1、双曲线常见题型与典型方法归纳(修改版 附详解答案)双曲线常见题型与典型方法归纳考点一 双曲线标准方程及性质1.双曲线的定义第一定义：平面内与两个定点距离的差的绝对值等于的点的轨迹。（1）距离之差的绝对值.（2）当|MF1|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；当|MF1|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；当2a=|F1F2|时，轨迹是同一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；当2a|F1F2|时，动点轨迹不存在.【典例】到两定点、的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹（ ）A椭圆B线段C双曲线D两条射线第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线的距离的比是常数的动点的轨
2、迹。2双曲线的标准方程及几何性质标准方程图形性质焦点F1（-，F2（F1（，F2（焦距| F1F2|=2c 范围对称关于x轴，y轴和原点对称顶点（-a，0）。（a，0）（0，-a）（0，a）轴实轴长2a，虚轴长2b离心率（离心率越大，开口越大）准线通径渐近线焦半径在左支在右支在下支在上支注意：等轴双曲线（1）定义：实轴长与虚轴长相等的双曲线 （2）方程：或（3）离心率 渐近线（4）方法：若已知等轴双曲线经过一定点，则方程可设为【典例】 已知等轴双曲线经过点，求此双曲线方程 3双曲线中常用结论（1）两准线间的距离: （2）焦点到渐近线的距离为（3）通径的长是考点二 双曲线标准方程一 求双曲线标准
3、方程的方法（1）定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应即可求得方程；（2）待定系数法，其步骤是定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程；定值：根据题目条件确定相关的系数。注：若双曲线过两点，可设双曲线方程为：。如 已知双曲线过点与，求双曲线的标准方程方法一 ： 运用定义【典例1】已知动圆M与圆外切，与圆内切，求动圆圆心M的轨迹方程。【典例2】已知（-4，0），（4，0），动点P分别满足下列条件，求点P的轨迹方程：（1） ，（2） 【典例3】动点M到定点F（4，0）的距离和直线的距离的比为，则M的轨迹方程【典例4】已知中，C（-2，0），B（2，0）
4、，求顶点A的轨迹方程.练习 1已知双曲线的实轴长为8，直线过焦点交双曲线的同一分支与M，N且,则的周长（为另一个焦点）为 （ ） A. 28 B. 30 C. 24 D. 202 双曲线的焦距是（ ） A4 B C8 D与有关方法二 ： 运用待定系数法步骤 定位 设方程 定值【典例1】求下列双曲线的标准方程；（1）焦点是，渐近线的方程是（2）渐进线是，经过点（3，2）（2）实轴长为4，虚轴长为2 （3）准线方程为x=4，离心率为2（4） 焦点为（4，0），（-4，0），经过（5）双曲线焦点在x轴上，渐近线方程为，焦距为4，则双曲线的标准方程为 。考点三 双曲线的几何性质题型一 几何性质简单应用
5、【典例1】双曲线，求（0）画草图（1）焦点，焦距（2）实轴的长，虚轴的长，（3）离心率，左右准线方程，（4）渐进线的方程(5)焦点到渐近线的距离（6）焦点到准线的距离；（7）P在右支上，则P到左焦点的距离的最小值是 .练习 （1）双曲线，离心率是 ，渐近线方程是 。(2)双曲线的左右顶点为，虚轴下上端点为，左右焦点为，. 若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为 （从第一象限按逆时针顺序）则（）双曲线的离心率 ；（）菱形的面积与矩形的面积的比值 .题型二 求与离心率及渐近线有关问题【典例1】离心率 （1）双曲线（b0）的焦点，则b=（） A.3 B. C. D. （2）设和为双曲线()的两个焦点,
6、 若，是正三角形的三个顶 点,则双曲线的离心率为（ ） A B C D3（3）已知ab0，e1，e2分别为圆锥曲线1和1的离心率，则lge1lge2()A大于0且小于1 B大于1 C小于0 D等于1练习（1）已知分别是双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线交双曲线于A、B两点，若为锐角三角形，则双曲线的离心率的范围是20080418（ ）AB C D（2）在正三角形ABC中，则以B、C为焦点，且过D、E的双曲线的离心率为（ ） ABC D+1（3）若椭圆的离心率为,则双曲线的离心率为_。【典例2】渐近线（1）设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为_。（2）双曲线的渐进线方程,则双
7、曲线的离心率为_。 （3）焦点为，且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是（ ）A B C D（4）F1,F2是双曲线C：（a,b0）的左、右焦点，B是虚轴的上端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交与点M，若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是（ ）A. B. C. D. 练习 与双曲线有共同渐近线，且经过点的双曲线C的一个焦点到一条渐近线的距离是_。方法归纳： 1渐进线方程为的双曲线方程可设为。2 与双曲线共渐近线的双曲线方程可设为【典例3】（渐近线夹角问题）（1）若双曲线的两条渐近线夹角是，求它的离心率；（2）若双曲线的离心率是，求它的两条渐近线
