1、最新初中数学锐角三角函数的易错题汇编及答案一、选择题1如图，已知A1B1C1的顶点C1与平面直角坐标系的原点O重合，顶点A1、B1分别位于x轴与y轴上，且C1A11，C1A1B160，将A1B1C1沿着x轴做翻转运动，依次可得到A2B2C2，A3B3C3等等，则C2019的坐标为（）A（2018+672，0）B（2019+673，0）C（+672，）D（2020+674，0）【答案】B【解析】【分析】根据题意可知三角形在轴上的位置每三次为一个循环，又因为，那么相当于第一个循环体的即可算出.【详解】由题意知，则，结合图形可知，三角形在轴上的位置每三次为一个循环， ，故选.【点睛】考查解直角三角形
2、，平面直角坐标系中点的特征，结合找规律.理解题目中每三次是一个循环是解题关键.2如图，在ABC中，ACBC，ABC30，点D是CB延长线上的一点，且ABBD，则tanD的值为（）ABCD【答案】D【解析】【分析】设ACm，解直角三角形求出AB，BC，BD即可解决问题【详解】设ACm，在RtABC中，C90，ABC30，AB2AC2m，BCACm，BDAB2m，DC2m+m，tanADC2故选：D【点睛】本题考查解直角三角形，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型3如图，在矩形中是的中点，平分交于点，连接，以下四个结论：平分；其中结论正确的个数是（ ）A4
3、个B3个C2个D1个【答案】A【解析】【分析】根据矩形的性质结合全等三角形的判定与性质得出ADEBCE（SAS），进而求出ABE是等边三角形，再求出AEPABP（SSS），进而得出EAPPAB30，再分别得出AD与AB，PB与PC的数量关系即可【详解】解：在矩形ABCD中，点E是CD的中点，DECE，又ADBC，DC，ADEBCE（SAS），AEBE，DEACEB，EA平分BED，AEDAEB，AEDAEBCEB60，故：EB平分AEC，正确；ABE是等边三角形，DAEEBC30，AEAB，PEAE，DEACEP90，则CEP30，故PEBEBP30，则EPBP，又AEAB，APAP，AEPA
4、BP（SSS），EAPPAB30，APBE，故正确；DAE30，tanDAEtan30，ADDE，即，ABCD，正确；CEP30，CPEP，EPBP，CPBP，PB2PC正确综上所述：正确的共有4个故选：A【点睛】此题主要考查了四边形综合，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形性质以及三角函数等知识，证明ABE是等边三角形是解题关键4如图，在x轴的上方，直角BOA绕原点O按顺时针方向旋转.若BOA的两边分别与函数、的图象交于B、A两点，则OAB大小的变化趋势为（ ）A逐渐变小B逐渐变大C时大时小D保持不变【答案】D【解析】【分析】如图，作辅助线；首先证明BEOO
5、FA，得到；设B为（a，），A为（b，），得到OE=-a，EB=，OF=b，AF=，进而得到，此为解决问题的关键性结论；运用三角函数的定义证明知tanOAB=为定值，即可解决问题【详解】解：分别过B和A作BEx轴于点E，AFx轴于点F，则BEOOFA，设点B为（a，），A为（b，），则OE=-a，EB=，OF=b，AF=，可代入比例式求得，即，根据勾股定理可得：OB=，OA=，tanOAB=OAB大小是一个定值，因此OAB的大小保持不变.故选D【点睛】该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相
6、似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答5如图，在矩形ABCD中，AB2，BC10，E、F分别在边BC，AD上，BEDF将ABE，CDF分别沿着AE，CF翻折后得到AGE，CHF若AG、CH分别平分EAD、FCB，则GH长为（ ）A3B4C5D7【答案】B【解析】【分析】如图作GMAD于M交BC于N，作HTBC于T通过解直角三角形求出AM、GM的长，同理可得HT、CT的长，再通过证四边形ABNM为矩形得MNAB2，BNAM3，最后证四边形GHTN为平行四边形可得GHTN即可解决问题【详解】解：如图作GMAD于M交BC于N，作HTBC于TABE沿着AE翻折后得到AGE，GAMBAE，ABA
7、G2，AG分别平分EAD，BAEEAG，BAD90，GAMBAEEAG30，GMAD，AMG90，在RtAGM中，sinGAM，cosGAM，GMAGsin30，AMAGcos303，同理可得HT，CT3，AMGBBAD90，四边形ABNM为矩形，MNAB2，BNAM3，GNMNGM，GNHT，又GNHT，四边形GHTN是平行四边形，GHTNBCBNCT10334，故选：B【点睛】本题考查翻折变换，解直角三角形，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型6如图，已知AB是O的直径，点C在O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若
