则b=（）A
11、3B2C2D【解答】解：a=2，c=2，cosA=且bc，由余弦定理可得，a2=b2+c22bccosA，即有4=b2+124b，解得b=2或4，由bc，可得b=2故选：C2【解答】解：钝角三角形ABC的面积是，AB=c=1，BC=a=，S=acsinB=，即sinB=，当B为钝角时，cosB=，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC22ABBCcosB=1+2+2=5，即AC=，当B为锐角时，cosB=，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC22ABBCcosB=1+22=1，即AC=1，此时AB2+AC2=BC2，即ABC为直角三角形，不合题意，舍去，则AC=故选：B3（2014江西）在ABC
12、中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（ab）2+6，C=，则ABC的面积是（）ABCD3【解答】解：由题意得，c2=a2+b22ab+6，又由余弦定理可知，c2=a2+b22abcosC=a2+b2ab，2ab+6=ab，即ab=6SABC=故选：C4【解答】解：3a=2b，b=，根据正弦定理可得=，故选：D5【解答】解：B=2A，a=1，b=，由正弦定理=得：=，cosA=，由余弦定理得：a2=b2+c22bccosA，即1=3+c23c，解得：c=2或c=1（经检验不合题意，舍去），则c=2故选B6（2013辽宁）在ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，casinB
13、cosC+csinBcosA=b，且ab，则B=（）ABCD【解答】解：利用正弦定理化简已知等式得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB，sinB0，sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB=，ab，AB，即B为锐角，则B=故选A7（2013新课标）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，B=，C=，则ABC的面积为（）A2+2BC22D1【解答】解：b=2，B=，C=，由正弦定理=得：c=2，A=，sinA=sin（+）=cos=，则SABC=bcsinA=22=+1故选B8（2013安徽）设ABC的内角A，B，C所对边的长分别
14、为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=（）ABCD【解答】解：b+c=2a，由正弦定理知，5sinB=3sinA可化为：5b=3a，解得c=b，由余弦定理得，cosC=，C=，故选：B9（2013天津）在ABC中，则sinBAC=（）ABCD【解答】解：ABC=，AB=，BC=3，由余弦定理得：AC2=AB2+BC22ABBCcosABC=2+96=5，AC=，则由正弦定理=得：sinBAC=故选C10（2012陕西）在ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则cosC的最小值为（）ABCD【解答】解：因为a2+b2=2c2，所以由余弦定理
15、可知，c2=2abcosC，cosC=故选C二填空题（共4小题）11【解答】解：sinB=，B=或B=当B=时，a=，C=，A=，由正弦定理可得，则b=1当B=时，C=，与三角形的内角和为矛盾故答案为：112【解答】解：由正弦定理可得，=，即有sinB=，由ba，则BA，可得B=故答案为：13（【解答】解：3sinA=2sinB，由正弦定理可得：3a=2b，a=2，可解得b=3，又cosC=，由余弦定理可得：c2=a2+b22abcosC=4+92=16，解得：c=4故答案为：414（2015北京）在ABC中，a=4，b=5，c=6，则=1【解答】解：ABC中，a=4，b=5，c=6，cosC
16、=，cosA=sinC=，sinA=，=1故答案为：1三解答题（共16小题）15【解答】解：（I）sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：0，代入可得（bk）2=2akck，b2=2ac，a=b，a=2c，由余弦定理可得：cosB=（II）由（I）可得：b2=2ac，B=90，且a=，a2+c2=2ac，解得a=c=SABC=116【解答】解：（1）如图，过A作AEBC于E，=2BD=2DC，AD平分BACBAD=DAC在ABD中，=，sinB=在ADC中，=，sinC=；=6分（2）由（1）知，BD=2DC=2=过D作DMAB于M，作DNAC于N，AD平分BAC，DM=DN，=2，A
17、B=2AC，令AC=x，则AB=2x，BAD=DAC，cosBAD=cosDAC，由余弦定理可得：=，x=1，AC=1，BD的长为，AC的长为117【解答】解：（）如图，由正弦定理得：，AD平分BAC，BD=2DC，；（）C=180（BAC+B），BAC=60，由（）知2sinB=sinC，tanB=，即B=3018（2015安徽）在ABC中，A=，AB=6，AC=3，点D在BC边上，AD=BD，求AD的长【解答】解：A=，AB=6，AC=3，在ABC中，由余弦定理可得：BC2=AB2+AC22ABACcosBAC=90BC=34分在ABC中，由正弦定理可得：，sinB=，cosB=8分过点D
18、作AB的垂线DE，垂足为E，由AD=BD得：cosDAE=cosB，RtADE中，AD=12分19（2015山东）ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值【解答】解：因为ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，所以sinB=，sinAcosB+cosAsinB=，所以sinA+cosA=，结合平方关系sin2A+cos2A=1，得27sin2A6sinA16=0，解得sinA=或者sinA=（舍去）；由正弦定理，由可知sin（A+B）=sinC=，sinA=，所以a=2c
