1、锐角三角函数的难题汇编及答案一、选择题1如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：分别以点C和点D为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点M，N；作直线MN，且恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE，则下列说法错误的是（ ）ABC若AB=4，则D【答案】C【解析】【分析】由作法得AE垂直平分CD，则AED=90，CE=DE，于是可判断DAE=30，D=60，从而得到ABC=60；利用AB=2DE得到SABE=2SADE；作EHBC于H，如图，若AB=4，则可计算出CH=CE=1，EH=CH=，利用勾股定理可计算出BE=2 ；利用正弦的定义得sinCBE=【详解】解：由作法得AE垂直平分CD，AED=9
2、0，CE=DE，四边形ABCD为菱形，AD=2DE，DAE=30，D=60，ABC=60，所以A选项的说法正确；AB=2DE，SABE=2SADE，所以B选项的说法正确；作EHBC于H，如图，若AB=4，在RtECH中，ECH=60，CH=CE=1，EH=CH=，在RtBEH中，BE=，所以C选项的说法错误；sinCBE=，所以D选项的说法正确故选C【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）也考查了菱形的性质和解直角三角形2如图，点从点出发沿方向运动，点从点出发沿方向运动，同时出
3、发且速度相同，（长度不变，在上方，在左边），当点到达点时，点停止运动在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是（ ）A一直减小B一直不变C先减小后增大D先增大后减小【答案】B【解析】【分析】连接GE，过点E作EMBC于M，过点G作GNAB于N，设AE=BG=x，然后利用锐角三角函数求出GN和EM，再根据S阴影=SGDESEGF即可求出结论【详解】解：连接GE，过点E作EMBC于M，过点G作GNAB于N设AE=BG=x，则BE=ABAE=ABxGN=BGsinB=xsinB，EM=BEsinB=（ABx）sinBS阴影=SGDESEGF=DEGNGFEM=DE（xsinB）DE（ABx）
4、sinB=DExsinB（ABx）sinB=DEABsinBDE、AB和B都为定值S阴影也为定值故选B【点睛】此题考查的是锐角三角函数和求阴影部分的面积，掌握利用锐角三角函数解直角三角形和三角形的面积公式是解决此题的关键3如图，在ABC中，ACBC，ABC30，点D是CB延长线上的一点，且BDBA，则tanDAC的值为（ ）A2B2C3D3【答案】A【解析】【分析】【详解】设AC=x，在RtABC中，ABC=30，即可得AB=2x，BC=x，所以BD=BA=2x，即可得CD=x+2x=（+2）x，在RtACD中，tanDAC=，故选A.4为了方便行人推车过某天桥,市政府在10m高的天桥一侧修建
5、了40m长的斜道(如图所示),我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数,具体按键顺序是( )ABCD【答案】A【解析】【分析】先利用正弦的定义得到sinA=0.25，然后利用计算器求锐角A【详解】解：因为AC40，BC10，sinA，所以sinA0.25.所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为故选：A点睛：本题考查了计算器-三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键5如图，在ABC中，ACBC，ABC30，点D是CB延长线上的一点，且ABBD，则tanD的值为（）ABCD【答案】D【解析】【分析】设ACm，解直角三角形求出
6、AB，BC，BD即可解决问题【详解】设ACm，在RtABC中，C90，ABC30，AB2AC2m，BCACm，BDAB2m，DC2m+m，tanADC2故选：D【点睛】本题考查解直角三角形，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型6如图，已知圆的内接六边形的边心距，则该圆的内接正三角形的面积为（）A2B4CD【答案】D【解析】【分析】连接，过作于，证出是等边三角形，根据锐角三角函数的定义求解即可【详解】解：如图所示，连接，过作于，多边形是正六边形，是等边三角形，该圆的内接正三角形的面积，故选：D【点睛】本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三
7、角函数；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出是解决问题的关键7如图，已知AB是O的直径，点C在O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若A=30，PC=3，则O的半径为（）AB2CD【答案】A【解析】连接OC，OA=OC，A=30，OCA=A=30，COB=A+ACO=60，PC是O切线，PCO=90，P=30，PC=3，OC=PCtan30=，故选A8如图，是一张顶角是的三角形纸片，现将折叠，使点B与点A重合，折痕DE，则DE的长为（ ） A1B2CD【答案】A【解析】【分析】作AHBC于H，根据等腰三角形的性质求出BH，根据翻折变换的性质求出BD，根据正切的定义解答即可【详解