8、A=30，PC=3，则O的半径为（）AB2CD【答案】A【解析】连接OC，OA=OC，A=30，OCA=A=30，COB=A+ACO=60，PC是O切线，PCO=90，P=30，PC=3，OC=PCtan30=，故选A7如图，AB是垂直于水平面的建筑物为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角为（点A，B，C，D，E在同一平面内）斜坡CD的坡度（或坡比），那么建筑物AB的高度约为（ ）（参考数据，）A65.8米B71.8米C73.8米D119.
9、8米【答案】B【解析】【分析】过点E作与点M，根据斜坡CD的坡度（或坡比）可设，则，利用勾股定理求出x的值，进而可得出CG与DG的长，故可得出EG的长由矩形的判定定理得出四边形EGBM是矩形，故可得出，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出结论【详解】解：过点E作与点M，延长ED交BC于G，斜坡CD的坡度（或坡比），米，设，则在中，即，解得，米，米，米，米，四边形EGBM是矩形，米，米在中，米，米故选B【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键8如图，一张直角三角形纸片的斜边放在矩形的边上，恰好完全重合，边，分别交于点，已知
10、，则的长为（）A1BCD2【答案】C【解析】【分析】由是矩形，得到AD=BC=8，且矩形的四个角是直角，根据，可以求出DG的长度，再根据余角的性质算出DCE的大小，根据三角函数即可算出DC的长度.【详解】解：四边形是矩形，AD=BC=8，DCB=，又,ECB=60，DCE=，又，,故答案为C.【点睛】本题主要考查矩形、特殊直角三角形、余角的性质，运用线段的比例长算出其中各段的长度是解本题的关键，特殊角的三角函数也是重要知识点，应掌握.9如图，在中，是边上一条运动的线段（点不与点重合，点不与点重合），且，交于点，交于点，在从左至右的运动过程中，设，的面积减去的面积为，则下列图象中，能表示与的函数
11、关系的图象大致是（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】设aBC，BC，求出CN、DM、EN的长度，利用ySBMDSCNE，即可求解【详解】解：设aBC，BC，则MNa，CNBCMNBM2aaxax，DMBMtanBxtan，ENCNtanC（ax）tan，ySBMDSCNE（BMDMCNEN），为常数，上述函数图象为一次函数图象的一部分，故选：A【点睛】本题考查了动点问题的函数图象、等腰三角形的性质、解直角三角形、图形面积等知识点解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程10将一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长上，ABCF，FACB90，
12、E30，A45，AC12，则CD的长为（）A4B124C126D6【答案】B【解析】【分析】过点B作BMFD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在EFD中可求出EDF60，进而可得出答案【详解】解：过点B作BMFD于点M，在ACB中，ACB90，A45，AC12，BCAC12ABCF，BMBCsin45CMBM12，在EFD中，F90，E30，EDF60，MDBMtan60，CDCMMD12故选B【点睛】本题考查了解直角三角形，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立直角三角形利用所学的三角函数的关系进行解答11如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是，堤高BC=10m，则坡面AB的长度是（ ）A
13、15mBC20mD【答案】C【解析】【分析】【详解】解:RtABC中，BC=10m，tanA=，AC=mAB=m故选C【点睛】本题考查解直角三角形的应用（坡度坡角问题）,锐角三角函数,特殊角的三角函数值及勾股定理,熟练掌握相关知识点正确计算是本题的解题关键12如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y4xx2刻画，斜坡可以用一次函数yx刻画，下列结论错误的是( )A斜坡的坡度为1: 2B小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势C小球落地点距O点水平距离为7米D当小球抛出高度达到7.5m时，小球距O点水平距离为3m【答案】D【解析】【分析】求出抛物线与直线的交点，判断、；根据