19、，又ac=2，所以c=120（2015湖南）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA（）证明：sinB=cosA；（）若sinCsinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C【解答】解：（）证明：a=btanA=tanA，由正弦定理：，又tanA=，=，sinA0，sinB=cosA得证（）sinC=sin（A+B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，sinCsinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，sin2B=，0B，sinB=，B为钝角，B=，又cosA=sinB=，A=，C=AB=，综上，A=C=，B=21（2015湖南）设
20、ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角（）证明：BA=；（）求sinA+sinC的取值范围【解答】解：（）由a=btanA和正弦定理可得=，sinB=cosA，即sinB=sin（+A）又B为钝角，+A（，），B=+A，BA=；（）由（）知C=（A+B）=（A+A）=2A0，A（0，），sinA+sinC=sinA+sin（2A）=sinA+cos2A=sinA+12sin2A=2（sinA）2+，A（0，），0sinA，由二次函数可知2（sinA）2+sinA+sinC的取值范围为（，22（2015四川）已知A、B、C为ABC的内角，tanA，tanB是关于
21、方程x2+pxp+1=0（pR）两个实根（）求C的大小（）若AB=3，AC=，求p的值【解答】解：（）由已知，方程x2+pxp+1=0的判别式：=（p）24（p+1）=3p2+4p40，所以p2，或p由韦达定理，有tanA+tanB=p，tanAtanB=1p所以，1tanAtanB=1（1p）=p0，从而tan（A+B）=所以tanC=tan（A+B）=，所以C=60（）由正弦定理，可得sinB=，解得B=45，或B=135（舍去）于是，A=180BC=75则tanA=tan75=tan（45+30）=2+所以p=（tanA+tanB）=（2+）=123（2015浙江）在ABC中，内角A，B
22、，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2a2=c2（1）求tanC的值；（2）若ABC的面积为3，求b的值【解答】解：（1）A=，由余弦定理可得：，b2a2=bcc2，又b2a2=c2bcc2=c2b=c可得，a2=b2=，即a=cosC=C（0，），sinC=tanC=2（2）=3，解得c=2=324（2015陕西）ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行（）求A；（）若a=，b=2，求ABC的面积【解答】解：（）因为向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行，所以asinB=0，由正弦定理可知：sinAsinBsinBcosA=0
23、，因为sinB0，所以tanA=，可得A=；（）a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c22bccosA，可得7=4+c22c，解得c=3，ABC的面积为：=25（2015天津）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ABC的面积为3，bc=2，cosA=（）求a和sinC的值；（）求cos（2A+）的值【解答】解：（）在三角形ABC中，由cosA=，可得sinA=，ABC的面积为3，可得：，可得bc=24，又bc=2，解得b=6，c=4，由a2=b2+c22bccosA，可得a=8，解得sinC=；（）cos（2A+）=cos2Acossin2Asin=26（2014山东
24、）ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知a=3，cosA=，B=A+（）求b的值；（）求ABC的面积【解答】解：（）cosA=，sinA=，B=A+sinB=sin（A+）=cosA=，由正弦定理知=，b=sinB=3（）sinB=，B=A+cosB=，sinC=sin（AB）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=（）+=，S=absinC=33=27（2014天津）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ac=b，sinB=sinC，（）求cosA的值；（）求cos（2A）的值【解答】解：（）将sinB=sinC，利用正弦定理化简得：b=c，代入
25、ac=b，得：ac=c，即a=2c，cosA=；（）cosA=，A为三角形内角，sinA=，cos2A=2cos2A1=，sin2A=2sinAcosA=，则cos（2A）=cos2Acos+sin2Asin=+=28（2014辽宁）在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且ac，已知=2，cosB=，b=3，求：（）a和c的值；（）cos（BC）的值【解答】解：（）=2，cosB=，cacosB=2，即ac=6，b=3，由余弦定理得：b2=a2+c22accosB，即9=a2+c24，a2+c2=13，联立得：a=3，c=2；（）在ABC中，sinB=，由正弦定理=得：sinC=s
26、inB=，a=bc，C为锐角，cosC=，则cos（BC）=cosBcosC+sinBsinC=+=29（2014广东）在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=2b，则=2【解答】解：将bcosC+ccosB=2b，利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=2sinB，即sin（B+C）=2sinB，sin（B+C）=sinA，sinA=2sinB，利用正弦定理化简得：a=2b，则=2故答案为：230（2014陕西）ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c（）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值【解答】解：（）a，b，c成等差数列，a+c=2b，由正弦定理得：sinA+sinC=2sinB，sinB=sin（A+C）=sin（A+C），则sinA+sinC=2sin（A+C）；（）a，b，c成等比数列，b2=ac，将c=2a代入得：b2=2a2，即b=a，由余弦定理得：cosB=第28页