8、】解：作AHBC于H，AB=AC，AHBC，BH=BC=3，BAC=120，AB=AC，B=30，AB=2，由翻折变换的性质可知，DB=DA=，DE=BDtan30=1，故选：A【点睛】此题考查翻折变换的性质、勾股定理的应用，解题关键在于掌握翻折变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等9如图，是的弦，直径交于点，若，则的长为( )AB4C6D【答案】D【解析】【分析】连接证明是等边三角形即可解决问题【详解】如图，连接，是等边三角形，故选D【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型10如
9、图，RtAOB中，AOB=90，AO=3BO，OB在x轴上，将RtAOB绕点O顺时针旋转至RtAOB，其中点B落在反比例函数y=的图象上，OA交反比例函数y=的图象于点C，且OC=2CA，则k的值为（）A4BC8D7【答案】C【解析】【详解】解：设将RtAOB绕点O顺时针旋转至RtAOB的旋转角为，OB=a，则OA=3a，由题意可得，点B的坐标为（acos，asin），点C的坐标为（2asin，2acos），点B在反比例函数y=的图象上，asin=，得a2sincos=2，又点C在反比例函数y=的图象上，2acos=，得k=4a2sincos=8.故选C.【点睛】本题主要考查反比例函数与几何图
10、形的综合问题，解此题的关键在于先设旋转角为，利用旋转的性质和三角函数设出点B与点C的坐标，再通过反比例函数的性质求解即可.11某同学利用数学知识测量建筑物DEFG的高度他从点出发沿着坡度为的斜坡AB步行26米到达点B处，用测角仪测得建筑物顶端的仰角为37，建筑物底端的俯角为30，若AF为水平的地面，侧角仪竖直放置，其高度BC=1.6米，则此建筑物的高度DE约为(精确到米，参考数据：，)（ ）A米B米C米D米【答案】C【解析】【分析】如图，设CBAF于N，过点C作CMDE于M，根据坡度及AB的长可求出BN的长，进而可求出CN的长，即可得出ME的长，利用MBE的正切可求出CM的长，利用DCM的正切
11、可求出DM的长，根据DE=DM+ME即可得答案【详解】如图，设CBAF于N，过点C作CMDE于M，沿着坡度为的斜坡AB步行26米到达点B处，AN=2.4BN，BN2+（2.4BN）2=262，解得：BN=10（负值舍去），CN=BN+BC=11.6，ME=11.6，MCE=30，CM=11.6，DCM=37，DM=CMtan37=8.7，DE=ME+DM=11.6+8.726.7（米），故选：C【点睛】本题考查解直角三角形的应用，正确构造直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及特殊角的三角函数值是解题关键12如图，在RtABC中，ABC=90，AB=，BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作
12、半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为( )ABCD【答案】A【解析】【分析】连接OD，过点O作OHAC，垂足为 H，则有AD=2AH，AHO=90，在RtABC中，利用A的正切值求出A=30，继而可求得OH、AH长，根据圆周角定理可求得BOC =60，然后根据S阴影=SABC-SAOD-S扇形BOD进行计算即可.【详解】连接OD，过点O作OHAC，垂足为 H，则有AD=2AH，AHO=90，在RtABC中，ABC=90，AB=，BC=2，tanA=，A=30，OH=OA=，AH=AOcosA=，BOC=2A=60，AD=2AH=，S阴影=SABC-SAOD-S扇形BOD=，故选A.【点睛】
13、本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形面积，解直角三角形等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.13如图，等边边长为，点是的内心，绕点旋转，分别交线段、于、两点，连接，给出下列四个结论：形状不变；的面积最小不会小于四边形的面积的四分之一；四边形的面积始终不变；周长的最小值为上述结论中正确的个数是（ ）A4B3C2D1【答案】A【解析】【分析】连接OB、OC，利用SAS证出ODBOEC，从而得出ODE是顶角为120的等腰三角形，即可判断；过点O作OHDE，则DH=EH，利用锐角三角函数可得OH=OE和DE=OE，然后三角形的面积公式可得SODE=OE2，从而得出OE最小时，
14、SODE最小，根据垂线段最短即可求出SODE的最小值，然后证出S四边形ODBE=SOBC=即可判断和；求出的周长=aDE，求出DE的最小值即可判断【详解】解：连接OB、OC是等边三角形，点是的内心，ABC=ACB=60，BO=CO，BO、CO平分ABC和ACBOBA=OBC=ABC=30，OCA=OCB=ACB=30OBA=OCB，BOC=180OBCOCB=120BOCFOGBOE=BOCBOEBOD=COE在ODB和OEC中ODBOECOD=OEODE是顶角为120的等腰三角形，形状不变，故正确；过点O作OHDE，则DH=EHODE是顶角为120的等腰三角形ODE=OED=（180120）
15、=30OH=OEsinOED=OE，EH= OEcosOED=OEDE=2EH=OESODE=DEOH=OE2OE最小时，SODE最小，过点O作OEBC于E，根据垂线段最短，OE即为OE的最小值BE=BC=在RtOBE中OE=BEtanOBE=SODE的最小值为OE2=ODBOECS四边形ODBE=SODBSOBE= SOECSOBE=SOBC=BCOE=SODES四边形ODBE即的面积最小不会小于四边形的面积的四分之一，故正确；S四边形ODBE=四边形的面积始终不变，故正确；ODBOECDB=EC的周长=DBBEDE= ECBEDE=BCDE=aDEDE最小时的周长最小DE=OEOE最小时，