8、夹角余弦值。题型三 焦点三角形方法：解决焦点三角形时，要利用正弦定理、余弦定理、双曲线的第一定义，关键是配凑出 的形式，注意点P在双曲线的哪一支上.例 已知双曲线方程为左右两焦点分别为在焦点中， 则结论(1) 定义： (2) 余弦定理： (3) 面积 【典例1】椭圆和双曲线的公共焦点为，是两曲线的一个焦点，则的值为（ ） A. B. C. D.【典例2】 设为双曲线的两个焦点，点在双曲线上满足，则的面积是 （ ） A. 1 B. C. D. 练习 中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点，且，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3：7。（1）求这两曲线方程；（2）若P
9、为这两曲线的一个交点，求的值。题型四 求最值【典例1】辽宁）已知F是双曲线的左焦点，定点A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则的最小值为_。【典例2】P为双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值为 练习 已知是双曲线的右焦点，点M是双曲线右支上的动点，点A的坐标为（）求的最小值为及对应的点M的坐标。考点四 直线与双曲线的位置关系一 位置关系判断1 判断直线与双曲线相交;直线与双曲线相切;直线与双曲线相离注意：直线与双曲线有一个公共点时，它们不一定相切，也可能相交（即直线与双曲线的渐近线平行）【典例】已知双曲线方程为，过P（1，0）的直线L与双曲线只有一个公共点，则L的条数共有 （ ）
10、 A4条 B3条 C2条 D1条练习：已知不论m取何实数，直线y=kx+m与双曲线总有公共点，试求实数k的取值范围.2弦长问题步骤：由双曲线方程与直线方程联立建立方程组， 消元后得到的一元二次方程的根是直线和双曲线交点的横坐标或纵坐标，利用韦达定理写成两根之和与两根之积3弦长公式直线ykxb(k0)与圆锥曲线相交于A(，)，B(，)两点，则（1）当直线的斜率存在时，弦长公式： =当斜率存在且不为零时。（2）当直线斜率不存在时，则【典例1】 （1）求直线被双曲线截得的弦长；（2）等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与直线交于两点，若；则的实轴长为（ ） 练习 过双曲线的左焦点作直线交双曲线于A，
11、 B两点，若，则满足条件的直线有几条 （ ） A .1条 B .2条 C .3条 D .4二 常用方法1设而不求法韦达定理【典例】已知双曲线中心在原点且一个焦点为直线与其相交于两点，中点的横坐标为求此双曲线的方程2 点差法适用条件：与弦的中点及斜率有关【典例】已知双曲线，被方向向量为的直线截得的弦的中点为（4，1），求该双曲线的离心率练习 求过定点的直线被双曲线截得的弦中点轨迹方程1,3,5三 综合应用【典例1】不论取值何值，直线与曲线总有公共点，则实数的取值范围是( ) (A) (B) (C) (D)【典例2】直线过双曲线的右焦点，斜率k=2.若与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的
12、离心率e的范围是（ ） A .e B.1e C.1e【典例3】已知，过的直线交双曲线于、两点，且，则的方程 【典例4】过点且被点M平分的双曲线的弦所在直线方程为 【典例5】已知动点P与双曲线x2y21的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，且 （1）求动点P的轨迹方程；（2）设M(0，1)，若斜率为k(k0)的直线l与P点的轨迹交于不同的两点A、B，若要使|MA|MB|，试求k的取值范围练习1设双曲线C1的方程为，A、B为其左、右两个顶点，P是双曲线C1上的任意一点，引QBPB，QAPA，AQ与BQ交于点Q.（1）求Q点的轨迹方程;（2）设（1）中所求轨迹为C2，若C1、C2的离心率分别为e1、
13、e2，当时，e2的取值范围练习2直线的右支交于不同的两点A、B.（）求实数k的取值范围；（）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.考点五 易错点一 忽视焦点位置产生的混淆例 若双曲线的渐近线方程是，焦距为10，求双曲线标准方程二 忽视判别式产生的混淆例 若双曲线的方程为与点P（1,1），则以P为中点的弦是否存在三 忽视双曲线两支距离的最小值例 设是双曲线的左右焦点。P在双曲线上。若点P到焦点的距离为9，求它到距离四 忽视等价条件例 已知双曲线与直线试讨论的取值范围使与双曲线有唯一公共点附 详解答案 双曲线典型题型与方法归纳 答案