14、二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断；求出当时，的值，判定【详解】解：，解得，7=12，A正确；小球落地点距点水平距离为7米，C正确；，则抛物线的对称轴为，当时，随的增大而减小，即小球距点水平距离超过4米呈下降趋势，B正确，当时，整理得，解得，当小球抛出高度达到时，小球水平距点水平距离为或，D错误，符合题意；故选：D【点睛】本题考查的是解直角三角形的坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关键13如图，基灯塔AB建在陡峭的山坡上，该山坡的坡度i1：0.75小明为了测得灯塔的高度，他首先测得BC20m，然后在C处水平向前走了34m到达一建筑物底部E处，他在该建筑
15、物顶端F处测得灯塔顶端A的仰角为43若该建筑物EF20m，则灯塔AB的高度约为（精确到0.1m，参考数据：sin430.68，cos430.73，tan430.93）（ ）A46.7mB46.8mC53.5mD67.8m【答案】B【解析】【分析】根据山坡的坡度i1：0.75，可得，设BD4x，CD3x，然后利用勾股定理求得BD4x16m，CD3x12m；再利用矩形的性质求出FGDE46m，BGDGDB4m，最后利用三角函数解直角三角形即可【详解】解：如图，ADC90，i1：0.75，即，设BD4x，CD3x，则BC5x20m，解得：x4，BD4x16m，CD3x12m，易得四边形DEFG是矩形
16、，则EFDG20m，FGDEDC+CE12+3446（m），BGDGDB4m，在RtAFG中，AGFGtanAFG46tan43460.9342.78（m），ABAG+BG42.78+446.8（m），故选：B【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角和俯角问题、坡度坡比问题，灵活运用三角函数是解答本题的关键.14如图，等边边长为，点是的内心，绕点旋转，分别交线段、于、两点，连接，给出下列四个结论：形状不变；的面积最小不会小于四边形的面积的四分之一；四边形的面积始终不变；周长的最小值为上述结论中正确的个数是（ ）A4B3C2D1【答案】A【解析】【分析】连接OB、OC，利用SAS证出ODBOEC
17、，从而得出ODE是顶角为120的等腰三角形，即可判断；过点O作OHDE，则DH=EH，利用锐角三角函数可得OH=OE和DE=OE，然后三角形的面积公式可得SODE=OE2，从而得出OE最小时，SODE最小，根据垂线段最短即可求出SODE的最小值，然后证出S四边形ODBE=SOBC=即可判断和；求出的周长=aDE，求出DE的最小值即可判断【详解】解：连接OB、OC是等边三角形，点是的内心，ABC=ACB=60，BO=CO，BO、CO平分ABC和ACBOBA=OBC=ABC=30，OCA=OCB=ACB=30OBA=OCB，BOC=180OBCOCB=120BOCFOGBOE=BOCBOEBOD=
18、COE在ODB和OEC中ODBOECOD=OEODE是顶角为120的等腰三角形，形状不变，故正确；过点O作OHDE，则DH=EHODE是顶角为120的等腰三角形ODE=OED=（180120）=30OH=OEsinOED=OE，EH= OEcosOED=OEDE=2EH=OESODE=DEOH=OE2OE最小时，SODE最小，过点O作OEBC于E，根据垂线段最短，OE即为OE的最小值BE=BC=在RtOBE中OE=BEtanOBE=SODE的最小值为OE2=ODBOECS四边形ODBE=SODBSOBE= SOECSOBE=SOBC=BCOE=SODES四边形ODBE即的面积最小不会小于四边形
19、的面积的四分之一，故正确；S四边形ODBE=四边形的面积始终不变，故正确；ODBOECDB=EC的周长=DBBEDE= ECBEDE=BCDE=aDEDE最小时的周长最小DE=OEOE最小时，DE最小而OE的最小值为OE=DE的最小值为=的周长的最小值为a=，故正确；综上：4个结论都正确，故选A【点睛】此题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面积公式和垂线段最短的应用，掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面积公式和垂线段最短是解决此题的关键15如图，在中，则的长为（）ABCD【答案】D【解析】【分析】先利用相似三角形的相似比证