16、DE最小而OE的最小值为OE=DE的最小值为=的周长的最小值为a=，故正确；综上：4个结论都正确，故选A【点睛】此题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面积公式和垂线段最短的应用，掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面积公式和垂线段最短是解决此题的关键14如图，在中，则的长为（）ABCD【答案】D【解析】【分析】先利用相似三角形的相似比证明点D是AB的中点，再解直角三角形求得AB，最后利用直角三角形斜边中线性质求出DF【详解】解：，点D是AB的中点，B30，DF=3，故选：D【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质、解直角三
17、角形和直角三角形斜边中线性质，熟练掌握性质的运用是解题关键15如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC2：1，且BEAC，CEDB，连接DE，则tanEDC（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】过点E作EF直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G根据邻边相等的平行四边形是菱形即可判断四边形OBEC是菱形，则OE与BC垂直平分，易得EF=x，CF=x再由锐角三角函数定义作答即可【详解】解：矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC2：1，BCAD，设AB2x，则BCx如图，过点E作EF直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点GBEAC，CEBD
18、，四边形BOCE是平行四边形，四边形ABCD是矩形，OBOC，四边形BOCE是菱形OE与BC垂直平分，EFADx，OEAB，四边形AOEB是平行四边形，OEAB2x，CFOExtanEDC故选：B【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及解直角三角形，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质，属于中考常考题型16如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60方向，距离灯塔60 n mile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是( )A n mileB60 n mileC120 n mileDn m
19、ile【答案】D【解析】【分析】过点C作CDAB，则在RtACD中易得AD的长，再在直角BCD中求出BD，相加可得AB的长【详解】过C作CDAB于D点，ACD=30，BCD=45，AC=60在RtACD中，cosACD=，CD=ACcosACD=60在RtDCB中，BCD=B=45，CD=BD=30，AB=AD+BD=30+30答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile故选D【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线17如图，已知O上三点A，B，C，半径OC=1，ABC=30，切线PA交
20、OC延长线于点P，则PA的长为（ ）A2B CD【答案】B【解析】【分析】连接OA，由圆周角定理可求出AOC=60，再根据AOC的正切即可求出PA的值.【详解】连接OA，ABC=30，AOC=60，PA是圆的切线，PAO=90，tanAOC =,PA= tan601=.故选B.【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质及锐角三角函数的知识，根据圆周角定理可求出AOC=60是解答本题的关键.18如图，在RtABC内有边长分别为a，b，c的三个正方形则a、b、c满足的关系式是（ ）Ab=a+cBb=acCb2=a2+c2Db=2a=2c【答案】A【解析】【分析】利用解直角三角形知识.在边长为a和b两
21、正方形上方的两直角三角形中由正切可得，化简得bac，故选A.【详解】请在此输入详解！19如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是，堤高BC=10m，则坡面AB的长度是（ ）A15mBC20mD【答案】C【解析】【分析】【详解】解:RtABC中，BC=10m，tanA=，AC=mAB=m故选C【点睛】本题考查解直角三角形的应用（坡度坡角问题）,锐角三角函数,特殊角的三角函数值及勾股定理,熟练掌握相关知识点正确计算是本题的解题关键20南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为，大桥主架的顶端D的仰角为，已知测量点与大桥主架的水平距离ABa，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为( )Aasin+asinBacos+acosCatan+atanD【答案】C【解析】【分析】在RtABD和RtABC中，由三角函数得出BCatan，BDatan，得出CDBC+BDatan+atan即可【详解】在RtABD和RtABC中，ABa，tan，tan，BCatan，BDatan，CDBC+BDatan+atan，故选C【点睛】本题考查了解直角三角形仰角俯角问题；由三角函数得出BC和BD是解题的关键