14、 考点一 双曲线标准方程及性质1.双曲线的定义第一定义：【典例】 答案 D 注意：等轴双曲线 【典例】 答案考点二 双曲线标准方程一 求双曲线标准方程的方法 如 答案方法一 ： 运用定义【典例1】解答：设动圆M的半径为r则由已知。又（-4，0），（4，0），|=8，|。根据双曲线定义知，点M的轨迹是以（-4，0）、（4，0）为焦点的双曲线的右支。【典例2】答案 （1） （2） 【典例3】答案 【典例4】解析：由正弦定理及得，由双曲线的第一定义知顶点A的轨迹是以C、B为焦点，长轴长为2的双曲线的右支，=3顶点A的轨迹方程为（）.练习 答案 1. B 2 C 方法二 ： 运用待定系数法【典例1】答
15、案 （1）（2）（3）（4）（5）（6）考点三 双曲线的几何性质题型一 几何性质简单应用【典例1】（7）答案 练习 （1）， (2) （）答案 （）答案 【解析】（）由于以为直径的圆内切于菱形，因此点到直线的距离为，又由于虚轴两端点为，因此的长为，那么在中，由三角形的面积公式知，又由双曲线中存在关系联立可得出，根据解出（）设,很显然知道,因此.在中求得故；菱形的面积，再根据第一问中求得的值可以解出.题型二 求与离心率及渐近线有关问题【典例1】离心率 （1）C （2） B （3）C解析lge1lge2lglglglglg10，lge1lge20.练习（1）A （2）D （3）答案【典例2】渐近线
16、（1） 答案 （2） 答案 （3） B （4）【解析】由题意知直线的方程为：，联立方程组得点Q，联立方程组得点P，所以PQ的中点坐标为，所以PQ的垂直平分线方程为：，令，得，所以，所以，即，所以。故选B练习 答案 8【典例3】（渐近线夹角问题）（1）若双曲线的两条渐近线夹角是，求它的离心率；【解】：由题设知，或 离心率。（2）若双曲线的离心率是，求它的两条渐近线夹角余弦值。解 设两条渐近线夹角是, 若，则夹角 , ，则夹角题型三 焦点三角形【典例1】 答案 B 【典例2】 答案 C 练习 解答：（1）由已知：，设椭圆长、短半轴长分别为a、b，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m、n，则，解得a=7,
17、m=3.b=6,n=2.椭圆方程为双曲线方程为。（2）不妨设分别为左右焦点，P是第一象限的一个交点，则所以又，=题型四 求最值【典例1】解 设双曲线的右焦点为E，则，当A、P、E共线时，的最小值为9。【典例2】 解 练习 解 考点四 直线与双曲线的位置关系一 位置关系判断1 判断【典例】 B 练习：已知不论取何实数，直线y=kx+与双曲线总有公共点，试求实数k的取值范围. 解析：联立方程组消去y得(2k21)x2+4kbx+（2b2+1）=0,当若b=0，则k；若，不合题意.当依题意有=(4kb)24(2k21)(2b2+1)0，对所有实数b恒成立，2k21，得.3弦长公式【典例1】 （1）解
18、析：由得得（*）设方程（*）的解为，则有 得，（2）【解析】设等轴双曲线方程为，抛物线的准线为，由,则,把坐标代入双曲线方程得，所以双曲线方程为，即，所以，所以实轴长，选C.练习 答案C二 常用方法1设而不求法韦达定理 【典例】答案2 点差法【典例】 答案 方向向量 斜率 由点差法可得练习 解 方法一（设而不求法）：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为，它被双曲线截得的弦为对应的中点为， 由得（*）设方程（*）的解为，则，且，得或方法二（点差法）：设弦的两个端点坐标为，弦中点为，则得：， 即， 即（图象的一部分）即或1,3,5三 综合应用【典例1】答案 B 【典例2】答案 D
19、 【典例3】答案 【典例4】答案 【典例5】 解析：(1)x2y21，c.设|PF1|PF2|2a(常数a0)，2a2c2，a由余弦定理有cosF1PF21|PF1|PF2|()2a2，当且仅当|PF1|PF2|时，|PF1|PF2|取得最大值a2.此时cosF1PF2取得最小值1，由题意1，解得a23， P点的轨迹方程为y21.(2)设l：ykxm(k0)，则由， 将代入得：(13k2)x26kmx3(m21)0 (*) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB中点Q(x0，y0)的坐标满足：x0 即Q()|MA|MB|，M在AB的中垂线上，klkABk1 ，解得m 又由于(*)式有两个
20、实数根，知0，即 (6km)24(13k2)3(m21)12(13k2m2)0 ，将代入得1213k2()20，解得1k1，由k0，k的取值范围是k(1，0)(0，1).练习1 解析：（1）解法一：设P(x0,y0), Q(x ,y ) 经检验点不合,因此Q点的轨迹方程为:a2x2b2y2=a4（除点（a,0）,(a,0)外）. 解法二：设P(x0,y0), Q(x,y), PAQA （1）连接PQ，取PQ中点R,练习2 解（）将直线依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故（）设A、B两点的坐标分别为、，则由式得假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c,0）.则由FAFB得：整理得 把式及代入式化简得考点五 易错点一 忽视焦点位置产生的混淆解 易错点：忽视焦点位置讨论 正确答案 二 忽视判别式产生的混淆解 用点差法解得方程为但由方程组消去y得这样的弦不存在三 忽视双曲线两支距离的最小值错解 正解 双曲线右支上到左焦点最短的距离的点是右顶点，距离为P点在左支上四 忽视等价条件解 由方程组消去y得当即时，直线与渐近线平行，它们相交但只有一个交点当即时，由解得18