20、明点D是AB的中点，再解直角三角形求得AB，最后利用直角三角形斜边中线性质求出DF【详解】解：，点D是AB的中点，B30，DF=3，故选：D【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质、解直角三角形和直角三角形斜边中线性质，熟练掌握性质的运用是解题关键16如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC2：1，且BEAC，CEDB，连接DE，则tanEDC（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】过点E作EF直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G根据邻边相等的平行四边形是菱形即可判断四边形OBEC是菱形，则OE与BC垂直平分，易得EF=x，CF=x再由锐角三角函数定义作答即
21、可【详解】解：矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC2：1，BCAD，设AB2x，则BCx如图，过点E作EF直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点GBEAC，CEBD，四边形BOCE是平行四边形，四边形ABCD是矩形，OBOC，四边形BOCE是菱形OE与BC垂直平分，EFADx，OEAB，四边形AOEB是平行四边形，OEAB2x，CFOExtanEDC故选：B【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及解直角三角形，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质，属于中考常考题型17如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物P的俯角为
22、，水平飞行m千米后到达点B处，又测得标志物P的俯角为，那么此时飞机离地面的高度为()A千米B千米C千米D千米【答案】A【解析】【分析】根据锐角三角函数的概念进行作答.【详解】在P点做一条直线垂直于直线AB且交于点O，由锐角三角函数知，AO=PO，BO=PO，又AB=m=AO-BO= PO- PO= . 所以答案选A.【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数是本题解题关键.18如图，已知O上三点A，B，C，半径OC=1，ABC=30，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（ ）A2B CD【答案】B【解析】【分析】连接OA，由圆周角定理可求出AOC=60，再根据AOC的正切即
23、可求出PA的值.【详解】连接OA，ABC=30，AOC=60，PA是圆的切线，PAO=90，tanAOC =,PA= tan601=.故选B.【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质及锐角三角函数的知识，根据圆周角定理可求出AOC=60是解答本题的关键.19在RtABC中，C90，如果A，BCa，那么AC等于（ ）AatanBacotCasinDacos【答案】B【解析】【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可.【详解】如图，C90，A，BCa，cot，ACBCcotacot，故选：B【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比；余弦是角的
24、邻边与斜边的比；正切是对边与邻边的比；余切是邻边与对边的比；熟练掌握三角函数的定义是解题关键.20如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：分别以点C和点D为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点M，N；作直线MN，且恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE，则下列说法错误的是（ ）ABC若AB=4，则D【答案】C【解析】【分析】由作法得AE垂直平分CD，则AED=90，CE=DE，于是可判断DAE=30，D=60，从而得到ABC=60；利用AB=2DE得到SABE=2SADE；作EHBC于H，如图，若AB=4，则可计算出CH=CE=1，EH=CH=，利用勾股定理可计算出BE=2 ；利用正弦的定义得si
25、nCBE=【详解】解：由作法得AE垂直平分CD，AED=90，CE=DE，四边形ABCD为菱形，AD=2DE，DAE=30，D=60，ABC=60，所以A选项的说法正确；AB=2DE，SABE=2SADE，所以B选项的说法正确；作EHBC于H，如图，若AB=4，在RtECH中，ECH=60，CH=CE=1，EH=CH=，在RtBEH中，BE=，所以C选项的说法错误；sinCBE=，所以D选项的说法正确故选C【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）也考查了菱形的性质和解直角三角形
